SM4分组密码算法的轮常数生成过程
字数 2665 2025-12-12 05:13:16

SM4分组密码算法的轮常数生成过程

我将为你详细讲解SM4分组密码算法中轮常数的生成过程。这是一个非常重要但常被忽视的细节，它关系到算法的密钥扩展和轮函数运算。

题目描述

SM4是中国国家标准的分组密码算法，分组长度为128比特，密钥长度为128比特，采用32轮非平衡Feistel结构。在SM4的密钥扩展算法中，需要生成32个32比特的轮密钥（rk₀到rk₃₁）。而生成这些轮密钥时，需要使用一个预先定义的常数序列，称为“轮常数”或“固定参数”（Fixed Parameters）。这些常数是如何生成的？其设计原理和具体计算过程是什么？

解题过程（循序渐进讲解）

步骤1：理解轮常数的作用

在SM4的密钥扩展算法中，轮常数（记为CK，Cipher Key constants）用于与中间密钥数据结合，增加密钥扩展的非线性性和随机性，防止密钥扩展过程过于简单而被攻击。它们也确保了即使初始密钥全为0，扩展出的轮密钥也不会全为0，提高了算法对弱密钥的抵抗能力。

步骤2：确认轮常数的格式与数量

SM4需要生成32个轮密钥，因此相应地需要32个轮常数。每个轮常数是一个32比特（4字节）的无符号整数。所以，总共有32个常数，记为：
CK₀, CK₁, CK₂, ..., CK₃₁
每个CKᵢ ∈ {0, 1, ..., 2³²−1}。

步骤3：轮常数的生成公式（核心）

轮常数并不是随机选取的，而是由一个简单的线性公式生成，确保其可复现性和结构性。其生成方法如下：
设每个轮常数CKᵢ由4个字节构成：CKᵢ = (ckᵢ,₀, ckᵢ,₁, ckᵢ,₂, ckᵢ,₃)，其中每个ckᵢ,ⱼ是一个字节（8比特）。
那么，每个字节的值为：

\[ ck_{i,j} = (4i + j) \times 7 \ (\text{mod} \ 256) \]

其中：

  • i = 0, 1, 2, ..., 31 （对应32个轮常数）
  • j = 0, 1, 2, 3 （对应每个常数的4个字节）
  • 所有运算在整数域进行，结果取模256（因为一个字节的范围是0~255）。
  • “×”表示乘法。
  • 公式中的“7”是设计者选择的乘数，是一个小奇数，确保字节值充分变化。

步骤4：逐步计算示例（以CK₀和CK₁为例）

我们来手动计算前两个轮常数，验证公式。

计算CK₀ (i=0):

  • j=0: ck₀,₀ = (4×0 + 0) × 7 = 0 × 7 = 0 (mod 256) = 0x00
  • j=1: ck₀,₁ = (4×0 + 1) × 7 = 1 × 7 = 7 = 0x07
  • j=2: ck₀,₂ = (4×0 + 2) × 7 = 2 × 7 = 14 = 0x0E
  • j=3: ck₀,₃ = (4×0 + 3) × 7 = 3 × 7 = 21 = 0x15
    所以，CK₀ = (0x00, 0x07, 0x0E, 0x15)。按照大端序（高位字节在前）组合成一个32位数：0x00070E15。

计算CK₁ (i=1):

  • j=0: ck₁,₀ = (4×1 + 0) × 7 = 4 × 7 = 28 = 0x1C
  • j=1: ck₁,₁ = (4×1 + 1) × 7 = 5 × 7 = 35 = 0x23
  • j=2: ck₁,₂ = (4×1 + 2) × 7 = 6 × 7 = 42 = 0x2A
  • j=3: ck₁,₃ = (4×1 + 3) × 7 = 7 × 7 = 49 = 0x31
    所以，CK₁ = (0x1C, 0x23, 0x2A, 0x31)，即0x1C232A31。

步骤5：完整常数表与验证

按照上述公式，我们可以计算出完整的32个轮常数。在实际的SM4标准文档或实现中，这些常数通常以预计算的常量数组形式给出，避免运行时重复计算。例如，前8个常数为（以十六进制表示）：
CK₀ = 0x00070E15
CK₁ = 0x1C232A31
CK₂ = 0x383F464D
CK₃ = 0x545B6269
CK₄ = 0x70777E85
CK₅ = 0x8C939AA1
CK₆ = 0xA8AFB6BD
CK₇ = 0xC4CBD2D9
...
你可以观察到，每增加一个i（即每生成下一个常数），每个字节值大致增加28（因为4×7=28），但由于模256运算，会呈现周期性的线性序列。

