非线性规划中的随机坐标搜索算法进阶题
字数 3656 2025-12-11 19:49:41

非线性规划中的随机坐标搜索算法进阶题

题目描述

考虑如下有约束非线性规划问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) \\ \text{s.t.} \quad g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \\ h_j(x) = 0, \quad j = 1, \ldots, p \\ l_k \leq x_k \leq u_k, \quad k = 1, \ldots, n \]

其中目标函数 \(f(x)\) 是可微但可能非凸的，约束函数 \(g_i(x)\), \(h_j(x)\) 也可能非线性，并且存在显式的变量边界约束 \(l_k \leq x_k \leq u_k\)。问题规模 \(n\) 可能较大（例如 \(n \geq 100\)），且每次计算目标函数和约束的梯度 \( abla f(x)\), \( abla g_i(x)\), \( abla h_j(x)\) 计算代价都较高。要求设计一种带自适应步长和可行性维持机制的随机坐标搜索算法 来解决此问题，使其在有限的计算预算内（如最多 5000 次函数值计算）找到一个近似局部极小点，并尽可能满足可行性。

解题过程详解

  1. 算法核心思想
    随机坐标搜索 (Random Coordinate Search, RCS) 是一种无导数优化方法，在每次迭代中随机选取一个坐标方向，并沿该方向进行试探性移动。对于有约束问题，需处理约束违反。本算法将自适应调整搜索步长，并在试探步中结合可行性维持机制，使得搜索在可行域内或逐步逼近可行域。

  2. 基本框架：随机坐标搜索

    • 设当前迭代点为 \(x^t\)，迭代计数 \(t=0,1,\dots\)。
    • 每次迭代随机选取一个坐标索引 \(j_t \in \{1,2,\dots,n\}\)（通常均匀随机）。
    • 沿该坐标方向进行试探：生成候选点 \(x_{\text{cand}} = x^t + \delta e_{j_t}\)，其中 \(e_{j_t}\) 是第 \(j_t\) 个单位向量，\(\delta\) 是试探步长（可正可负）。
    • 若候选点满足所有约束且目标值下降，则接受该移动；否则可能拒绝或调整。

  3. 处理约束：可行性维持与修复

    • 将约束分为三类：变量边界约束（简单约束）、非线性不等式 \(g_i(x) \leq 0\) 与等式 \(h_j(x)=0\)。
    • 试探点 \(x_{\text{cand}}\) 必须首先满足变量边界（可通过投影实现：\(x_{\text{cand},k} = \min(u_k, \max(l_k, x_{\text{cand},k})\)）。
    • 对于非线性约束，定义总约束违反度：

\[ V(x) = \sum_{i=1}^m \max(0, g_i(x)) + \sum_{j=1}^p |h_j(x)| \]

  • 在比较点时采用字典序准则：首先比较 \(V(x)\)，违反度小的点更优；若违反度相同（尤其都为零），再比较目标值 \(f(x)\)。这保证搜索优先降低违反度，再优化目标。

  1. 自适应步长调整

    • 每个坐标方向 \(k\) 维护一个当前步长 \(\delta_k > 0\)，初始可取 \(\delta_k = 0.1 (u_k - l_k)\)。
    • 试探时，沿坐标 \(j_t\) 进行双向搜索：先尝试正步长 \(\delta_{j_t}\)，得候选点 \(x_+\)；再尝试负步长 \(-\delta_{j_t}\)，得 \(x_-\)。从 \(\{x^t, x_+, x_-\}\) 中选择最优者（按上述字典序）作为新的当前点。
    • 若在该方向找到了更优点（违反度降低或违反度相同时目标下降），则增大该坐标的步长：\(\delta_{j_t} \leftarrow \delta_{j_t} \times \alpha_{\text{inc}}\)，其中 \(\alpha_{\text{inc}} > 1\)（例如 1.5），以加速搜索。
    • 若两个试探点均不比当前点优，则减小步长：\(\delta_{j_t} \leftarrow \delta_{j_t} \times \alpha_{\text{dec}}\)，其中 \(0 < \alpha_{\text{dec}} < 1\)（例如 0.5），以提高局部精细搜索能力。
    • 设置步长上下界：\(\delta_{\min} \leq \delta_k \leq \delta_{\max}\)，防止步长过小或过大。

