基于隐式梯度与序列凸近似的混合整数非线性规划算法进阶题
字数 3251 2025-12-12 13:22:23

基于隐式梯度与序列凸近似的混合整数非线性规划算法进阶题

1. 题目描述
考虑如下带有逻辑约束的混合整数非线性规划（MINLP）问题：

\[\begin{aligned} \min_{x, y} \quad & f(x, y) = \sin(x_1 + 2x_2) + (y_1 - 1)^2 + e^{-x_2} y_2 \\ \text{s.t.} \quad & g_1(x, y) = x_1^2 + x_2^2 - 4 \le 0, \\ & g_2(x, y) = -x_1 + y_1 x_2 \le 0, \\ & h(y) = y_1 + 2y_2 = 3, \\ & y_1, y_2 \in \{0, 1\}, \\ & x \in \mathbb{R}^2, \; x \in [-5, 5]^2. \end{aligned} \]

其中 \(f\) 非凸，\(g_1\) 为凸二次约束，\(g_2\) 由于含有乘积项 \(y_1 x_2\) 而引入逻辑耦合（当 \(y_1=0\) 时约束退化为 \(-x_1 \le 0\)，否则为非线性）。目标是将离散变量与连续变量协同优化，并处理非凸性。

2. 解题思路
本题的难点在于：

  1. 离散变量与连续变量耦合；
  2. 目标函数与部分约束非凸；
  3. 逻辑约束导致可行域分段定义。

我们设计一种隐式梯度与序列凸近似混合算法，核心思想如下：

  • 用序列凸近似（SCA）处理非凸函数，在每步迭代中构建凸替代模型。
  • 用隐式梯度法处理离散变量，即通过连续松弛和舍入策略，并利用梯度信息指导离散变量的更新。
  • 结合分支定界框架确保全局收敛性。

3. 解题步骤详解

步骤1：连续松弛与凸近似
首先将离散变量 \(y_i \in \{0,1\}\) 松弛为 \(y_i \in [0,1]\)，得到连续松弛问题。在第 \(k\) 次迭代点 \((x^k, y^k)\)，对非凸项进行凸近似：

  • 目标函数 \(f\) 中，\(\sin(x_1+2x_2)\) 在 \(x^k\) 处一阶泰勒展开为线性函数：

\[\sin(x_1+2x_2) \approx \sin(a^k) + \cos(a^k)(x_1+2x_2 - a^k), \quad a^k = x_1^k + 2x_2^k. \]

  • 约束 \(g_2\) 中，乘积项 \(y_1 x_2\) 在 \((y_1^k, x_2^k)\) 处线性化：

\[y_1 x_2 \approx y_1^k x_2 + x_2^k y_1 - y_1^k x_2^k. \]

线性化后，\(g_2\) 变为关于 \(x, y\) 的线性约束。

  • 对 \(g_1\)（已凸）保持不变。

得到凸近似子问题：

\[\begin{aligned} \min_{x, y} \quad & \tilde{f}^k(x, y) = \cos(a^k)(x_1+2x_2) + (y_1-1)^2 + e^{-x_2^k} y_2 \\ \text{s.t.} \quad & g_1(x) \le 0, \\ & -x_1 + y_1^k x_2 + x_2^k y_1 - y_1^k x_2^k \le 0, \\ & y_1 + 2y_2 = 3, \\ & y_i \in [0,1], \quad x \in [-5,5]^2. \end{aligned} \]

步骤2：隐式梯度更新离散变量
在解凸子问题得到连续解 \((\tilde{x}^{k+1}, \tilde{y}^{k+1})\) 后，我们需要将松弛的 \(y\) 恢复到离散值。传统方法直接舍入可能破坏可行性，因此采用隐式梯度策略：

  • 定义隐式函数 \(y^*(x) = \arg\min_{y \in [0,1]^2} L(x, y, \lambda)\)，其中 \(L\) 是拉格朗日函数，\(\lambda\) 为等式约束乘子。
  • 计算 \(y\) 关于 \(x\) 的隐式梯度 \(\nabla_x y^*\) 可通过解最优性条件的微分得到，但计算复杂。这里用简化方法：在凸子问题中固定 \(x = \tilde{x}^{k+1}\)，解关于 \(y\) 的线性规划：

\[\begin{aligned} \min_{y} \quad & (y_1-1)^2 + e^{-\tilde{x}_2^{k+1}} y_2 \\ \text{s.t.} \quad & y_1 + 2y_2 = 3, \quad y_i \in [0,1]. \end{aligned} \]

该问题目标关于 \(y_1\) 凸二次、关于 \(y_2\) 线性，可解析求解。得到连续最优 \(y_c^{k+1}\) 后，进行概率舍入：以概率 \(y_{c,i}^{k+1}\) 取 1，否则取 0。这等价于在期望意义下保持可行性。

步骤3：序列凸近似框架与信赖域结合
为防止线性化误差过大，增加信赖域约束：

\[\|x - x^k\|_\infty \le \Delta^k, \quad \|y - y^k\|_\infty \le \Delta^k. \]

