自适应坐标下降法(Adaptive Coordinate Descent)进阶题
字数 3075 2025-12-12 09:57:21

自适应坐标下降法(Adaptive Coordinate Descent)进阶题

题目描述
考虑如下带约束非线性规划问题：

最小化 \(f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{n} (x_i^2 - \cos(2\pi x_i))\)
约束条件为

\[\begin{aligned} g_1(\mathbf{x}) &= \sum_{i=1}^{n} x_i - 1 \le 0, \\ g_2(\mathbf{x}) &= -\sum_{i=1}^{n} x_i^2 + 0.5 \le 0, \\ x_i &\in [-2, 2], \quad i=1,\dots,n \end{aligned} \]

其中 \(n=10\)，目标函数包含振荡分量，约束为线性与非线性混合。
要求使用自适应坐标下降法求解，该方法在每次迭代中自适应地选择最可能下降的坐标方向进行更新，并处理约束。

解题过程循序渐进展开

  1. 问题理解与算法概览
    这是一个有约束非线性优化问题，目标函数可分离为各变量函数之和，但包含非凸的余弦项。约束包括线性不等式和非线性凸不等式，以及边界约束。坐标下降法（Coordinate Descent, CD）通过轮流沿坐标方向最小化来求解，但标准CD顺序更新所有坐标，效率可能不高。自适应坐标下降法（Adaptive CD）在每轮迭代中，根据某种准则（例如梯度幅值、预测下降量）动态选择一个或几个坐标进行更新，从而加速收敛。处理约束时，需要在坐标更新子问题中考虑约束。

  2. 方法设计
    a. 自适应坐标选择策略：
    定义在点 \(\mathbf{x}^k\) 处，对每个坐标 \(i\)，计算沿该坐标方向的梯度分量（或近似下降量）。对于可微目标，使用偏导数：

\[ \nabla_i f(\mathbf{x}^k) = 2x_i^k + 2\pi \sin(2\pi x_i^k) \]

  我们选择梯度幅值最大的坐标作为当前最速下降方向，但为防止反复选择同一坐标，引入“重要性权重”衰减机制：对最近被选过的坐标，其权重乘以衰减因子（如0.5）。最终选择加权梯度幅值最大的坐标。

b. 约束处理：
在更新选定坐标 \(x_i\) 时，固定其他坐标，子问题变为单变量约束优化。但约束 \(g_1, g_2\) 涉及所有变量，因此更新时必须确保约束满足。我们采用近似处理：在每次坐标更新后，通过调整步长或施加投影，使当前点满足约束。具体地，将约束转化为惩罚项加到子问题中，即求解：

\[ \min_{x_i \in [-2,2]} f(\mathbf{x}) + \mu \max(0, g_1(\mathbf{x}))^2 + \mu \max(0, g_2(\mathbf{x}))^2 \]

  其中 $\mu > 0$ 是惩罚参数。在子问题中，由于其他坐标固定，惩罚项关于 $x_i$ 是二次或线性形式，可高效求解。

c. 子问题求解：
对选定的坐标 \(i\)，子目标为关于 \(x_i\) 的一维函数，包含可微项和简单边界。可用黄金分割法或三次插值法求解精确一维极小点，因为计算成本低。
d. 自适应调整：
如果连续多次迭代目标函数下降不足，则扩大坐标选择范围（如多选几个坐标同时更新），或增加惩罚参数 \(\mu\) 以加强约束满足。

  1. 算法步骤
    步骤0：初始化

    • 初始点 \(\mathbf{x}^0\) 满足边界约束（如全零或随机在 \([-2,2]\) 内）。
    • 初始惩罚参数 \(\mu = 1\)，衰减因子 \(\beta = 0.5\)，坐标选择权重向量 \(\mathbf{w} = \mathbf{1}\)，迭代计数器 \(k=0\)，容忍误差 \(\epsilon = 10^{-4}\)。

    步骤1：计算梯度与选择坐标

    • 计算当前梯度分量 \(g_i = |\nabla_i f(\mathbf{x}^k)|\) 对 \(i=1,\dots,n\)。
    • 计算加权梯度 \(h_i = w_i \cdot g_i\)。
    • 选择使 \(h_i\) 最大的坐标 \(i_k\)，若有多个则任选一个。
    • 更新权重：\(w_{i_k} \leftarrow \beta \cdot w_{i_k}\)（衰减），对其他 \(i \neq i_k\)，\(w_i \leftarrow \min(1, w_i + (1-\beta)/n)\)（缓慢恢复）。

    步骤2：求解坐标子问题

    • 固定 \(x_j = x_j^k\) 对 \(j \neq i_k\)，构造关于 \(x_{i_k}\) 的一维惩罚函数：

\[ \phi(z) = f(\mathbf{x}^k) - f_{i_k}(x_{i_k}^k) + f_{i_k}(z) + \mu \max(0, g_1(\mathbf{x}^k) - (x_{i_k}^k - z))^2 + \mu \max(0, g_2(\mathbf{x}^k) + ( (x_{i_k}^k)^2 - z^2 ))^2 \]

