序列凸近似信赖域反射-自适应屏障混合算法进阶题

字数 3157 2025-12-12 08:14:31

序列凸近似信赖域反射-自适应屏障混合算法进阶题

题目描述：
考虑以下带非线性不等式约束的非凸优化问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m, \end{aligned} \]

其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和 \(g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 均为二阶连续可微但不一定为凸函数。假设可行域非空，且问题存在局部最优解。
设计一种序列凸近似信赖域反射-自适应屏障混合算法，其核心思想是：在每一步迭代中，利用序列凸近似（SCA）将原非凸问题转化为凸子问题，结合信赖域策略控制近似精度，并引入自适应屏障函数处理约束，同时采用反射技术保证迭代点可行性。要求算法在保证全局收敛的同时，能高效处理非凸约束。

解题过程循序渐进讲解：
我们将算法分为几个关键步骤，并详细解释每个步骤的原理与实现细节。

步骤1：问题重构与屏障函数引入
首先，将不等式约束通过自适应屏障函数整合到目标中，构建近似无约束问题。定义自适应屏障函数为：

\[\Phi(x; \mu) = f(x) - \mu \sum_{i=1}^{m} \log(-g_i(x)), \]

其中 \(\mu > 0\) 是屏障参数。当 \(\mu \to 0\) 时，\(\Phi(x; \mu)\) 的解趋近于原问题的最优解。但直接优化 \(\Phi\) 可能因非凸性而困难，因此我们引入序列凸近似。

步骤2：序列凸近似（SCA）子问题构建
在第 \(k\) 次迭代，当前点为 \(x_k\)。对 \(f\) 和 \(g_i\) 在 \(x_k\) 处做凸近似。通常采用一阶泰勒展开或凸上界/下界函数。这里以线性化为例（对于非凸函数，线性化后为仿射函数，是凸的）：

\[\tilde{f}_k(x) = f(x_k) + \nabla f(x_k)^T (x - x_k), \\ \tilde{g}_{i,k}(x) = g_i(x_k) + \nabla g_i(x_k)^T (x - x_k). \]

则第 \(k\) 步的近似屏障函数为：

\[\tilde{\Phi}_k(x; \mu) = \tilde{f}_k(x) - \mu \sum_{i=1}^{m} \log(-\tilde{g}_{i,k}(x)). \]

注意：为保证对数函数有定义，需满足 \(\tilde{g}_{i,k}(x) < 0\)，这定义了近似可行域。

步骤3：信赖域与反射技术结合
为确保近似有效，我们限制步长大小。定义信赖域约束：

\[\|x - x_k\| \leq \Delta_k, \]

其中 \(\Delta_k > 0\) 是信赖域半径。但直接求解带信赖域约束的子问题可能因近似可行域太小而不可行。为此，引入反射技术：若子问题不可行，则沿约束梯度方向反射当前点，重新构建近似。
反射步骤：若 \(g_i(x_k) \geq 0\)（违反约束），计算反射方向 \(d = -\nabla g_i(x_k) / \|\nabla g_i(x_k)\|\)，并更新 \(x_k \leftarrow x_k + \alpha d\) 直到满足 \(g_i(x_k) < 0\)，其中 \(\alpha\) 为线搜索步长。这保证迭代点严格可行，从而子问题中的 \(\tilde{g}_{i,k}(x) < 0\) 在 \(x_k\) 附近成立。

步骤4：凸子问题求解
在第 \(k\) 步，求解如下凸优化子问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & \tilde{\Phi}_k(x; \mu_k) \\ \text{s.t.} \quad & \|x - x_k\| \leq \Delta_k, \end{aligned} \]

其中 \(\mu_k\) 是当前屏障参数。由于 \(\tilde{\Phi}_k\) 是凸函数（线性项减去对数凸函数），且约束为球约束，该子问题可用内点法或投影梯度法高效求解。记解为 \(x_k^*\)。

步骤5：接受性检验与信赖域更新
计算实际下降量与预测下降量的比值：

\[\rho_k = \frac{\Phi(x_k; \mu_k) - \Phi(x_k^*; \mu_k)}{\tilde{\Phi}_k(x_k; \mu_k) - \tilde{\Phi}_k(x_k^*; \mu_k)}. \]

