最小直径生成树的精确算法
字数 3896 2025-12-11 17:52:32

最小直径生成树的精确算法

问题描述
给定一个无向连通图 \(G=(V, E)\)，每条边有一个正权值 \(w(e)\)。图的直径定义为所有顶点对之间的最短路径距离的最大值。最小直径生成树（Minimum Diameter Spanning Tree, MDST）的目标是找到图 \(G\) 的一棵生成树 \(T\)，使得 \(T\) 的直径最小。这里的直径是树中所有顶点对之间的唯一路径长度（即树上距离）的最大值。注意，树中两点的距离是连接它们唯一路径上所有边的权值之和。

这是一个经典的优化问题，在保证连通性的前提下，通过精心选择生成树的边，使得树上最远两点的距离尽可能小。它不要求总边权和最小（那是MST的目标），而是关注“最坏情况”的距离。

循序渐进讲解

1. 基本定义与关键观察

  • 图的直径：\(\text{diam}(G) = \max_{u,v \in V} d_G(u,v)\)，其中 \(d_G(u,v)\) 是 \(G\) 中 \(u\) 到 \(v\) 的最短路径长度（不限于生成树）。
  • 树的直径：对树 \(T\)，任意两点有唯一路径，其长度记为 \(d_T(u,v)\)。树的直径是 \(\max_{u,v} d_T(u,v)\)，且直径的端点称为树的“端点”（可能是叶子，也可能不是）。
  • 一个重要的性质：任意树的直径中至少包含一个绝对中心。这个“中心”是边上的一个点（可能在边的内部），使得它到树上最远点的距离最小，这个最小的最远距离称为树的半径。
  • 另一个关键事实：在图中寻找最小直径生成树，等价于在图中找到一个点（或边上点）作为“中心”，然后构造一棵以它为中心的广度优先生成树（BFS-like tree），使得从该中心出发到所有点的距离最短，且树的直径等于中心到最远点的距离的两倍（如果中心是顶点）或类似。实际上，最小直径生成树可以是图的“绝对中心”的最短路径树的某种优化。

2. 核心思路：图的绝对中心

  • 定义图的“绝对中心” \(c^*\) ：它可以在图的顶点上，也可以在边的内部（对边 \(e = (u,v)\) 权值 \(w\)，其内部点可用参数 \(t \in [0,w]\) 表示，表示从 \(u\) 出发沿边走 \(t\) 距离的点）。
  • 对图中任意一点 \(x\)（顶点或边上的点），定义 \(f(x) = \max_{v \in V} d_G(x, v)\)，即从 \(x\) 到所有顶点的最短距离的最大值。这里的 \(d_G(x,v)\) 定义为：如果 \(x\) 是顶点，就是普通的最短距离；如果 \(x\) 在边 \((u,v)\) 上距 \(u\) 为 \(t\)，则 \(d_G(x, v) = \min(t + d_G(u,v),\, w-t + d_G(v, v)) = \min(t + d_G(u,v),\, w-t + d_G(v, v))\) 其实是 \(\min(t + d_G(u, v),\, w-t + d_G(v, v))\)，因为从 \(x\) 到任意顶点 \(z\) 的最近路径要么先走到 \(u\) 再到 \(z\)，要么先走到 \(v\) 再到 \(z\)。
  • 图的绝对中心 \(c^*\) 是使 \(f(x)\) 最小的点。这个最小值 \(R^* = f(c^*)\) 称为图的绝对半径。
  • 定理（Hakimi, 1964）：最小直径生成树的直径等于 \(2R^*\)，并且可以通过以绝对中心为根构造一棵最短路径树来实现直径 \(2R^*\)（或略小，但最优值就是 \(2R^*\)）。实际上，如果绝对中心是顶点，可以构造一棵树直径恰为 \(2R^*\)；如果绝对中心在边上，可构造直径略小于 \(2R^*\) 但最优值不超过 \(2R^*\)，经过细致构造可得精确的最小直径。

3. 算法步骤
步骤1：计算所有点对最短路径距离
用 Floyd-Warshall 或 \(n\) 次 Dijkstra，得到 \(n \times n\) 距离矩阵 \(D\)，其中 \(D[u][v] = d_G(u,v)\)。

步骤2：对每条边，寻找该边上的“局部中心”
考虑边 \(e = (u,v)\) 权值 \(w\)。定义函数 \(g_e(t) = \max_{z \in V} \, \min(t + D[u][z],\, w-t + D[v][z])\)，其中 \(t \in [0, w]\)。这个函数表示：如果我们选边 \(e\) 上距 \(u\) 为 \(t\) 的点 \(x\)，那么 \(x\) 到任意顶点 \(z\) 的最短距离是 \(\min(t + D[u][z], w-t + D[v][z])\)，而最远的顶点决定了 \(f(x) = g_e(t)\)。
我们需要找到 \(t\) 使得 \(g_e(t)\) 最小。注意 \(g_e(t)\) 是若干线性函数的最大值：每个顶点 \(z\) 对应两个线性函数 \(f_{z1}(t) = t + D[u][z]\) 和 \(f_{z2}(t) = w-t + D[v][z]\)，取这两个的较小者，然后对所有 \(z\) 取最大值。
这个最小化可以在 \(O(n \log n)\) 时间内对一条边完成，方法是注意到 \(g_e(t)\) 是分段线性凸函数，最小值出现在某个“拐点”，即两个线性函数 \(f_{z1}(t)\) 和 \(f_{z2}(t)\) 相等的点，或者端点。具体可枚举顶点对，求解交点并检查。更简单的实现是：对每个顶点 \(z\)，定义交点 \(t_z\) 满足 \(t + D[u][z] = w-t + D[v][z]\)，得 \(t_z = (w + D[v][z] - D[u][z])/2\)。只考虑在区间 \([0,w]\) 内的交点，并加上端点 \(0\) 和 \(w\)，在这些候选点中找最小的 \(g_e(t)\)。

