高斯-切比雪夫求积公式在带奇异点函数积分中的正则化变换技巧
题目描述
本题目要求你掌握如何计算一类在积分区间端点（例如 x = ±1）具有代数奇异性的定积分，其一般形式为：
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]
或者更一般地，形如：
\[I = \int_{a}^{b} (b-x)^\alpha (x-a)^\beta g(x) \, dx, \quad \alpha, \beta > -1 \]
其中，被积函数包含一个已知的、与高斯-切比雪夫求积公式的权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\) 相匹配的奇异因子。然而，直接应用标准的高斯-切比雪夫公式要求被积函数的“剩余部分” \(f(x)\) 是光滑的。但在实际问题中，\(f(x)\) 本身在端点处也可能存在奇异性（例如，具有可积的极点或根号奇异性），这就破坏了高斯公式所基于的多项式最高精度逼近的前提。本题目将探讨如何通过适当的变量替换（正则化变换），将包含未知奇异性（在 \(f(x)\) 中）的积分，转化为一个形式更规则、更适合高斯-切比雪夫公式直接处理的积分，从而获得高精度的数值结果。
解题过程
第一步：理解标准高斯-切比雪夫公式及其前提
高斯型求积公式的核心思想是：对于一个带权积分 \(\int_{a}^{b} w(x) f(x) dx\)，其数值积分公式 \(\sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)\) 对于权函数 \(w(x)\) 是精确的，当 \(f(x)\) 是次数不超过 \(2n-1\) 的多项式时。标准的第一类高斯-切比雪夫公式针对权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\) 在区间 \([-1, 1]\) 上，其节点是 \(n\) 次切比雪夫多项式的零点 \(x_k = \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)\)，权重均为常数 \(w_k = \pi/n\)。公式为：
\[\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \]
它的高精度成立依赖于 \(f(x)\) 能够被多项式很好地逼近。如果 \(f(x)\) 在端点 \(x = \pm 1\) 处是奇异的（例如，\(f(x) = \sqrt{1-x}\)），即使其与权函数的乘积可积，但 \(f(x)\) 本身的光滑性很差，直接用此公式收敛会很慢。
第二步：识别奇异性并选择正则化变换
我们的目标是计算 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx\)。假设通过分析，我们发现 \(f(x)\) 在端点 \(x=1\) 处具有类似 \((1-x)^\gamma\) 的行为（\(\gamma > -1\)，但非整数），导致其难以用多项式高效逼近。
解决问题的关键思想是：将 \(f(x)\) 中的奇异部分分离出来，并通过变量替换将其吸收到新的权函数中，或者显式地抵消掉，使得变换后的被积函数在新变量下是光滑的。
一个强大而通用的技巧是正弦变换。对于在 \(x=1\) 处的奇异性，常用变换为：
\[x = \cos \theta, \quad 则 \quad dx = -\sin \theta d\theta, \quad 且 \sqrt{1-x^2} = \sin \theta \]
原积分变为：
\[I = \int_{0}^{\pi} \frac{f(\cos \theta)}{\sin \theta} \cdot \sin \theta d\theta = \int_{0}^{\pi} f(\cos \theta) d\theta \]
看，原本的权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 在变换中与 \(dx\) 的雅可比行列式恰好抵消了！现在积分转化为对 \(\theta\) 在 \([0, \pi]\) 上积分 \(f(\cos \theta)\)。这个变换的精妙之处在于，它移除了权函数，并将积分区间变成了一个没有端点代数奇异性的区间。如果 \(f(x)\) 的奇异性来自于端点，例如 \(f(x) = (1-x)^\gamma\)，那么 \(f(\cos \theta) = (1-\cos\theta)^\gamma = (2\sin^2(\theta/2))^\gamma\)。当 \(\theta \to 0^+\) 时，其行为类似于 \(\theta^{2\gamma}\)，只要 \(\gamma > -0.5\)，这个函数在 \(\theta=0\) 处是光滑的（因为正弦函数在零点有泰勒展开，其奇次幂可消去奇异性）。类似地，在 \(\theta = \pi\) 处，奇异性也因正弦函数的性质而被正则化了。
第三步：在新变量下应用合适的求积公式
现在我们有 \(I = \int_{0}^{\pi} g(\theta) d\theta\)，其中 \(g(\theta) = f(\cos \theta)\)。由于区间是 \([0, \pi]\)，且被积函数在端点处是光滑的（经过上述变换后），我们可以使用多种高精度方法：
- 复合梯形公式（与余弦变换等效）：对于周期函数在整周期区间上的积分，梯形法则具有超收敛性。由于 \(g(\theta) = f(\cos \theta)\) 是 \(\theta\) 的偶函数和周期函数（周期 \(2\pi\)），在 \([0, \pi]\) 上应用梯形法则（包括端点）通常能获得指数级的收敛速度。具体地，取等距节点 \(\theta_j = j\pi / n, j=0,1,...,n\)，则：
\[ I \approx \frac{\pi}{n} \left[ \frac{1}{2}g(0) + \sum_{j=1}^{n-1} g(\theta_j) + \frac{1}{2}g(\pi) \right] \]
这本质上是**离散余弦变换（DCT）**的一种形式，计算效率很高。
- 高斯-勒让德求积：在变换后的变量 \(\theta\) 上，区间是有限的，被积函数光滑，我们也可以直接用高斯-勒让德求积公式，这也能达到很高的代数精度。
第四步：处理更一般的奇异形式
如果原积分具有更一般的雅可比权形式：\(I = \int_{-1}^{1} (1-x)^\alpha (1+x)^\beta h(x) dx\)，其中 \(h(x)\) 光滑，但 \(\alpha, \beta\) 不是半整数，使得无法直接匹配标准的高斯-雅可比求积（其节点和权重计算较复杂）。我们可以通过双重变换来简化：
