区间动态规划例题：切棍子使每段都在指定长度集合的最小切割成本（进阶版：集合版本）

题目描述

你有一根长度为 n 的木棍，以及一个包含 m 个不同整数的集合 validLengths（集合中的每个整数都严格大于0且不超过 n）。你的目标是通过一系列切割，将木棍切成若干段，使得每一段的长度都恰好在 validLengths 集合中。每次切割的成本等于当前被切割木棍的长度。允许不进行任何切割（即，如果初始木棍的长度本身就在集合中，则成本为0）。你需要计算为了达成目标所需的最小总切割成本。如果无法达成目标（即不能通过切割使得所有段的长度都在集合中），则返回 -1。

例如：

• 输入：n = 7, validLengths = [2, 3]
• 输出：最小切割成本为 7 + 4 = 11（或 7 + 3 = 10，取决于具体切割方案），但这里需要你计算出确切的最小值。
  解释：将长度为7的木棍切成段，每段长度必须是2或3。一种方案：先切成3和4（成本7），再将4切成2和2（成本4），最终得到[3,2,2]，都在集合中。总成本为11。但可能存在更优方案。

解题思路

这是一个区间动态规划（Interval DP）问题。我们可以定义状态 dp[left][right] 表示将木棍的子区间 [left, right]（长度为 right-left+1）切分成若干段，每段长度都在 validLengths 集合中的最小切割成本。注意，这里 left 和 right 不是原木棍上的物理位置，而是我们考虑的木棍的一个连续段，长度为 len = right-left+1。由于原木棍是连续的，我们只需要考虑长度 len，因此可以将状态简化为 dp[len]，表示将一段长度为 len 的木棍切成合法段的最小切割成本。

关键点：

1. 如果长度 len 本身就在 validLengths 中，那么可以不切割，成本为0。
2. 否则，我们需要尝试所有可能的切割点 cut（cut 表示从左端开始切割出的第一段长度，cut 必须在 validLengths 中），然后递归处理剩余部分 len-cut。
3. 每次切割的成本是当前木棍的长度 len（因为题目说成本等于被切割木棍的长度）。
4. 这是一个典型的分割型DP：dp[len] = min_{cut in validLengths, cut < len} (len + dp[cut] + dp[len-cut])，但注意这里切割一次后，对左右两段都需要继续切割（如果它们还不是合法段）。但更直观的写法是：我们考虑在第一刀切割点 cut 后，左段 cut 和右段 len-cut 分别处理，且左右两段的切割成本是独立的，但当前这一刀的成本是 len。
5. 因此状态转移方程为：
   • 如果 len 在 validLengths 中：dp[len] = 0（可以不切）。
   • 否则：dp[len] = min_{cut in validLengths, cut < len} (len + dp[cut] + dp[len-cut])。
   • 特别地，如果没有任何 cut 可选，则 dp[len] = INF（表示不可行）。
6. 最终答案是 dp[n]，如果为 INF 则返回 -1。

详细步骤

假设 n=7, validLengths=[2,3]。

1. 状态定义
   dp[len]：将长度为 len 的木棍切成若干段，每段长度都在集合中的最小切割成本。len 从 1 到 n。

2. 初始化
   为了方便，我们用一个集合 validSet 存储 validLengths，便于快速判断一个长度是否合法。
   初始化 dp[0] = 0（长度为0不需要切割，但本题中长度至少为1，这只是为了方便）。
   对于 len 从 1 到 n，先设为 INF（一个很大的数，表示不可行）。

3. 状态转移
   从小到大计算 dp[len]（因为转移依赖更小的长度）。

   • 如果 len 在 validSet 中：dp[len] = 0（直接作为一段，不需要切割）。
   • 否则，枚举所有可能的切割点 cut（cut 取自 validLengths，且 cut < len）：
     那么剩余长度为 len-cut，必须满足 len-cut > 0。
     如果 dp[cut] 和 dp[len-cut] 都不是 INF，说明左右两段都可以切成合法段。
     此时总成本 = 当前切割成本 len + 左段的最小成本 dp[cut] + 右段的最小成本 dp[len-cut]。
     取所有可能 cut 中的最小值作为 dp[len]。
   • 如果没有任何可行的 cut，则 dp[len] 保持 INF。

4. 计算过程示例（n=7, valid=[2,3]）
   令 INF = 一个大数如 10**9。

   • len=1：不在集合中，且没有合法切割点（cut只能是2或3，但都>1），所以 dp[1]=INF。
   • len=2：在集合中，dp[2]=0。
   • len=3：在集合中，dp[3]=0。
   • len=4：不在集合中。尝试切割点 cut=2（合法）：
     • 剩余长度=2，dp[2]=0，dp[2]=0。
     • 成本 = 4 + dp[2] + dp[2] = 4 + 0 + 0 = 4。
       尝试 cut=3（合法）：
     • 剩余长度=1，dp[3]=0，但 dp[1]=INF，不可行。
       所以 dp[4] = min(4, INF) = 4。
   • len=5：不在集合中。尝试 cut=2：
     • 剩余长度=3，dp[2]=0，dp[3]=0，成本=5+0+0=5。
       尝试 cut=3：
     • 剩余长度=2，dp[3]=0，dp[2]=0，成本=5+0+0=5。
       所以 dp[5] = min(5,5) = 5。
   • len=6：不在集合中。尝试 cut=2：
     • 剩余长度=4，dp[2]=0，dp[4]=4，成本=6+0+4=10。
       尝试 cut=3：
     • 剩余长度=3，dp[3]=0，dp[3]=0，成本=6+0+0=6。
       所以 dp[6] = min(10,6) = 6。
   • len=7：不在集合中。尝试 cut=2：
     • 剩余长度=5，dp[2]=0，dp[5]=5，成本=7+0+5=12。
       尝试 cut=3：
     • 剩余长度=4，dp[3]=0，dp[4]=4，成本=7+0+4=11。
       所以 dp[7] = min(12,11) = 11。

5. 最终结果
   dp[7] = 11，所以最小切割成本为11。返回11。

算法复杂度

• 时间复杂度：O(n * m)，其中 n 是木棍长度，m 是集合大小（因为对每个 len，我们尝试所有可能的合法切割长度）。
• 空间复杂度：O(n) 用于存储 dp 数组。

思考扩展

• 如果集合 validLengths 很大（比如包含很多长度），但 n 较小，直接枚举是可行的。
• 如果 n 很大（比如10^5），但集合很小，这个DP算法仍然高效（O(n*m)）。
• 如果题目要求输出具体切割方案，我们可以额外记录每次选择的最优切割点，然后递归回溯。

代码实现（Python伪代码）

def minCutCost(n, validLengths):
    validSet = set(validLengths)
    INF = 10**9
    dp = [INF] * (n+1)
    dp[0] = 0  # 辅助，实际不会用到dp[0]
    for length in range(1, n+1):
        if length in validSet:
            dp[length] = 0
        else:
            for cut in validLengths:
                if cut < length:
                    if dp[cut] != INF and dp[length-cut] != INF:
                        dp[length] = min(dp[length], length + dp[cut] + dp[length-cut])
    return dp[n] if dp[n] != INF else -1

通过以上步骤，你可以理解如何将一个切棍子问题推广到给定长度集合的版本，并利用区间DP求解最小切割成本。