分块矩阵的块Gauss-Seidel迭代法解多重线性方程组

题目描述
考虑求解一组具有相同系数矩阵但不同右端项的多重线性方程组 \(A X = B\)，其中 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 的大规模稀疏或结构化矩阵，\(X\) 和 \(B\) 是 \(n \times s\) 的矩阵（\(s\) 表示右端项的个数，通常 \(s \ll n\)）。为了高效求解，我们将矩阵 \(A\) 和未知数矩阵 \(X\)、右端项矩阵 \(B\) 按行进行分块，并采用块Gauss-Seidel迭代法来同时更新所有右端项对应的解块。本题要求详细推导块Gauss-Seidel迭代格式，分析其收敛条件，并说明其在多重线性方程组求解中的优势。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：问题形式化与分块设定

1. 原方程组为 \(A X = B\)，其中 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，\(X, B \in \mathbb{R}^{n \times s}\)。
2. 将矩阵 \(A\) 按行和列划分为 \(p \times p\) 块，将 \(X\) 和 \(B\) 按行划分为 \(p\) 块，使得：

\[ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1p} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pp} \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ \vdots \\ X_p \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_p \end{pmatrix} \]

其中 \(A_{ii} \in \mathbb{R}^{n_i \times n_i}\) 为方阵（通常非奇异），\(X_i, B_i \in \mathbb{R}^{n_i \times s}\)，且 \(\sum_{i=1}^p n_i = n\)。

步骤2：导出块Gauss-Seidel迭代格式

1. 将方程 \(A X = B\) 按块行写出：

\[ \sum_{j=1}^p A_{ij} X_j = B_i, \quad i = 1, 2, \dots, p. \]

2. 块Gauss-Seidel迭代的思想是：在更新第 \(i\) 块解 \(X_i\) 时，使用已经更新过的块 \(X_1^{(k+1)}, \dots, X_{i-1}^{(k+1)}\) 和尚未更新的块 \(X_{i+1}^{(k)}, \dots, X_p^{(k)}\)。因此迭代格式为：

\[ A_{ii} X_i^{(k+1)} = B_i - \sum_{j=1}^{i-1} A_{ij} X_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{p} A_{ij} X_j^{(k)}, \quad i = 1, 2, \dots, p. \]

3. 注意：这里每个子方程 \(A_{ii} X_i^{(k+1)} = \cdots\) 本身是一个小型线性方程组（维度 \(n_i \times n_i\)），但右端项是一个 \(n_i \times s\) 的矩阵。因此，这一步需要求解 \(A_{ii} Y = RHS\) 的多重右端项方程组。如果 \(n_i\) 很小，可直接用稠密求解器（如LU分解）；如果 \(n_i\) 较大，可进一步用迭代法求解。

步骤3：算法伪代码

输入：分块矩阵 A_{ij}, 右端项块 B_i, 初始猜测 X_i^{(0)} (i=1..p), 最大迭代次数 K, 容忍误差 tol
输出：解块 X_i
for k = 0, 1, ..., K-1 do
    for i = 1, 2, ..., p do
        RHS_i = B_i
        for j = 1 to i-1 do
            RHS_i = RHS_i - A_{ij} * X_j^{(k+1)}   // 已更新块
        end for
        for j = i+1 to p do
            RHS_i = RHS_i - A_{ij} * X_j^{(k)}     // 未更新块
        end for
        求解 A_{ii} * X_i^{(k+1)} = RHS_i         // 多重右端项小型方程组
    end for
    计算残差范数 res = ||B - A * X^{(k+1)}||_F
    if res < tol then
        终止迭代
    end if
end for

步骤4：收敛性分析

1. 将分块矩阵 \(A\) 写为 \(A = D - L - U\)，其中：
   • \(D = \text{blkdiag}(A_{11}, A_{22}, \dots, A_{pp})\) 是块对角矩阵，
   • \(L\) 是严格块下三角部分（负号已吸收），
   • \(U\) 是严格块上三角部分（负号已吸收）。
2. 则块Gauss-Seidel迭代的矩阵形式为：

\[ (D - L) X^{(k+1)} = U X^{(k)} + B. \]

3. 迭代矩阵为 \(G_{\text{BGS}} = (D - L)^{-1} U\)。
4. 收敛充分必要条件：迭代矩阵的谱半径 \(\rho(G_{\text{BGS}}) < 1\)。
5. 若 \(A\) 是块对角占优（按行或按列）或对称正定，则块Gauss-Seidel迭代收敛。具体地：
   • 若 \(A\) 是块严格对角占优（按行）：\(\|A_{ii}^{-1}\|_1 \sum_{j \ne i} \|A_{ij}\|_1 < 1\)，则收敛。
   • 若 \(A\) 对称正定，则 \(D - L\) 可逆，且 \(\rho(G_{\text{BGS}}) < 1\)。

步骤5：在多重线性方程组求解中的优势

1. 一次迭代处理所有右端项：每个块步骤中求解 \(A_{ii} X_i^{(k+1)} = RHS_i\) 时，右端项是 \(n_i \times s\) 的矩阵，这意味着我们可以同时更新该块对应的 \(s\) 个解向量，避免了对每个右端项单独迭代。
2. 数据局部性：分块后，对 \(A_{ij}\) 的访问更集中，有利于利用高速缓存；特别当 \(A\) 稀疏时，块划分可减少间接寻址开销。
3. 并行潜力：虽然块内顺序更新，但每个块子系统的求解（\(A_{ii}^{-1} RHS_i\)）可并行处理多个右端列；此外，可结合块松弛策略或色彩排序进行块间并行。
4. 适用于结构矩阵：若 \(A\) 来自偏微分方程离散（如有限元），自然分块（按子区域）可保持物理耦合性，迭代更有效。

步骤6：实际注意事项

1. 分块大小 \(n_i\) 需权衡：太小则子问题多、迭代次数可能增加；太大则解 \(A_{ii} X_i = RHS_i\) 成本高。通常取 \(n_i\) 使 \(A_{ii}\) 可因子分解（如LU）并在内存中保存。
2. 预处理：可结合块Jacobi、块SOR等加速收敛。
3. 停止准则：用整个残差矩阵的Frobenius范数 \(\|B - A X^{(k)}\|_F\) 监控收敛。

总结
块Gauss-Seidel迭代法通过分块同时更新多重右端项对应的解块，在保留Gauss-Seidel收敛性的前提下，提升了计算密集度，特别适合求解具有多个右端项的大规模稀疏或结构化线性方程组。其效率取决于分块策略、矩阵性质以及子系统的求解方式。