步骤6：与密钥扩展算法的结合

在SM4密钥扩展算法中，轮常数CKᵢ被用在轮密钥生成的“T’变换”中。具体来说（简述过程）：

  1. 初始128比特密钥MK被分为4个32比特字：MK = (MK₀, MK₁, MK₂, MK₃)。
  2. 计算中间值Kᵢ = MKᵢ ⊕ FKᵢ（i=0,1,2,3），其中FK是系统固定参数（与CK不同）。
  3. 然后通过32轮迭代生成轮密钥rkᵢ：

\[ rk_i = K_{i+4} = K_i \oplus T’(K_{i+1} \oplus K_{i+2} \oplus K_{i+3} \oplus CK_i) \]

其中T’是一个由非线性变换τ和线性变换L’构成的伪随机变换。
4. 这里的CKᵢ就是第i轮的轮常数，它与中间密钥材料进行异或，作为T’变换的输入一部分。

步骤7：设计原理分析

为什么这样设计轮常数？

  1. 简单性与确定性：线性公式(4i+j)×7极其简单，易于在标准中描述和实现，且在任何平台上计算结果完全一致，保证了算法的可移植性和确定性。
  2. 无重复性：由于公式是线性的且模256，在i=0到31范围内，生成的32×4=128个字节值各不相同（你可以验证不会重复），这为每轮密钥扩展提供了不同的“扰动”因子。
  3. 足够的随机性（伪随机）：虽然公式简单，但结合后续的T’变换（包含非线性S盒和线性变换），足以打乱输入，生成看起来随机的轮密钥。常数本身不需要密码学强度的随机性。
  4. 避免弱密钥：即使初始密钥MK全为0，由于FK和CK的存在，扩展出的轮密钥也不会全为0，避免了明显的弱密钥。
  5. 效率：预计算或直接计算都非常快，几乎不消耗资源。

总结

SM4的轮常数生成是一个优雅而实用的设计。它通过一个极其简单的线性公式CKᵢ = (4i+j)×7 mod 256，为32轮密钥扩展提供了可复现、无重复的扰动参数。这些常数本身不提供密码学强度，但与密钥扩展算法中的T’变换结合后，能有效协助生成安全、随机的轮密钥。理解这个过程有助于我们深入把握SM4密钥扩展算法的整体结构和设计者的匠心。