  2. 算法步骤
    (1) 初始化：给定初始点 \(x^0\)（尽量可行，否则可从任意点开始），各坐标步长 \(\delta_k\)，增大因子 \(\alpha_{\text{inc}}\)，减小因子 \(\alpha_{\text{dec}}\)，最大迭代次数 \(T\) 或函数评价次数上限。
    (2) 对 \(t=0,1,\dots,T-1\) 循环：
    a. 随机选取坐标索引 \(j_t\)。
    b. 计算正向候选点 \(x_+ = x^t + \delta_{j_t} e_{j_t}\)，并投影到变量边界内。
    c. 计算负向候选点 \(x_- = x^t - \delta_{j_t} e_{j_t}\)，同样投影。
    d. 计算 \(x^t, x_+, x_-\) 的目标值 \(f\) 和违反度 \(V\)（若已缓存则不必重复计算）。
    e. 按字典序（先比 \(V\)，再比 \(f\)）从 \(\{x^t, x_+, x_-\}\) 中选择最优点作为 \(x^{t+1}\)。
    f. 若 \(x^{t+1} = x_+\) 或 \(x^{t+1} = x_-\)，则说明此方向搜索成功，更新 \(\delta_{j_t} = \min(\delta_{\max}, \alpha_{\text{inc}} \cdot \delta_{j_t})\)；否则搜索失败，更新 \(\delta_{j_t} = \max(\delta_{\min}, \alpha_{\text{dec}} \cdot \delta_{j_t})\)。
    g. 若函数评价次数达到上限，则停止。
    (3) 输出历史最优解（违反度最小，违反度相同时目标最小）。

  3. 可行性修复的增强策略

    • 若初始点违反非线性约束严重，可先运行一个可行性阶段：在若干步内只优化违反度 \(V(x)\)（即将目标视为 \(V(x)\)），直到 \(V(x)\) 小于某容差 \(\epsilon_{\text{feas}}\) 再转为优化原目标。
    • 在试探步中，可对非线性约束进行局部可行性检查：若候选点的 \(V(x)\) 比当前点显著增大（如超过阈值），则可拒绝该点，即使其目标可能更优，以防止远离可行域。

  4. 收敛性与停止准则

    • 当所有坐标步长 \(\delta_k\) 均小于精度阈值 \(\delta_{\min}\)，且当前点近似可行（\(V(x) < \epsilon_{\text{feas}}\)）时，可认为已达到局部平稳点。
    • 也可设置目标值相对变化小于某阈值、或达到最大迭代次数/函数评价次数上限。

  5. 示例与数值说明
    假设 \(n=2\)，\(f(x)=(x_1-1)^2+(x_2-2)^2\)，约束：\(g_1(x)=x_1^2+x_2^2-4 \leq 0\)，边界 \(0 \leq x_1, x_2 \leq 3\)。从 \(x^0=(2.5,2.5)\) 开始，初始 \(\delta_1=\delta_2=0.5\)，\(\alpha_{\text{inc}}=1.5\)，\(\alpha_{\text{dec}}=0.5\)，\(\delta_{\min}=10^{-4}\)。

    • 第一步随机选 \(j_0=1\)，生成 \(x_+=(3.0,2.5)\)，\(x_-=(2.0,2.5)\)。计算 \(V(x^0)=4.5\)，\(V(x_+)=5.25\)，\(V(x_-)=3.25\)，\(f\) 分别为 3.5, 6.5, 1.5。按字典序，\(x_-\) 违反度最小且目标更小，故接受 \(x_-\) 为 \(x^1\)，并增大 \(\delta_1\) 至 0.75。
    • 继续迭代，逐步降低违反度并逼近最优解 \(x^* \approx (0.894, 1.789)\)（在约束边界上）。

  6. 优点与适用场景

    • 优点：无需梯度信息，适合梯度难以计算或不存在的问题；每步只改变一个变量，计算代价低；自适应步长增强鲁棒性。
    • 局限：收敛速度通常慢于梯度类方法，高维问题可能需要更多迭代。
    • 适用于变量数较多、目标/约束计算昂贵、且可接受近似解的工程优化问题。

