奇偶移排序（Odd-Even Transposition Sort）的算法原理与并行化实现

题目描述

我们已知奇偶移排序（Odd-Even Transposition Sort）是一种基于冒泡排序的并行排序算法。它通过交替执行“奇数比较交换”和“偶数比较交换”阶段，将数组按升序排列。本题要求你：

1. 理解算法的串行实现原理：掌握其如何通过奇偶交替的成对比较完成排序。
2. 分析其并行化特性：说明如何将比较交换操作分配到多个处理器中并行执行。
3. 推导时间复杂度：分析串行和并行版本的时间复杂度，并解释其如何优于普通冒泡排序。
4. 实现并行版本（伪代码）：展示基于共享内存模型（如OpenMP）的并行实现思路。

解题过程

1. 算法核心思想

奇偶移排序将排序过程分为若干轮，每轮包含两个阶段：

• 奇数阶段：比较所有奇数索引对 (1,2), (3,4), (5,6), ...，若相邻两元素逆序则交换。
• 偶数阶段：比较所有偶数索引对 (0,1), (2,3), (4,5), ...，若相邻两元素逆序则交换。

通过交替执行这两个阶段，元素会像“气泡”一样逐渐移动到正确位置。例如数组 [5, 2, 9, 1]：

• 奇数阶段：比较 (1,2)→(2,9)不交换；
• 偶数阶段：比较 (0,1)→(5,2)交换得 [2,5,9,1]，比较 (2,3)→(9,1)交换得 [2,5,1,9]；
• 重复交替阶段直至完全有序。

2. 串行实现与正确性证明

循环不变式：

• 在每一对奇偶阶段完成后，数组的“局部有序性”增强，最终经过 n 轮（n 为数组长度）后全局有序。
• 数学上可证明：每对奇偶阶段能将未排序元素的最大移动距离减少1，类似于冒泡排序但更高效。

伪代码（串行）：

function oddEvenSort(arr):
    n = arr.length
    for i = 0 to n-1:
        // 奇数阶段
        for j = 1 to n-2 step 2:
            if arr[j] > arr[j+1]:
                swap(arr[j], arr[j+1])
        // 偶数阶段
        for k = 0 to n-2 step 2:
            if arr[k] > arr[k+1]:
                swap(arr[k], arr[k+1])

说明：外层循环 i 执行 n 次保证最坏情况完全排序（实际可优化为提前终止）。

3. 并行化潜力分析

关键观察：

• 在奇数阶段，所有奇数索引对 (1,2), (3,4)... 的比较交换相互独立，可并行执行。
• 在偶数阶段，所有偶数索引对 (0,1), (2,3)... 同样相互独立，可并行执行。
• 但两个阶段之间必须同步，因为偶数阶段的比较依赖前一个奇数阶段的结果。

并行模型：

• 假设有 p 个处理器，数组划分为 p 块。
• 每个处理器负责本地比较交换，阶段结束后通过屏障（barrier）同步。

4. 并行实现（伪代码，基于OpenMP）

#include <omp.h>
void parallelOddEvenSort(int* arr, int n) {
    int sorted = 0;
    while (!sorted) {
        sorted = 1;
        // 奇数阶段
        #pragma omp parallel for reduction(&&:sorted)
        for (int j = 1; j < n-1; j += 2) {
            if (arr[j] > arr[j+1]) {
                swap(arr[j], arr[j+1]);
                sorted = 0;
            }
        }
        // 同步（OpenMP隐式屏障）
        // 偶数阶段
        #pragma omp parallel for reduction(&&:sorted)
        for (int k = 0; k < n-1; k += 2) {
            if (arr[k] > arr[k+1]) {
                swap(arr[k], arr[k+1]);
                sorted = 0;
            }
        }
    }
}

优化点：

• 使用 reduction 子句合并 sorted 标志，提前终止循环。
• 并行阶段内无数据竞争，因为每个线程操作不同的索引对。

5. 时间复杂度推导

• 串行版本：外层循环 n 轮，每轮遍历数组两次（奇+偶阶段），总比较次数为 O(n²)，但常数因子小于冒泡排序（因交替阶段加速了元素移动）。
• 并行版本：
  • 每轮奇/偶阶段可在 O(1) 时间内完成（假设处理器数 p ≥ n/2，且通信开销忽略）。
  • 最坏仍需 n 轮，故并行时间为 O(n)，优于冒泡排序的 O(n²)。
  • 实际加速受限于同步开销和负载均衡。

6. 边界条件与注意事项

• 数组长度为奇数时，最后一个元素在偶数阶段可能参与交换，需确保索引不越界。
• 并行版本在分布式内存中需考虑通信成本（如MPI发送边界元素）。
• 该算法适合SIMD架构或多核共享内存系统，但对海量数据效率仍低于快速排序等算法。

总结

奇偶移排序通过规则化的交替比较简化了并行调度，是理解并行排序基础的经典案例。它在小规模数据或特定硬件（如FPGA）中具有实用价值，也常作为并行计算课程的教学案例。