初始 \(\Delta^0=1\)，根据近似质量调整：

  • 定义实际下降量 \(\text{ared} = f(x^k, y^k) - f(x^{k+1}, y^{k+1})\)，
    预测下降量 \(\text{pred} = \tilde{f}^k(x^k, y^k) - \tilde{f}^k(\tilde{x}^{k+1}, \tilde{y}^{k+1})\)。
  • 若 \(\text{ared}/\text{pred} > 0.3\)，接受迭代并扩大信赖域 \(\Delta^{k+1} = 1.5 \Delta^k\)；否则缩小 \(\Delta^{k+1} = 0.5 \Delta^k\) 并重解子问题。

步骤4：分支定界处理整数性
为得到全局最优解，在外层套用分支定界（B&B）：

  • 每个节点对应一组固定的整数变量（通过舍入或分支产生）。
  • 在节点内运行上述 SCA 隐式梯度算法求解连续松弛问题，得到下界。
  • 若节点松弛解中 \(y\) 已整数，计算目标值作为上界候选。
  • 分支策略：选某个 \(y_i \in (0,1)\) 创建两个子节点，分别固定 \(y_i=0\) 和 \(y_i=1\)。
  • 剪枝：若节点下界超过当前最好上界，剪枝。

步骤5：算法流程总结

  1. 初始化：设定初始点 \((x^0, y^0)\)，信赖域半径 \(\Delta^0\)，上界 \(UB=+\infty\)，B&B 节点队列。
  2. 对每个 B&B 节点：
    a. 在该节点整数限制下，运行 SCA 隐式梯度迭代直至收敛，得到松弛最优值（下界）和连续解。
    b. 若解中 \(y\) 全为整数，更新 UB。
    c. 若下界 < UB，选一个分数 \(y_i\) 分支。
  3. 当所有节点处理完毕，输出全局最优解。

4. 关键点与注意事项

  • 隐式梯度通过解辅助优化问题隐式更新离散变量，避免直接舍入导致的不可行。
  • 序列凸近似需保证逼近模型的凸性，否则子问题难解。
  • 信赖域控制线性化误差，提升稳定性。
  • 分支定界保证全局最优性，但计算量随整数变量数指数增长，可结合启发式早期剪枝。

5. 预期结果
该混合算法能有效处理非凸目标、逻辑约束和离散变量，在较小规模 MINLP 中可找到高质量可行解，并在一定条件下收敛到局部最优（或全局最优，若 B&B 完全搜索）。实际应用时可结合 warm-start 策略加速 SCA 迭代。

