基于 Clenshaw-Curtis 求积公式的自适应递归实现

题目描述

考虑计算有限区间 \([-1, 1]\) 上函数 \(f(x)\) 的积分：

\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx. \]

Clenshaw-Curtis 求积公式是一种基于切比雪夫节点的插值型求积方法，其节点为切比雪夫多项式的极值点。本题要求：

1. 推导 Clenshaw-Curtis 求积公式的基本形式。
2. 设计一种自适应递归策略，使其能自动细分积分区间，并在满足指定误差容限时停止。
3. 讨论该方法的优点、局限性与适用场景。

解题过程

第一步：理解 Clenshaw-Curtis 求积的核心思想

Clenshaw-Curtis 方法的核心是利用 切比雪夫节点 进行函数插值，再对插值多项式精确积分。切比雪夫节点在 \([-1,1]\) 上定义为：

\[x_k = \cos\left( \frac{k\pi}{n} \right), \quad k = 0, 1, \dots, n. \]

这些节点在区间两端分布更密，有助于减少 Runge 现象，特别适合振荡函数或边界变化剧烈的函数。

第二步：推导 Clenshaw-Curtis 求积公式

1. 函数插值：在节点 \(x_k\) 上对 \(f(x)\) 进行 切比雪夫插值，即用切比雪夫多项式 \(T_m(x) = \cos(m \arccos x)\) 展开：

\[ f(x) \approx \sum_{m=0}^{n} {}' a_m T_m(x). \]

其中 \(\sum'\) 表示求和时首项系数减半，\(a_m\) 通过离散余弦变换（DCT）计算：

\[ a_m = \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n} {}'' f(x_k) \cos\left( \frac{m k \pi}{n} \right). \]

这里 \(\sum''\) 表示首尾项系数减半。

2. 精确积分：利用切比雪夫多项式的正交性：

\[ \int_{-1}^{1} T_m(x) \, dx = \begin{cases} 0, & m \text{ 奇数}, \\ \frac{2}{1-m^2}, & m \text{ 偶数}. \end{cases} \]

因此积分近似为：

\[ I_n = \sum_{m=0, \text{ even}}^{n} \frac{2 a_m}{1-m^2}. \]

注意 \(m=0\) 时公式形式为 \(2a_0\)，\(m=1\) 时积分为零。

3. 实际计算流程：
   • 给定 \(n\)（通常取 \(2^t+1\)，如 3, 5, 9, 17, …），计算节点 \(x_k = \cos(k\pi/n)\) 和函数值 \(f(x_k)\)。
   • 通过 DCT（可用 FFT 加速）得到系数 \(a_m\)。
   • 按公式求和得到 \(I_n\)。

第三步：自适应递归策略设计

单纯使用固定 \(n\) 的 Clenshaw-Curtis 公式可能精度不足。自适应策略通过细分区间并递归应用公式来提升精度。

1. 误差估计：采用相邻两级精度（如 \(n\) 和 \(2n+1\)）的积分结果 \(I_n\) 和 \(I_{2n+1}\)，以其差作为误差估计：

\[ E \approx |I_{2n+1} - I_n|. \]

2. 递归细分条件：

   • 如果 \(E > \text{tol}\)（预设容限），则将区间 \([-1,1]\) 平分为两个子区间 \([-1,0]\) 和 \([0,1]\)。
   • 在每个子区间上，通过线性变换将其映射回 \([-1,1]\)，重新应用 Clenshaw-Curtis 求积。
   • 递归执行，直到每个子区间上的误差估计小于 \(\text{tol} / (2^{\text{depth}})\)（深度加权，避免过度细分）。

3. 递归终止条件：

   • 当前区间上的误差估计 \(E \leq \text{tol} \times (\text{区间长度}/2)\)。
   • 或达到最大递归深度（如 20 层），防止无限递归。

第四步：算法步骤（伪代码）

function adaptive_clenshaw_curtis(a, b, f, tol, depth):
    # 将区间 [a,b] 映射到 [-1,1]
    g(t) = f( (b-a)/2 * t + (a+b)/2 ) * (b-a)/2
    
    # 计算两级 Clenshaw-Curtis 积分
    I1 = clenshaw_curtis(g, n1)   # n1 较小，如 5
    I2 = clenshaw_curtis(g, n2)   # n2 较大，如 9
    E = |I2 - I1|
    
    if E <= tol * (b-a)/2 或 depth >= max_depth:
        return I2
    else:
        mid = (a+b)/2
        left  = adaptive_clenshaw_curtis(a, mid, f, tol/2, depth+1)
        right = adaptive_clenshaw_curtis(mid, b, f, tol/2, depth+1)
        return left + right

第五步：方法特点与适用场景

• 优点：
  1. 切比雪夫节点分布优化，对振荡函数和边界变化敏感的函数比均匀节点更稳定。
  2. 系数可通过 FFT 快速计算，效率较高。
  3. 自适应策略能自动聚焦于难积分的子区间。
• 局限性：
  1. 需要函数在全区间的连续性，对于奇点可能失效（需结合变量替换）。
  2. 递归细分可能增加计算量，尤其对高维问题不适用。
• 适用场景：
  • 有限区间上光滑但可能振荡的函数。
  • 精度要求较高且函数计算代价大的情况（因节点可复用）。

总结

Clenshaw-Curtis 自适应求积结合了切比雪夫插值的数值稳定性和自适应细分的高效误差控制，是计算有限区间振荡函数积分的有力工具。通过 DCT 加速和递归策略，它在保证精度的同时显著减少了不必要的函数求值次数。