AES加密算法的InvSubBytes变换详解

字数 2239 2025-12-12 12:05:12

AES加密算法的InvSubBytes变换详解

题目描述：
在AES加密算法的解密过程中，InvSubBytes（逆字节替换）变换是其第一个非线性的逆操作，用于抵消加密过程中SubBytes变换（S盒替换）的效果。请你详细讲解InvSubBytes变换的数学定义、具体计算步骤、实现方式，并分析其如何保证解密的正确性，同时与SubBytes变换进行对比。

解题过程：
InvSubBytes是AES解密轮函数中的一步，位于InvShiftRows之后、InvMixColumns之前（最后一轮除外）。它的核心是逆向查表，将密文字节映射回原始的明文字节，其设计必须满足InvSubBytes(SubBytes(x)) = x。

步骤1：理解InvSubBytes的数学基础

SubBytes变换分为两个子操作：
- 在GF(2⁸)上的乘法逆元：对输入字节a，计算在有限域GF(2⁸)（不可约多项式为m(x)=x⁸+x⁴+x³+x+1）中的乘法逆元a⁻¹，其中0的逆元定义为0。
- 仿射变换：对a⁻¹进行一个可逆的线性变换b = A·a⁻¹ + c，其中A是一个8×8的二进制矩阵，c是常数向量0x63。
InvSubBytes是SubBytes的逆，因此也需要两个逆子操作，但顺序相反：
- 逆仿射变换：先对输入字节b计算a⁻¹ = A⁻¹·(b + c)。
- 在GF(2⁸)上再取一次乘法逆元：(a⁻¹)⁻¹ = a，恢复原始字节。
  注意：这里A⁻¹是A的逆矩阵，常数c相同。

步骤2：InvSubBytes的具体计算步骤
以输入字节b（例如0x3D）为例：

逆仿射变换：
- 定义常数c = 0x63（二进制01100011），计算b ⊕ c（按字节异或）。例如0x3D ⊕ 0x63 = 0x5E。
- 用逆矩阵A⁻¹左乘该结果（视为8位列向量）。A⁻¹固定为：
```
[0 0 1 0 0 1 0 1]  
[1 0 0 1 0 0 1 0]  
[0 1 0 0 1 0 0 1]  
[1 0 1 0 0 1 0 0]  
[0 1 0 1 0 0 1 0]  
[0 0 1 0 1 0 0 1]  
[1 0 0 1 0 1 0 0]  
[0 1 0 0 1 0 1 0]  
```
- 计算方式：将0x5E（二进制01011110）作为列向量[0 1 0 1 1 1 1 0]^T，与A⁻¹相乘得到新的8位向量（在GF(2)上做矩阵乘法，即模2加）。
  示例计算：新向量的第1位是A⁻¹第1行与向量的点积：(0,0,1,0,0,1,0,1)·(0,1,0,1,1,1,1,0) = 0⊕0⊕0⊕0⊕0⊕1⊕0⊕0 = 1。逐位计算可得结果0x13，即a⁻¹。
取乘法逆元：
- 在GF(2⁸)上计算(0x13)⁻¹。通过扩展欧几里得算法（或查预计算表）可得0x13的逆元为0x74。
- 验证：在GF(2⁸)中0x13 * 0x74 mod m(x) = 1。
输出0x74即为原始字节。

步骤3：实现方式——逆S盒（InvS-Box）查找表
由于直接计算有限域逆元和矩阵乘法较慢，AES在实现时使用预计算的逆S盒表（256字节），通过输入字节b直接查表得到输出a。

逆S盒的构造：对b=0到0xFF，按步骤2计算对应a，填入表中。
示例：b=0x3D对应逆S盒输出0x74（可验证与上述计算一致）。
解密时，对状态矩阵每个字节执行一次查表操作，与加密S盒查表方式相同。

步骤4：正确性验证与对比

可逆性证明：
- 记SubBytes为S(x)，InvSubBytes为S⁻¹(x)。由构造：
  S(x) = Affine(x⁻¹)，S⁻¹(y) = (Affine⁻¹(y))⁻¹。
  代入y=S(x)：S⁻¹(S(x)) = (Affine⁻¹(Affine(x⁻¹)))⁻¹ = (x⁻¹)⁻¹ = x。
- 因此S⁻¹是S的逆变换，确保解密还原。

与SubBytes对比：

特性	SubBytes（加密）	InvSubBytes（解密）
核心运算	取逆元→仿射变换	逆仿射变换→取逆元
矩阵	`A`（固定）	`A⁻¹`（`A`的逆）
常数	`c=0x63`	相同`c`
查找表	S-Box（正表）	InvS-Box（逆表）
非线性源	GF(2⁸)逆元	相同逆元运算

安全性作用：
- InvSubBytes与SubBytes使用相同的有限域逆元操作，继承了其非线性特性，可抵抗差分和线性密码分析。
- 在解密中，它确保了S盒变换的完全可逆，使算法对称。

总结：
InvSubBytes是AES解密的核心非线性步骤，通过逆仿射变换和有限域逆元恢复被S盒混淆的字节。其实现依赖于预计算的逆S盒表，保证了高效性和正确性。与SubBytes的数学对称性使得AES的加解密结构一致，仅需调整轮函数顺序和变换表。