以上即为带自适应步长和可行性维持的随机坐标搜索算法的完整阐述。该算法通过随机坐标轮换、自适应步长调整和字典序可行性管理，实现了对中等规模有约束非线性规划问题的有效求解。

非线性规划中的随机坐标搜索算法进阶题 题目描述 考虑如下有约束非线性规划问题： $$ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) \\ \text{s.t.} \quad g_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \\ h_ j(x) = 0, \quad j = 1, \ldots, p \\ l_ k \leq x_ k \leq u_ k, \quad k = 1, \ldots, n $$ 其中目标函数 $f(x)$ 是可微但可能非凸的，约束函数 $g_ i(x)$, $h_ j(x)$ 也可能非线性，并且存在显式的变量边界约束 $l_ k \leq x_ k \leq u_ k$。问题规模 $n$ 可能较大（例如 $n \geq 100$），且每次计算目标函数和约束的梯度 $ abla f(x)$, $ abla g_ i(x)$, $ abla h_ j(x)$ 计算代价都较高。要求设计一种 带自适应步长和可行性维持机制的随机坐标搜索算法 来解决此问题，使其在有限的计算预算内（如最多 5000 次函数值计算）找到一个近似局部极小点，并尽可能满足可行性。 解题过程详解 算法核心思想 随机坐标搜索 (Random Coordinate Search, RCS) 是一种无导数优化方法，在每次迭代中随机选取一个坐标方向，并沿该方向进行试探性移动。对于有约束问题，需处理约束违反。本算法将 自适应调整搜索步长 ，并在试探步中结合 可行性维持机制 ，使得搜索在可行域内或逐步逼近可行域。 基本框架：随机坐标搜索 设当前迭代点为 $x^t$，迭代计数 $t=0,1,\dots$。 每次迭代随机选取一个坐标索引 $j_ t \in \{1,2,\dots,n\}$（通常均匀随机）。 沿该坐标方向进行试探：生成候选点 $x_ {\text{cand}} = x^t + \delta e_ {j_ t}$，其中 $e_ {j_ t}$ 是第 $j_ t$ 个单位向量，$\delta$ 是试探步长（可正可负）。 若候选点满足所有约束且目标值下降，则接受该移动；否则可能拒绝或调整。 处理约束：可行性维持与修复 将约束分为三类：变量边界约束（简单约束）、非线性不等式 $g_ i(x) \leq 0$ 与等式 $h_ j(x)=0$。 试探点 $x_ {\text{cand}}$ 必须首先满足变量边界（可通过投影实现：$x_ {\text{cand},k} = \min(u_ k, \max(l_ k, x_ {\text{cand},k})$）。 对于非线性约束，定义 总约束违反度 ： $$ V(x) = \sum_ {i=1}^m \max(0, g_ i(x)) + \sum_ {j=1}^p |h_ j(x)| $$ 在比较点时采用 字典序准则 ：首先比较 $V(x)$，违反度小的点更优；若违反度相同（尤其都为零），再比较目标值 $f(x)$。这保证搜索优先降低违反度，再优化目标。 自适应步长调整 每个坐标方向 $k$ 维护一个 当前步长 $\delta_ k > 0$，初始可取 $\delta_ k = 0.1 (u_ k - l_ k)$。 试探时，沿坐标 $j_ t$ 进行 双向搜索 ：先尝试正步长 $\delta_ {j_ t}$，得候选点 $x_ +$；再尝试负步长 $-\delta_ {j_ t}$，得 $x_ -$。从 $\{x^t, x_ +, x_ -\}$ 中选择最优者（按上述字典序）作为新的当前点。 若在该方向找到了更优点（违反度降低或违反度相同时目标下降），则 增大 该坐标的步长：$\delta_ {j_ t} \leftarrow \delta_ {j_ t} \times \alpha_ {\text{inc}}$，其中 $\alpha_ {\text{inc}} > 1$（例如 1.5），以加速搜索。 若两个试探点均不比当前点优，则 减小 步长：$\delta_ {j_ t} \leftarrow \delta_ {j_ t} \times \alpha_ {\text{dec}}$，其中 $0 < \alpha_ {\text{dec}} < 1$（例如 0.5），以提高局部精细搜索能力。 