首先做标准变换 \(x = \cos \theta\)，则：
\[1-x = 1-\cos\theta = 2\sin^2(\theta/2), \quad 1+x = 1+\cos\theta = 2\cos^2(\theta/2) \]
\[ dx = -\sin\theta d\theta = -2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) d\theta \]
积分变为：
\[I = \int_{0}^{\pi} [2\sin^2(\theta/2)]^\alpha [2\cos^2(\theta/2)]^\beta h(\cos\theta) \cdot 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) d\theta \]
\[ = 2^{\alpha+\beta+1} \int_{0}^{\pi} \sin^{2\alpha+1}(\theta/2) \cos^{2\beta+1}(\theta/2) h(\cos\theta) d\theta \]
接下来，令 \(t = \theta/2\)，则 \(d\theta = 2dt\)，积分区间变为 \([0, \pi/2]\)：
\[I = 2^{\alpha+\beta+2} \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2\alpha+1}(t) \cos^{2\beta+1}(t) h(\cos 2t) dt \]
现在，被积函数包含因子 \(\sin^{2\alpha+1}(t) \cos^{2\beta+1}(t)\)，这正是高斯-雅可比求积公式在区间 \([0, \pi/2]\) 上对应的三角函数形式（有时称为“正弦-余弦”高斯求积）。但更重要的是，如果 \(2\alpha+1\) 和 \(2\beta+1\) 是整数，那么被积函数是光滑的三角函数多项式，可以直接用复合梯形公式高效计算。否则，我们可以再次做变量替换 \(u = \sin^2 t\)，将其化为区间 [0,1] 上带代数权函数的积分，然后使用高斯-雅可比求积。这个过程中，我们通过巧妙的三角变换，将端点代数奇异性转化为更容易处理的三角函数的幂次形式。
第五步：算法步骤总结与实例示意
- 分析奇异性：确定积分 \(I = \int_{-1}^{1} w(x) f(x) dx\) 中，权函数 \(w(x)\) 和剩余部分 \(f(x)\) 各自的奇异性类型和位置。
- 设计变换：对于端点奇异性 \(x = \pm 1\)，优先考虑三角变换 \(x = \cos\theta\)。如果权函数是 \(1/\sqrt{1-x^2}\)，它会被自然吸收。如果权函数是更一般的代数形式，结合三角恒等式进行化简。
- 化简积分：执行变量替换，将原积分转化为新变量（如 \(\theta\) 或 \(t\) ）下的积分。目标是使新被积函数在新区间的端点处尽可能光滑（例如，无穷次可微）。
- 选择求积法：在新积分形式上，根据区间特点选择高效、高精度的求积公式：
- 若区间是 \([0, \pi]\) 且被积函数是偶周期函数，用复合梯形公式（DCT）。
- 若区间是有限区间且被积函数光滑，用高斯-勒让德求积。
- 若变换后仍带权函数，但权函数是标准形式（如幂函数），则用对应的高斯-雅可比求积。
- 计算与验证：实施数值计算。可以通过增加节点数 \(n\) 来验证收敛性，或者与已知解析解（如果存在）对比。
举例：计算 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x^2}} dx\)。这里 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\)，\(f(x) = \sqrt{1-x}\) 在 \(x=1\) 有奇异性。
- 步骤1：奇异性来自 \(f(x)\) 在 \(x=1\) 处的 \((1-x)^{1/2}\)。
- 步骤2：令 \(x = \cos\theta\)。
- 步骤3：积分变为 \(I = \int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\cos\theta} d\theta = \int_{0}^{\pi} \sqrt{2} |\sin(\theta/2)| d\theta = \sqrt{2} \int_{0}^{\pi} \sin(\theta/2) d\theta\)。
- 步骤4：新被积函数 \(g(\theta) = \sqrt{2} \sin(\theta/2)\) 在 \([0, \pi]\) 上光滑。我们可以用复合梯形公式。取 \(n=4\) 个小区间（5个点）：\(\theta_j = j\pi/4, j=0,...,4\)。计算 \(g(\theta_j)\) 值：\(0, \sqrt{2}\sin(\pi/8), \sqrt{2}\sin(\pi/4), \sqrt{2}\sin(3\pi/8), \sqrt{2}\sin(\pi/2)\)。
\[ I \approx \frac{\pi}{4} \left[ \frac{1}{2}g(0) + g(\pi/4) + g(\pi/2) + g(3\pi/4) + \frac{1}{2}g(\pi) \right] \]
计算可得数值近似。实际上此积分有解析解 $ 8/\sqrt{2} \approx 5.65685... $，可以验证此近似已相当接近。
- 扩展思考：如果被积函数是 \(\frac{(1-x)^{0.3}}{\sqrt{1-x^2}}\)，变换后为 \(\int_{0}^{\pi} (2\sin^2(\theta/2))^{0.3} d\theta \propto \int_{0}^{\pi} (\sin(\theta/2))^{0.6} d\theta\)。被积函数在 \(\theta=0\) 处行为像 \(\theta^{0.6}\)，虽然无穷次可微性稍弱，但在 \([0,\pi]\) 上仍比原形式在 \(x=1\) 处的 \((1-x)^{-0.2}\)（考虑权函数后）要光滑得多，用复合梯形或高斯-勒让德求积仍能有效加速收敛。
通过这种“正则化变换”技巧，我们将一个具有端点奇异性的、难以直接高效求积的问题，转化为一个被积函数更光滑、标准数值方法能高效处理的问题，是计算奇异积分的一种强有力手段。