SM4分组密码算法的轮常数生成过程 我将为你详细讲解SM4分组密码算法中轮常数的生成过程。这是一个非常重要但常被忽视的细节，它关系到算法的密钥扩展和轮函数运算。 题目描述 SM4是中国国家标准的分组密码算法，分组长度为128比特，密钥长度为128比特，采用32轮非平衡Feistel结构。在SM4的密钥扩展算法中，需要生成32个32比特的轮密钥（rk₀到rk₃₁）。而生成这些轮密钥时，需要使用一个预先定义的常数序列，称为“轮常数”或“固定参数”（Fixed Parameters）。这些常数是如何生成的？其设计原理和具体计算过程是什么？ 解题过程（循序渐进讲解） 步骤1：理解轮常数的作用 在SM4的密钥扩展算法中，轮常数（记为CK，Cipher Key constants）用于与中间密钥数据结合，增加密钥扩展的非线性性和随机性，防止密钥扩展过程过于简单而被攻击。它们也确保了即使初始密钥全为0，扩展出的轮密钥也不会全为0，提高了算法对弱密钥的抵抗能力。 步骤2：确认轮常数的格式与数量 SM4需要生成32个轮密钥，因此相应地需要32个轮常数。每个轮常数是一个32比特（4字节）的无符号整数。所以，总共有32个常数，记为： CK₀, CK₁, CK₂, ..., CK₃₁ 每个CKᵢ ∈ {0, 1, ..., 2³²−1}。 步骤3：轮常数的生成公式（核心） 轮常数并不是随机选取的，而是由一个简单的线性公式生成，确保其可复现性和结构性。其生成方法如下： 设每个轮常数CKᵢ由4个字节构成：CKᵢ = (ckᵢ,₀, ckᵢ,₁, ckᵢ,₂, ckᵢ,₃)，其中每个ckᵢ,ⱼ是一个字节（8比特）。 那么，每个字节的值为： \[ ck_ {i,j} = (4i + j) \times 7 \ (\text{mod} \ 256) \] 其中： i = 0, 1, 2, ..., 31 （对应32个轮常数） j = 0, 1, 2, 3 （对应每个常数的4个字节） 所有运算在整数域进行，结果取模256（因为一个字节的范围是0~255）。 “×”表示乘法。 公式中的“7”是设计者选择的乘数，是一个小奇数，确保字节值充分变化。 步骤4：逐步计算示例（以CK₀和CK₁为例） 我们来手动计算前两个轮常数，验证公式。 计算CK₀ (i=0): j=0: ck₀,₀ = (4×0 + 0) × 7 = 0 × 7 = 0 (mod 256) = 0x00 j=1: ck₀,₁ = (4×0 + 1) × 7 = 1 × 7 = 7 = 0x07 j=2: ck₀,₂ = (4×0 + 2) × 7 = 2 × 7 = 14 = 0x0E j=3: ck₀,₃ = (4×0 + 3) × 7 = 3 × 7 = 21 = 0x15 所以，CK₀ = (0x00, 0x07, 0x0E, 0x15)。按照大端序（高位字节在前）组合成一个32位数：0x00070E15。 计算CK₁ (i=1): j=0: ck₁,₀ = (4×1 + 0) × 7 = 4 × 7 = 28 = 0x1C j=1: ck₁,₁ = (4×1 + 1) × 7 = 5 × 7 = 35 = 0x23 j=2: ck₁,₂ = (4×1 + 2) × 7 = 6 × 7 = 42 = 0x2A j=3: ck₁,₃ = (4×1 + 3) × 7 = 7 × 7 = 49 = 0x31 所以，CK₁ = (0x1C, 0x23, 0x2A, 0x31)，即0x1C232A31。 步骤5：完整常数表与验证 按照上述公式，我们可以计算出完整的32个轮常数。在实际的SM4标准文档或实现中，这些常数通常以预计算的常量数组形式给出，避免运行时重复计算。例如，前8个常数为（以十六进制表示）： CK₀ = 0x00070E15 CK₁ = 0x1C232A31 CK₂ = 0x383F464D CK₃ = 0x545B6269 CK₄ = 0x70777E85 CK₅ = 0x8C939AA1 CK₆ = 0xA8AFB6BD CK₇ = 0xC4CBD2D9 ... 你可以观察到，每增加一个i（即每生成下一个常数），每个字节值大致增加28（因为4×7=28），但由于模256运算，会呈现周期性的线性序列。 步骤6：与密钥扩展算法的结合 在SM4密钥扩展算法中，轮常数CKᵢ被用在轮密钥生成的“T’变换”中。具体来说（简述过程）： 初始128比特密钥MK被分为4个32比特字：MK = (MK₀, MK₁, MK₂, MK₃)。 计算中间值Kᵢ = MKᵢ ⊕ FKᵢ（i=0,1,2,3），其中FK是系统固定参数（与CK不同）。 然后通过32轮迭代生成轮密钥rkᵢ： \[ rk_ i = K_ {i+4} = K_ i \oplus T’(K_ {i+1} \oplus K_ {i+2} \oplus K_ {i+3} \oplus CK_ i) \] 其中T’是一个由非线性变换τ和线性变换L’构成的伪随机变换。 这里的CKᵢ就是第i轮的轮常数，它与中间密钥材料进行异或，作为T’变换的输入一部分。 步骤7：设计原理分析 为什么这样设计轮常数？ 简单性与确定性 ：线性公式(4i+j)×7极其简单，易于在标准中描述和实现，且在任何平台上计算结果完全一致，保证了算法的可移植性和确定性。 无重复性 ：由于公式是线性的且模256，在i=0到31范围内，生成的32×4=128个字节值各不相同（你可以验证不会重复），这为每轮密钥扩展提供了不同的“扰动”因子。 足够的随机性（伪随机） ：虽然公式简单，但结合后续的T’变换（包含非线性S盒和线性变换），足以打乱输入，生成看起来随机的轮密钥。常数本身不需要密码学强度的随机性。 避免弱密钥 ：即使初始密钥MK全为0，由于FK和CK的存在，扩展出的轮密钥也不会全为0，避免了明显的弱密钥。 效率 ：预计算或直接计算都非常快，几乎不消耗资源。 总结 SM4的轮常数生成是一个优雅而实用的设计。它通过一个极其简单的线性公式CKᵢ = (4i+j)×7 mod 256，为32轮密钥扩展提供了可复现、无重复的扰动参数。这些常数本身不提供密码学强度，但与密钥扩展算法中的T’变换结合后，能有效协助生成安全、随机的轮密钥。理解这个过程有助于我们深入把握SM4密钥扩展算法的整体结构和设计者的匠心。