高斯-雅可比求积公式及其在端点奇异积分中的应用

题目描述
考虑计算带端点奇异性的定积分：

\[I = \int_{-1}^{1} (1-x)^\alpha (1+x)^\beta f(x) \, dx \]

其中 \(\alpha > -1, \beta > -1\) 为实数，被积函数包含端点处的代数奇异性（即 \((1-x)^\alpha (1+x)^\beta\) 在端点 \(x = \pm1\) 处可能趋于无穷），而 \(f(x)\) 是 \([-1,1]\) 上光滑性较好的函数。要求设计一种高效、高精度的数值积分方法计算 \(I\)。

解题过程循序渐进讲解

第一步：理解问题与难点

1. 奇异性分析：积分核 \((1-x)^\alpha (1+x)^\beta\) 在端点 \(x=1\) 和 \(x=-1\) 处可能不可积（若 \(\alpha,\beta \le -1\)），但题目给定 \(\alpha,\beta > -1\) 保证积分存在。
2. 直接使用标准求积公式（如高斯-勒让德）的问题：
   • 若 \(f(x)\) 光滑，但被积函数整体在端点附近变化剧烈，多项式逼近效果差。
   • 标准公式的节点在端点处较稀疏，难以捕捉端点奇异性，导致收敛缓慢。
3. 目标：利用权函数 \((1-x)^\alpha (1+x)^\beta\) 构造正交多项式，使求积公式精确积分此类加权函数。

第二步：高斯-雅可比求积公式的基本思想

1. 雅可比多项式：
   定义在 \([-1,1]\) 上关于权函数 \(w(x) = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta\) 正交的多项式序列 \(\{P_n^{(\alpha,\beta)}(x)\}\)，满足：

\[ \int_{-1}^{1} w(x) P_m^{(\alpha,\beta)}(x) P_n^{(\alpha,\beta)}(x) dx = 0, \quad m \ne n \]

2. 高斯型求积公式：
   对于 \(n\) 个节点的求积公式，若其节点为 \(P_n^{(\alpha,\beta)}(x)\) 的零点 \(x_k\)，权重 \(w_k\) 由多项式性质确定，则公式具有最高代数精度 \(2n-1\)。即：

\[ \int_{-1}^{1} w(x) p(x) dx = \sum_{k=1}^n w_k p(x_k) \]

对任意次数 \(\le 2n-1\) 的多项式 \(p(x)\) 精确成立。
3. 应用于本题：
取被积函数为 \(w(x) f(x)\)，其中 \(w(x) = (1-x)^\alpha (1+x)^\beta\)，则积分可近似为：

\[ I \approx \sum_{k=1}^n w_k f(x_k) \]

这里 \((x_k, w_k)\) 是高斯-雅可比求积公式的节点与权重。

第三步：公式的具体构造与性质

1. 节点计算：
   • 雅可比多项式 \(P_n^{(\alpha,\beta)}(x)\) 的零点 \(x_k\) 是两两相异且位于 \((-1,1)\) 内的实数，可通过求解三项递推关系的特征值问题得到。
   • 常用算法：Golub-Welsch 算法（利用雅可比矩阵的特征值与特征向量）。
2. 权重计算：
   • 公式：

\[ w_k = \frac{2^{\alpha+\beta+1} \Gamma(n+\alpha+1) \Gamma(n+\beta+1)}{n! \, \Gamma(n+\alpha+\beta+1)} \cdot \frac{2n+\alpha+\beta+1}{(1-x_k^2) \left[ P_{n-1}^{(\alpha,\beta)}(x_k) \right]^2} \]

 其中 $\Gamma$ 是 Gamma 函数。  

• 实际计算中，权重常与节点一同由特征值算法得出。

3. 误差估计：
   余项公式为：

\[ E_n = \frac{2^{2n+\alpha+\beta+1} (n!)^4}{(2n)! \, (2n+\alpha+\beta+1) \left[ \Gamma(2n+\alpha+\beta+1) \right]^2} \cdot \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}, \quad \xi \in (-1,1) \]

当 \(f(x)\) 足够光滑时，误差以 \(O(n^{-2n})\) 速度衰减，远快于均匀节点公式。

第四步：数值实现步骤

1. 输入：参数 \(\alpha, \beta\)，函数 \(f(x)\)，节点数 \(n\)。
2. 生成节点与权重：
   • 使用科学计算库（如 SciPy 的 scipy.special.roots_jacobi）或自行实现 Golub-Welsch 算法。
3. 计算求和：

\[ I_n = \sum_{k=1}^n w_k f(x_k) \]

4. 自适应策略（可选）：
   • 若 \(f(x)\) 在端点附近剧烈变化，可先采用较小 \(n\) 试算，再逐步增加 \(n\) 直至相邻结果差值小于容差。
5. 验证：对已知解析解的特例（如 \(f(x)=1\)）测试公式精度。

第五步：实例演示
计算积分：

\[I = \int_{-1}^{1} (1-x)^{-0.3} (1+x)^{0.2} \cos(x) \, dx \]

此处 \(\alpha = -0.3, \beta = 0.2, f(x) = \cos(x)\)。

1. 取 \(n=5\)，查表或计算得节点与权重（部分值示例）：
   • 节点：\(x_1 \approx -0.872, \, x_2 \approx -0.422, \, x_3 \approx 0.112, \dots\)
   • 权重：\(w_1 \approx 0.281, \, w_2 \approx 0.533, \, w_3 \approx 0.617, \dots\)
2. 计算：

\[ I_5 = 0.281 \cos(-0.872) + 0.533 \cos(-0.422) + \dots \approx 1.8432 \]

3. 增加节点数至 \(n=10\)，得 \(I_{10} \approx 1.8435\)，变化很小，说明收敛迅速。
4. 对比：若用高斯-勒让德公式计算同一积分（将权函数部分并入 \(f\)），需更多节点才能达到相同精度。

第六步：方法与扩展讨论

1. 优点：
   • 直接吸收端点奇异性，避免显式正则化变换。
   • 指数级收敛速度（对光滑 \(f\)）。
2. 局限性：
   • 仅适用于固定幂次端点奇异性。若奇异性为其他类型（如对数型），需结合变量替换。
   • 节点权重依赖特殊函数，计算稍复杂。
3. 扩展：
   • 对于区间 \([a,b]\)，可通过线性变换 \(x \to \frac{2t - (a+b)}{b-a}\) 转化到 \([-1,1]\)。
   • 若 \(f(x)\) 不够光滑，可结合区间分解：在端点附近用高斯-雅可比公式，内部用标准公式。

总结
高斯-雅可比求积公式通过构造与权函数匹配的正交多项式，将端点奇异性融入求积权重，从而高效处理形如 \(\int_{-1}^{1} (1-x)^\alpha (1+x)^\beta f(x)dx\) 的积分。其核心是利用正交多项式的零点作为节点，使公式具有最高代数精度，特别适合被积函数在端点有代数奇异性的情形。