 其中 $f_{i_k}(z) = z^2 - \cos(2\pi z)$ 是目标函数中与 $x_{i_k}$ 相关的项。注意约束 $g_1, g_2$ 的表达式被改写为仅与 $x_{i_k}$ 变化量相关。
  • 求解 \(\min_{z \in [-2,2]} \phi(z)\) 得到 \(z^*\)（如一维搜索）。
  • 更新坐标：\(x_{i_k}^{k+1} = z^*\)，其他坐标保持不变。

步骤3：约束满足检查与惩罚参数调整

  • 计算约束违反度 \(V = \max(0, g_1(\mathbf{x}^{k+1})) + \max(0, g_2(\mathbf{x}^{k+1}))\)。
  • 如果 \(V < \epsilon\) 且前一步也满足，则进入步骤4；否则若 \(V \ge \epsilon\)，增大惩罚参数 \(\mu \leftarrow 2\mu\)，以加强约束满足。

步骤4：收敛判断

  • 如果 \(\|\mathbf{x}^{k+1} - \mathbf{x}^k\| < \epsilon\) 且 \(V < \epsilon\)，停止并输出 \(\mathbf{x}^{k+1}\) 作为近似解。
  • 否则，令 \(k \leftarrow k+1\) 返回步骤1。

  1. 算法特性说明

    • 自适应选择使得算法优先更新梯度大的坐标，加速初期下降。
    • 权重衰减与恢复机制避免某些坐标长期不被更新，保持探索性。
    • 约束通过惩罚项处理，在子问题中局部近似，适合坐标框架。
    • 收敛性：在目标函数连续可微、约束可行集紧致条件下，算法产生的极限点满足一阶必要条件的近似（由于惩罚函数法）。

  2. 本题扩展思考

    • 可替换自适应策略为基于预测下降量的选择（预估沿各坐标更新后的目标减少量）。
    • 对不可分离约束，坐标下降可能收敛慢，可考虑块坐标下降（将变量分组）或结合增广拉格朗日法。
    • 实际代码实现中，可利用目标函数的可分离结构快速计算梯度分量，并缓存约束值以减少计算量。