基于隐式梯度与序列凸近似的混合整数非线性规划算法进阶题 1. 题目描述 考虑如下带有逻辑约束的混合整数非线性规划（MINLP）问题： \[\begin{aligned} \min_ {x, y} \quad & f(x, y) = \sin(x_ 1 + 2x_ 2) + (y_ 1 - 1)^2 + e^{-x_ 2} y_ 2 \\ \text{s.t.} \quad & g_ 1(x, y) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - 4 \le 0, \\ & g_ 2(x, y) = -x_ 1 + y_ 1 x_ 2 \le 0, \\ & h(y) = y_ 1 + 2y_ 2 = 3, \\ & y_ 1, y_ 2 \in \{0, 1\}, \\ & x \in \mathbb{R}^2, \; x \in [ -5, 5 ]^2. \end{aligned}\] 其中 \(f\) 非凸，\(g_ 1\) 为凸二次约束，\(g_ 2\) 由于含有乘积项 \(y_ 1 x_ 2\) 而引入逻辑耦合（当 \(y_ 1=0\) 时约束退化为 \(-x_ 1 \le 0\)，否则为非线性）。目标是将离散变量与连续变量协同优化，并处理非凸性。 2. 解题思路 本题的难点在于： 离散变量与连续变量耦合； 目标函数与部分约束非凸； 逻辑约束导致可行域分段定义。 我们设计一种 隐式梯度与序列凸近似混合算法 ，核心思想如下： 用 序列凸近似（SCA） 处理非凸函数，在每步迭代中构建凸替代模型。 用 隐式梯度法 处理离散变量，即通过连续松弛和舍入策略，并利用梯度信息指导离散变量的更新。 结合 分支定界框架 确保全局收敛性。 3. 解题步骤详解 步骤1：连续松弛与凸近似 首先将离散变量 \(y_ i \in \{0,1\}\) 松弛为 \(y_ i \in [ 0,1 ]\)，得到连续松弛问题。在第 \(k\) 次迭代点 \((x^k, y^k)\)，对非凸项进行凸近似： 目标函数 \(f\) 中，\(\sin(x_ 1+2x_ 2)\) 在 \(x^k\) 处一阶泰勒展开为线性函数： \[ \sin(x_ 1+2x_ 2) \approx \sin(a^k) + \cos(a^k)(x_ 1+2x_ 2 - a^k), \quad a^k = x_ 1^k + 2x_ 2^k. \] 约束 \(g_ 2\) 中，乘积项 \(y_ 1 x_ 2\) 在 \((y_ 1^k, x_ 2^k)\) 处线性化： \[ y_ 1 x_ 2 \approx y_ 1^k x_ 2 + x_ 2^k y_ 1 - y_ 1^k x_ 2^k. \] 线性化后，\(g_ 2\) 变为关于 \(x, y\) 的线性约束。 对 \(g_ 1\)（已凸）保持不变。 得到凸近似子问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x, y} \quad & \tilde{f}^k(x, y) = \cos(a^k)(x_ 1+2x_ 2) + (y_ 1-1)^2 + e^{-x_ 2^k} y_ 2 \\ \text{s.t.} \quad & g_ 1(x) \le 0, \\ & -x_ 1 + y_ 1^k x_ 2 + x_ 2^k y_ 1 - y_ 1^k x_ 2^k \le 0, \\ & y_ 1 + 2y_ 2 = 3, \\ & y_ i \in [ 0,1], \quad x \in [ -5,5 ]^2. \end{aligned} \] 步骤2：隐式梯度更新离散变量 在解凸子问题得到连续解 \((\tilde{x}^{k+1}, \tilde{y}^{k+1})\) 后，我们需要将松弛的 \(y\) 恢复到离散值。传统方法直接舍入可能破坏可行性，因此采用 隐式梯度策略 ： 定义隐式函数 \(y^* (x) = \arg\min_ {y \in [ 0,1 ]^2} L(x, y, \lambda)\)，其中 \(L\) 是拉格朗日函数，\(\lambda\) 为等式约束乘子。 计算 \(y\) 关于 \(x\) 的隐式梯度 \(\nabla_ x y^* \) 可通过解最优性条件的微分得到，但计算复杂。这里用简化方法：在凸子问题中固定 \(x = \tilde{x}^{k+1}\)，解关于 \(y\) 的线性规划： \[ \begin{aligned} \min_ {y} \quad & (y_ 1-1)^2 + e^{-\tilde{x} 2^{k+1}} y_ 2 \\ \text{s.t.} \quad & y_ 1 + 2y_ 2 = 3, \quad y_ i \in [ 0,1 ]. \end{aligned} \] 该问题目标关于 \(y_ 1\) 凸二次、关于 \(y_ 2\) 线性，可解析求解。得到连续最优 \(y_ c^{k+1}\) 后，进行 概率舍入 ：以概率 \(y {c,i}^{k+1}\) 取 1，否则取 0。这等价于在期望意义下保持可行性。 步骤3：序列凸近似框架与信赖域结合 为防止线性化误差过大，增加信赖域约束： \[ \|x - x^k\| \infty \le \Delta^k, \quad \|y - y^k\| \infty \le \Delta^k. \] 初始 \(\Delta^0=1\)，根据近似质量调整： 定义实际下降量 \(\text{ared} = f(x^k, y^k) - f(x^{k+1}, y^{k+1})\)， 预测下降量 \(\text{pred} = \tilde{f}^k(x^k, y^k) - \tilde{f}^k(\tilde{x}^{k+1}, \tilde{y}^{k+1})\)。 若 \(\text{ared}/\text{pred} > 0.3\)，接受迭代并扩大信赖域 \(\Delta^{k+1} = 1.5 \Delta^k\)；否则缩小 \(\Delta^{k+1} = 0.5 \Delta^k\) 并重解子问题。 步骤4：分支定界处理整数性 为得到全局最优解，在外层套用分支定界（B&B）： 每个节点对应一组固定的整数变量（通过舍入或分支产生）。 在节点内运行上述 SCA 隐式梯度算法求解连续松弛问题，得到下界。 若节点松弛解中 \(y\) 已整数，计算目标值作为上界候选。 分支策略：选某个 \(y_ i \in (0,1)\) 创建两个子节点，分别固定 \(y_ i=0\) 和 \(y_ i=1\)。 剪枝：若节点下界超过当前最好上界，剪枝。 步骤5：算法流程总结 初始化：设定初始点 \((x^0, y^0)\)，信赖域半径 \(\Delta^0\)，上界 \(UB=+\infty\)，B&B 节点队列。 对每个 B&B 节点： a. 在该节点整数限制下，运行 SCA 隐式梯度迭代直至收敛，得到松弛最优值（下界）和连续解。 b. 若解中 \(y\) 全为整数，更新 UB。 c. 若下界 < UB，选一个分数 \(y_ i\) 分支。 当所有节点处理完毕，输出全局最优解。 4. 关键点与注意事项 隐式梯度通过解辅助优化问题隐式更新离散变量，避免直接舍入导致的不可行。 序列凸近似需保证逼近模型的凸性，否则子问题难解。 信赖域控制线性化误差，提升稳定性。 分支定界保证全局最优性，但计算量随整数变量数指数增长，可结合启发式早期剪枝。 5. 预期结果 该混合算法能有效处理非凸目标、逻辑约束和离散变量，在较小规模 MINLP 中可找到高质量可行解，并在一定条件下收敛到局部最优（或全局最优，若 B&B 完全搜索）。实际应用时可结合 warm-start 策略加速 SCA 迭代。