若 \(\rho_k \geq \eta_1\)（例如 \(\eta_1 = 0.1\)），则接受步长：\(x_{k+1} = x_k^*\)。
否则拒绝步长：\(x_{k+1} = x_k\)。
信赖域半径更新规则：

\[\Delta_{k+1} = \begin{cases} \max(\gamma_1 \Delta_k, \Delta_{\min}) & \text{if } \rho_k < \eta_1, \\ \Delta_k & \text{if } \eta_1 \leq \rho_k < \eta_2, \\ \min(\gamma_2 \Delta_k, \Delta_{\max}) & \text{if } \rho_k \geq \eta_2, \end{cases} \]

其中 \(0 < \eta_1 < \eta_2 < 1\)， \(0 < \gamma_1 < 1 < \gamma_2\)，\(\Delta_{\min}\) 和 \(\Delta_{\max}\) 为半径上下界。

步骤6：屏障参数自适应更新
屏障参数 \(\mu_k\) 随着迭代逐步减小，以逼近原问题。更新规则：

\[\mu_{k+1} = \begin{cases} \sigma \mu_k & \text{if } \|x_{k+1} - x_k\| \leq \tau \Delta_k \text{ 且 } \mu_k > \mu_{\min}, \\ \mu_k & \text{otherwise}, \end{cases} \]

其中 \(0 < \sigma < 1\)，\(\tau > 0\) 为阈值，\(\mu_{\min} > 0\) 为最小屏障参数。该策略在迭代稳定时收紧屏障，平衡可行性与最优性。

步骤7：收敛性判断
算法终止条件基于一阶必要条件的近似：

\[\|\nabla \Phi(x_k; \mu_k)\| \leq \epsilon \quad \text{且} \quad \mu_k \leq \mu_{\min}, \]

或达到最大迭代次数。若未收敛，返回步骤2。

算法总结：
本算法融合了序列凸近似（处理非凸性）、信赖域（控制近似质量）、自适应屏障（处理约束）和反射技术（保证可行性）。其优势在于：通过SCA将非凸问题转化为一系列凸子问题，信赖域保证全局收敛，自适应屏障避免病态，反射技术增强鲁棒性。该算法适用于中规模非凸约束优化，如工程设计、经济模型等领域。