通过以上步骤，自适应坐标下降法能够高效求解该混合约束非凸问题，尤其适用于中高维度且目标函数沿不同坐标变化不均的情形。

自适应坐标下降法(Adaptive Coordinate Descent)进阶题 题目描述 考虑如下带约束非线性规划问题： 最小化 \( f(\mathbf{x}) = \sum_ {i=1}^{n} (x_ i^2 - \cos(2\pi x_ i)) \) 约束条件为 \[ \begin{aligned} g_ 1(\mathbf{x}) &= \sum_ {i=1}^{n} x_ i - 1 \le 0, \\ g_ 2(\mathbf{x}) &= -\sum_ {i=1}^{n} x_ i^2 + 0.5 \le 0, \\ x_ i &\in [ -2, 2 ], \quad i=1,\dots,n \end{aligned} \] 其中 \(n=10\)，目标函数包含振荡分量，约束为线性与非线性混合。 要求使用自适应坐标下降法求解，该方法在每次迭代中自适应地选择最可能下降的坐标方向进行更新，并处理约束。 解题过程循序渐进展开 问题理解与算法概览 这是一个有约束非线性优化问题，目标函数可分离为各变量函数之和，但包含非凸的余弦项。约束包括线性不等式和非线性凸不等式，以及边界约束。坐标下降法（Coordinate Descent, CD）通过轮流沿坐标方向最小化来求解，但标准CD顺序更新所有坐标，效率可能不高。自适应坐标下降法（Adaptive CD）在每轮迭代中，根据某种准则（例如梯度幅值、预测下降量）动态选择一个或几个坐标进行更新，从而加速收敛。处理约束时，需要在坐标更新子问题中考虑约束。 方法设计 a. 自适应坐标选择策略 ： 定义在点 \(\mathbf{x}^k\) 处，对每个坐标 \(i\)，计算沿该坐标方向的梯度分量（或近似下降量）。对于可微目标，使用偏导数： \[ \nabla_ i f(\mathbf{x}^k) = 2x_ i^k + 2\pi \sin(2\pi x_ i^k) \] 我们选择梯度幅值最大的坐标作为当前最速下降方向，但为防止反复选择同一坐标，引入“重要性权重”衰减机制：对最近被选过的坐标，其权重乘以衰减因子（如0.5）。最终选择加权梯度幅值最大的坐标。 b. 约束处理 ： 在更新选定坐标 \(x_ i\) 时，固定其他坐标，子问题变为单变量约束优化。但约束 \(g_ 1, g_ 2\) 涉及所有变量，因此更新时必须确保约束满足。我们采用近似处理：在每次坐标更新后，通过调整步长或施加投影，使当前点满足约束。具体地，将约束转化为惩罚项加到子问题中，即求解： \[ \min_ {x_ i \in [ -2,2]} f(\mathbf{x}) + \mu \max(0, g_ 1(\mathbf{x}))^2 + \mu \max(0, g_ 2(\mathbf{x}))^2 \] 其中 \(\mu > 0\) 是惩罚参数。在子问题中，由于其他坐标固定，惩罚项关于 \(x_ i\) 是二次或线性形式，可高效求解。 c. 子问题求解 ： 对选定的坐标 \(i\)，子目标为关于 \(x_ i\) 的一维函数，包含可微项和简单边界。可用黄金分割法或三次插值法求解精确一维极小点，因为计算成本低。 d. 自适应调整 ： 如果连续多次迭代目标函数下降不足，则扩大坐标选择范围（如多选几个坐标同时更新），或增加惩罚参数 \(\mu\) 以加强约束满足。 算法步骤 步骤0：初始化 初始点 \(\mathbf{x}^0\) 满足边界约束（如全零或随机在 \([ -2,2 ]\) 内）。 初始惩罚参数 \(\mu = 1\)，衰减因子 \(\beta = 0.5\)，坐标选择权重向量 \(\mathbf{w} = \mathbf{1}\)，迭代计数器 \(k=0\)，容忍误差 \(\epsilon = 10^{-4}\)。 步骤1：计算梯度与选择坐标 计算当前梯度分量 \(g_ i = |\nabla_ i f(\mathbf{x}^k)|\) 对 \(i=1,\dots,n\)。 计算加权梯度 \(h_ i = w_ i \cdot g_ i\)。 选择使 \(h_ i\) 最大的坐标 \(i_ k\)，若有多个则任选一个。 更新权重：\(w_ {i_ k} \leftarrow \beta \cdot w_ {i_ k}\)（衰减），对其他 \(i \neq i_ k\)，\(w_ i \leftarrow \min(1, w_ i + (1-\beta)/n)\)（缓慢恢复）。 步骤2：求解坐标子问题 固定 \(x_ j = x_ j^k\) 对 \(j \neq i_ k\)，构造关于 \(x_ {i_ k}\) 的一维惩罚函数： \[ \phi(z) = f(\mathbf{x}^k) - f_ {i_ k}(x_ {i_ k}^k) + f_ {i_ k}(z) + \mu \max(0, g_ 1(\mathbf{x}^k) - (x_ {i_ k}^k - z))^2 + \mu \max(0, g_ 2(\mathbf{x}^k) + ( (x_ {i_ k}^k)^2 - z^2 ))^2 \] 其中 \(f_ {i_ k}(z) = z^2 - \cos(2\pi z)\) 是目标函数中与 \(x_ {i_ k}\) 相关的项。注意约束 \(g_ 1, g_ 2\) 的表达式被改写为仅与 \(x_ {i_ k}\) 变化量相关。 求解 \( \min_ {z \in [ -2,2]} \phi(z) \) 得到 \(z^* \)（如一维搜索）。 更新坐标：\(x_ {i_ k}^{k+1} = z^* \)，其他坐标保持不变。 步骤3：约束满足检查与惩罚参数调整 计算约束违反度 \(V = \max(0, g_ 1(\mathbf{x}^{k+1})) + \max(0, g_ 2(\mathbf{x}^{k+1}))\)。 如果 \(V < \epsilon\) 且前一步也满足，则进入步骤4；否则若 \(V \ge \epsilon\)，增大惩罚参数 \(\mu \leftarrow 2\mu\)，以加强约束满足。 步骤4：收敛判断 如果 \(\|\mathbf{x}^{k+1} - \mathbf{x}^k\| < \epsilon\) 且 \(V < \epsilon\)，停止并输出 \(\mathbf{x}^{k+1}\) 作为近似解。 否则，令 \(k \leftarrow k+1\) 返回步骤1。 算法特性说明 自适应选择使得算法优先更新梯度大的坐标，加速初期下降。 权重衰减与恢复机制避免某些坐标长期不被更新，保持探索性。 约束通过惩罚项处理，在子问题中局部近似，适合坐标框架。 收敛性：在目标函数连续可微、约束可行集紧致条件下，算法产生的极限点满足一阶必要条件的近似（由于惩罚函数法）。 本题扩展思考 可替换自适应策略为基于预测下降量的选择（预估沿各坐标更新后的目标减少量）。 对不可分离约束，坐标下降可能收敛慢，可考虑块坐标下降（将变量分组）或结合增广拉格朗日法。 实际代码实现中，可利用目标函数的可分离结构快速计算梯度分量，并缓存约束值以减少计算量。 通过以上步骤，自适应坐标下降法能够高效求解该混合约束非凸问题，尤其适用于中高维度且目标函数沿不同坐标变化不均的情形。