AES加密算法的InvSubBytes变换详解题目描述：在AES加密算法的解密过程中，InvSubBytes（逆字节替换）变换是其第一个非线性的逆操作，用于抵消加密过程中SubBytes变换（S盒替换）的效果。请你详细讲解InvSubBytes变换的数学定义、具体计算步骤、实现方式，并分析其如何保证解密的正确性，同时与SubBytes变换进行对比。解题过程： InvSubBytes是AES解密轮函数中的一步，位于 InvShiftRows 之后、 InvMixColumns 之前（最后一轮除外）。它的核心是逆向查表，将密文字节映射回原始的明文字节，其设计必须满足 InvSubBytes(SubBytes(x)) = x 。步骤1：理解InvSubBytes的数学基础 SubBytes变换分为两个子操作：在GF(2⁸)上的乘法逆元：对输入字节 a ，计算在有限域GF(2⁸)（不可约多项式为 m(x)=x⁸+x⁴+x³+x+1 ）中的乘法逆元 a⁻¹ ，其中 0 的逆元定义为 0 。仿射变换：对 a⁻¹ 进行一个可逆的线性变换 b = A·a⁻¹ + c ，其中 A 是一个8×8的二进制矩阵， c 是常数向量 0x63 。 InvSubBytes是SubBytes的逆，因此也需要两个逆子操作，但顺序相反：逆仿射变换：先对输入字节 b 计算 a⁻¹ = A⁻¹·(b + c) 。在GF(2⁸)上再取一次乘法逆元： (a⁻¹)⁻¹ = a ，恢复原始字节。注意：这里 A⁻¹ 是 A 的逆矩阵，常数 c 相同。步骤2：InvSubBytes的具体计算步骤以输入字节 b （例如 0x3D ）为例：逆仿射变换：定义常数 c = 0x63 （二进制 01100011 ），计算 b ⊕ c （按字节异或）。例如 0x3D ⊕ 0x63 = 0x5E 。用逆矩阵 A⁻¹ 左乘该结果（视为8位列向量）。 A⁻¹ 固定为：计算方式：将 0x5E （二进制 01011110 ）作为列向量 [0 1 0 1 1 1 1 0]^T ，与 A⁻¹ 相乘得到新的8位向量（在GF(2)上做矩阵乘法，即模2加）。示例计算：新向量的第1位是 A⁻¹ 第1行与向量的点积： (0,0,1,0,0,1,0,1)·(0,1,0,1,1,1,1,0) = 0⊕0⊕0⊕0⊕0⊕1⊕0⊕0 = 1 。逐位计算可得结果 0x13 ，即 a⁻¹ 。取乘法逆元：在GF(2⁸)上计算 (0x13)⁻¹ 。通过扩展欧几里得算法（或查预计算表）可得 0x13 的逆元为 0x74 。验证：在GF(2⁸)中 0x13 * 0x74 mod m(x) = 1 。输出 0x74 即为原始字节。步骤3：实现方式——逆S盒（InvS-Box）查找表由于直接计算有限域逆元和矩阵乘法较慢，AES在实现时使用预计算的逆S盒表（256字节），通过输入字节 b 直接查表得到输出 a 。逆S盒的构造：对 b=0 到 0xFF ，按步骤2计算对应 a ，填入表中。示例： b=0x3D 对应逆S盒输出 0x74 （可验证与上述计算一致）。解密时，对状态矩阵每个字节执行一次查表操作，与加密S盒查表方式相同。步骤4：正确性验证与对比可逆性证明：记SubBytes为 S(x) ，InvSubBytes为 S⁻¹(x) 。由构造： S(x) = Affine(x⁻¹) ， S⁻¹(y) = (Affine⁻¹(y))⁻¹ 。代入 y=S(x) ： S⁻¹(S(x)) = (Affine⁻¹(Affine(x⁻¹)))⁻¹ = (x⁻¹)⁻¹ = x 。因此 S⁻¹ 是 S 的逆变换，确保解密还原。与SubBytes对比： | 特性 | SubBytes（加密） | InvSubBytes（解密） | |--------------|------------------------|----------------------------| | 核心运算 | 取逆元→仿射变换 | 逆仿射变换→取逆元 | | 矩阵 | A （固定） | A⁻¹ （ A 的逆） | | 常数 | c=0x63 | 相同 c | | 查找表 | S-Box（正表） | InvS-Box（逆表） | | 非线性源 | GF(2⁸)逆元 | 相同逆元运算 | 安全性作用： InvSubBytes与SubBytes使用相同的有限域逆元操作，继承了其非线性特性，可抵抗差分和线性密码分析。在解密中，它确保了S盒变换的完全可逆，使算法对称。总结： InvSubBytes是AES解密的核心非线性步骤，通过逆仿射变换和有限域逆元恢复被S盒混淆的字节。其实现依赖于预计算的逆S盒表，保证了高效性和正确性。与SubBytes的数学对称性使得AES的加解密结构一致，仅需调整轮函数顺序和变换表。