序列凸近似信赖域反射-自适应屏障混合算法进阶题题目描述：考虑以下带非线性不等式约束的非凸优化问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & g_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m, \end{aligned} \] 其中 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 和 \( g_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 均为二阶连续可微但不一定为凸函数。假设可行域非空，且问题存在局部最优解。设计一种序列凸近似信赖域反射-自适应屏障混合算法，其核心思想是：在每一步迭代中，利用序列凸近似（SCA）将原非凸问题转化为凸子问题，结合信赖域策略控制近似精度，并引入自适应屏障函数处理约束，同时采用反射技术保证迭代点可行性。要求算法在保证全局收敛的同时，能高效处理非凸约束。解题过程循序渐进讲解：我们将算法分为几个关键步骤，并详细解释每个步骤的原理与实现细节。步骤1：问题重构与屏障函数引入首先，将不等式约束通过自适应屏障函数整合到目标中，构建近似无约束问题。定义自适应屏障函数为： \[ \Phi(x; \mu) = f(x) - \mu \sum_ {i=1}^{m} \log(-g_ i(x)), \] 其中 \(\mu > 0\) 是屏障参数。当 \(\mu \to 0\) 时，\(\Phi(x; \mu)\) 的解趋近于原问题的最优解。但直接优化 \(\Phi\) 可能因非凸性而困难，因此我们引入序列凸近似。步骤2：序列凸近似（SCA）子问题构建在第 \(k\) 次迭代，当前点为 \(x_ k\)。对 \(f\) 和 \(g_ i\) 在 \(x_ k\) 处做凸近似。通常采用一阶泰勒展开或凸上界/下界函数。这里以线性化为例（对于非凸函数，线性化后为仿射函数，是凸的）： \[ \tilde{f} k(x) = f(x_ k) + \nabla f(x_ k)^T (x - x_ k), \\ \tilde{g} {i,k}(x) = g_ i(x_ k) + \nabla g_ i(x_ k)^T (x - x_ k). \] 则第 \(k\) 步的近似屏障函数为： \[ \tilde{\Phi} k(x; \mu) = \tilde{f} k(x) - \mu \sum {i=1}^{m} \log(-\tilde{g} {i,k}(x)). \] 注意：为保证对数函数有定义，需满足 \(\tilde{g}_ {i,k}(x) < 0\)，这定义了近似可行域。步骤3：信赖域与反射技术结合为确保近似有效，我们限制步长大小。定义信赖域约束： \[ \|x - x_ k\| \leq \Delta_ k, \] 其中 \(\Delta_ k > 0\) 是信赖域半径。但直接求解带信赖域约束的子问题可能因近似可行域太小而不可行。为此，引入反射技术：若子问题不可行，则沿约束梯度方向反射当前点，重新构建近似。反射步骤：若 \(g_ i(x_ k) \geq 0\)（违反约束），计算反射方向 \(d = -\nabla g_ i(x_ k) / \|\nabla g_ i(x_ k)\|\)，并更新 \(x_ k \leftarrow x_ k + \alpha d\) 直到满足 \(g_ i(x_ k) < 0\)，其中 \(\alpha\) 为线搜索步长。这保证迭代点严格可行，从而子问题中的 \(\tilde{g}_ {i,k}(x) < 0\) 在 \(x_ k\) 附近成立。步骤4：凸子问题求解在第 \(k\) 步，求解如下凸优化子问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & \tilde{\Phi}_ k(x; \mu_ k) \\ \text{s.t.} \quad & \|x - x_ k\| \leq \Delta_ k, \end{aligned} \] 其中 \(\mu_ k\) 是当前屏障参数。由于 \(\tilde{\Phi}_ k\) 是凸函数（线性项减去对数凸函数），且约束为球约束，该子问题可用内点法或投影梯度法高效求解。记解为 \(x_ k^* \)。步骤5：接受性检验与信赖域更新计算实际下降量与预测下降量的比值： \[ \rho_ k = \frac{\Phi(x_ k; \mu_ k) - \Phi(x_ k^ ; \mu_ k)}{\tilde{\Phi}_ k(x_ k; \mu_ k) - \tilde{\Phi}_ k(x_ k^ ; \mu_ k)}. \] 若 \(\rho_ k \geq \eta_ 1\)（例如 \(\eta_ 1 = 0.1\)），则接受步长：\(x_ {k+1} = x_ k^* \)。否则拒绝步长：\(x_ {k+1} = x_ k\)。信赖域半径更新规则： \[ \Delta_ {k+1} = \begin{cases} \max(\gamma_ 1 \Delta_ k, \Delta_ {\min}) & \text{if } \rho_ k < \eta_ 1, \\ \Delta_ k & \text{if } \eta_ 1 \leq \rho_ k < \eta_ 2, \\ \min(\gamma_ 2 \Delta_ k, \Delta_ {\max}) & \text{if } \rho_ k \geq \eta_ 2, \end{cases} \] 其中 \(0 < \eta_ 1 < \eta_ 2 < 1\)， \(0 < \gamma_ 1 < 1 < \gamma_ 2\)，\(\Delta_ {\min}\) 和 \(\Delta_ {\max}\) 为半径上下界。步骤6：屏障参数自适应更新屏障参数 \(\mu_ k\) 随着迭代逐步减小，以逼近原问题。更新规则： \[ \mu_ {k+1} = \begin{cases} \sigma \mu_ k & \text{if } \|x_ {k+1} - x_ k\| \leq \tau \Delta_ k \text{ 且 } \mu_ k > \mu_ {\min}, \\ \mu_ k & \text{otherwise}, \end{cases} \] 其中 \(0 < \sigma < 1\)，\(\tau > 0\) 为阈值，\(\mu_ {\min} > 0\) 为最小屏障参数。该策略在迭代稳定时收紧屏障，平衡可行性与最优性。步骤7：收敛性判断算法终止条件基于一阶必要条件的近似： \[ \|\nabla \Phi(x_ k; \mu_ k)\| \leq \epsilon \quad \text{且} \quad \mu_ k \leq \mu_ {\min}, \] 或达到最大迭代次数。若未收敛，返回步骤2。算法总结：本算法融合了序列凸近似（处理非凸性）、信赖域（控制近似质量）、自适应屏障（处理约束）和反射技术（保证可行性）。其优势在于：通过SCA将非凸问题转化为一系列凸子问题，信赖域保证全局收敛，自适应屏障避免病态，反射技术增强鲁棒性。该算法适用于中规模非凸约束优化，如工程设计、经济模型等领域。