设置步长上下界：$\delta_ {\min} \leq \delta_ k \leq \delta_ {\max}$，防止步长过小或过大。 算法步骤 (1) 初始化：给定初始点 $x^0$（尽量可行，否则可从任意点开始），各坐标步长 $\delta_ k$，增大因子 $\alpha_ {\text{inc}}$，减小因子 $\alpha_ {\text{dec}}$，最大迭代次数 $T$ 或函数评价次数上限。 (2) 对 $t=0,1,\dots,T-1$ 循环： a. 随机选取坐标索引 $j_ t$。 b. 计算正向候选点 $x_ + = x^t + \delta_ {j_ t} e_ {j_ t}$，并投影到变量边界内。 c. 计算负向候选点 $x_ - = x^t - \delta_ {j_ t} e_ {j_ t}$，同样投影。 d. 计算 $x^t, x_ +, x_ -$ 的目标值 $f$ 和违反度 $V$（若已缓存则不必重复计算）。 e. 按字典序（先比 $V$，再比 $f$）从 $\{x^t, x_ +, x_ -\}$ 中选择最优点作为 $x^{t+1}$。 f. 若 $x^{t+1} = x_ +$ 或 $x^{t+1} = x_ -$，则说明此方向搜索成功，更新 $\delta_ {j_ t} = \min(\delta_ {\max}, \alpha_ {\text{inc}} \cdot \delta_ {j_ t})$；否则搜索失败，更新 $\delta_ {j_ t} = \max(\delta_ {\min}, \alpha_ {\text{dec}} \cdot \delta_ {j_ t})$。 g. 若函数评价次数达到上限，则停止。 (3) 输出历史最优解（违反度最小，违反度相同时目标最小）。 可行性修复的增强策略 若初始点违反非线性约束严重，可先运行一个 可行性阶段 ：在若干步内只优化违反度 $V(x)$（即将目标视为 $V(x)$），直到 $V(x)$ 小于某容差 $\epsilon_ {\text{feas}}$ 再转为优化原目标。 在试探步中，可对非线性约束进行 局部可行性检查 ：若候选点的 $V(x)$ 比当前点显著增大（如超过阈值），则可拒绝该点，即使其目标可能更优，以防止远离可行域。 收敛性与停止准则 当所有坐标步长 $\delta_ k$ 均小于精度阈值 $\delta_ {\min}$，且当前点近似可行（$V(x) < \epsilon_ {\text{feas}}$）时，可认为已达到局部平稳点。 也可设置目标值相对变化小于某阈值、或达到最大迭代次数/函数评价次数上限。 示例与数值说明 假设 $n=2$，$f(x)=(x_ 1-1)^2+(x_ 2-2)^2$，约束：$g_ 1(x)=x_ 1^2+x_ 2^2-4 \leq 0$，边界 $0 \leq x_ 1, x_ 2 \leq 3$。从 $x^0=(2.5,2.5)$ 开始，初始 $\delta_ 1=\delta_ 2=0.5$，$\alpha_ {\text{inc}}=1.5$，$\alpha_ {\text{dec}}=0.5$，$\delta_ {\min}=10^{-4}$。 第一步随机选 $j_ 0=1$，生成 $x_ +=(3.0,2.5)$，$x_ -=(2.0,2.5)$。计算 $V(x^0)=4.5$，$V(x_ +)=5.25$，$V(x_ -)=3.25$，$f$ 分别为 3.5, 6.5, 1.5。按字典序，$x_ -$ 违反度最小且目标更小，故接受 $x_ -$ 为 $x^1$，并增大 $\delta_ 1$ 至 0.75。 继续迭代，逐步降低违反度并逼近最优解 $x^* \approx (0.894, 1.789)$（在约束边界上）。 优点与适用场景 优点：无需梯度信息，适合梯度难以计算或不存在的问题；每步只改变一个变量，计算代价低；自适应步长增强鲁棒性。 局限：收敛速度通常慢于梯度类方法，高维问题可能需要更多迭代。 适用于变量数较多、目标/约束计算昂贵、且可接受近似解的工程优化问题。 以上即为带自适应步长和可行性维持的随机坐标搜索算法的完整阐述。该算法通过随机坐标轮换、自适应步长调整和字典序可行性管理，实现了对中等规模有约束非线性规划问题的有效求解。