非线性规划中的罚函数法基础题
题目描述：
考虑一个简单的非线性约束优化问题：
最小化目标函数 \( f(x)1. 问题建模
目标：最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
约束条件：
- 等式约束 \(h(x) = x_1 + x_2 - 2 = 0\)
- 不等式约束 \(g(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0\)
该问题需同时满足等式和不等式约束。罚函数法的核心思想是将约束违反程度转化为惩罚项，添加到目标函数中，从而将原问题转化为一系列无约束优化问题。
- 罚函数构造
定义罚函数为：
\[ P(x, \mu) = f(x) + \mu \left[ h(x)^2 + \left( \max(0, g(x)) \right)^2 \right] \]
其中：
- \(\mu\) 是惩罚因子（\(\mu > 0\)），且会逐渐增大；
- \(h(x)^2\) 惩罚等式约束的违反；
- \(\left( \max(0, g(x)) \right)^2\) 惩罚不等式约束的违反（仅当 \(g(x) > 0\) 时触发）。
例如，若 \(x = (0, 0)\)：
\(h(x) = -2\)，违反等式约束；
\(g(x) = 0\)，满足不等式约束；
惩罚项为 \((-2)^2 + (\max(0, 0))^2 = 4\)。
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求解过程（以 \(\mu = 1, 10, 100\) 为例）
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当 \(\mu = 1\)：
罚函数为 \(P(x, 1) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 + 1 \cdot \left[ (x_1 + x_2 - 2)^2 + (\max(0, x_1^2 - x_2))^2 \right]\)。
忽略不等式约束惩罚（因初始点常满足约束），通过梯度下降或解析法求最小值点。
近似解： \(x^{(1)} \approx (1.2, 0.8)\)，此时约束仍有轻微违反。 -
当 \(\mu = 10\)：
惩罚项权重增加，解更贴近约束：
\(P(x, 10) = f(x) + 10 \cdot \left[ (x_1 + x_2 - 2)^2 + (\max(0, x_1^2 - x_2))^2 \right]\)。
数值求解得 \(x^{(2)} \approx (1.05, 0.95)\)，约束违反减小。 -
当 \(\mu = 100\)：
进一步逼近似可行解：
\(x^{(3)} \approx (1.005, 0.995)\)，基本满足 \(x_1 + x_2 \approx 2\) 且 \(x_1^2 - x_2 \approx 0\)。
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收敛分析
当 \(\mu \to \infty\)，罚函数的最优解收敛至原问题的最优解 \(x^* = (1, 1)\)，此时：- \(f(x^*) = (1-2)^2 + (1-1)^2 = 1\)；
- 所有约束严格满足。
实际应用中，\(\mu\) 需逐步增大以避免数值困难。
关键点总结：
罚函数法通过将约束转化为惩罚项，逐步强化惩罚力度，迫使解趋近可行域。优点是概念简单，适用于复杂约束；缺点是 \(\mu\) 过大时函数性态变差，需谨慎选择递增策略。