步骤3：确定图的绝对中心
对所有边 \(e\) 计算其最优 \(t_e\) 和对应的最小值 \(g_e(t_e)\)，并考虑顶点中心：对每个顶点 \(u\)，其 \(f(u) = \max_{z} D[u][z]\)。全局最小的 \(f\) 值即为 \(R^*\)，对应的点（可能在边上）是绝对中心。

步骤4：构造最小直径生成树

  • 如果绝对中心是顶点 \(c\) ：以 \(c\) 为源，运行 Dijkstra 或 BFS（边权为1的权值则BFS，否则 Dijkstra）得到最短路径树 \(T\)。此树中，从 \(c\) 到任意点 \(v\) 的距离等于 \(D[c][v]\)，所以最远距离为 \(R^*\)，树的直径不超过 \(2R^*\)，并且可以证明这就是最小的直径。
  • 如果绝对中心在边 \((u,v)\) 上，设距离 \(u\) 为 \(t^*\)。我们可以构造这样一棵树：从该中心点向各顶点沿最短路径走，但中心不是顶点，需要将边 \((u,v)\) 拆成两条子边（中心到 \(u\) 和中心到 \(v\)），然后以中心为根做最短路径树。实际操作时，可分别以 \(u\) 和 \(v\) 为根，分配顶点：对每个顶点 \(z\)，如果 \(t^* + D[u][z] \le w-t^* + D[v][z]\)，则 \(z\) 应通过 \(u\) 连接到中心，否则通过 \(v\) 连接到中心。然后分别以 \(u\) 和 \(v\) 为根构造最短路径树（在去掉边 \((u,v)\) 的图上），再将中心与 \(u,v\) 的边加入。最终树的直径正好是 \(2R^*\)（或略小，但最小直径就是 \(2R^*\)）。

步骤5：验证直径
计算所得树的直径（例如用两次 BFS/DFS 求树直径的算法），确认是否等于 \(2R^*\)。

4. 时间复杂度

  • 全源最短路径：\(O(n^3)\)（Floyd）或 \(O(n(m+n\log n))\)（n次 Dijkstra）。
  • 处理每条边：对每条边 \(e\)，有 \(n\) 个顶点，计算候选点并求最小值 \(O(n \log n)\)，总 \(O(m n \log n)\)。
  • 构造树：\(O(m + n \log n)\)。
    整体是多项式时间，对稠密图可接受。

总结
最小直径生成树的精确算法核心是找到图的绝对中心，然后以该中心为根（或虚拟根）构造一棵最短路径树。这个算法基于 Hakimi 的工作，将生成树直径最小化问题转化为对每条边寻找最小化最远距离的点的问题。最终得到的树不仅直径最小，而且半径也最小（等于绝对半径 \(R^*\)）。

最小直径生成树的精确算法 问题描述 给定一个无向连通图 \( G=(V, E) \)，每条边有一个正权值 \( w(e) \)。图的直径定义为所有顶点对之间的最短路径距离的最大值。最小直径生成树（Minimum Diameter Spanning Tree, MDST）的目标是找到图 \( G \) 的一棵生成树 \( T \)，使得 \( T \) 的直径最小。这里的直径是树中所有顶点对之间的唯一路径长度（即树上距离）的最大值。注意，树中两点的距离是连接它们唯一路径上所有边的权值之和。 这是一个经典的优化问题，在保证连通性的前提下，通过精心选择生成树的边，使得树上最远两点的距离尽可能小。它不要求总边权和最小（那是MST的目标），而是关注“最坏情况”的距离。 循序渐进讲解 1. 基本定义与关键观察 图的直径：\( \text{diam}(G) = \max_ {u,v \in V} d_ G(u,v) \)，其中 \( d_ G(u,v) \) 是 \( G \) 中 \( u \) 到 \( v \) 的最短路径长度（不限于生成树）。 树的直径：对树 \( T \)，任意两点有唯一路径，其长度记为 \( d_ T(u,v) \)。树的直径是 \( \max_ {u,v} d_ T(u,v) \)，且直径的端点称为树的“端点”（可能是叶子，也可能不是）。 一个重要的性质： 任意树的直径中至少包含一个绝对中心 。这个“中心”是边上的一个点（可能在边的内部），使得它到树上最远点的距离最小，这个最小的最远距离称为树的半径。 另一个关键事实： 在图中寻找最小直径生成树，等价于在图中找到一个点（或边上点）作为“中心”，然后构造一棵以它为中心的广度优先生成树（BFS-like tree），使得从该中心出发到所有点的距离最短，且树的直径等于中心到最远点的距离的两倍（如果中心是顶点）或类似 。实际上，最小直径生成树可以是图的“绝对中心”的最短路径树的某种优化。 2. 核心思路：图的绝对中心 定义图的“绝对中心” \( c^* \) ：它可以在图的顶点上，也可以在边的内部（对边 \( e = (u,v) \) 权值 \( w \)，其内部点可用参数 \( t \in [ 0,w ] \) 表示，表示从 \( u \) 出发沿边走 \( t \) 距离的点）。 对图中任意一点 \( x \)（顶点或边上的点），定义 \( f(x) = \max_ {v \in V} d_ G(x, v) \)，即从 \( x \) 到所有顶点的最短距离的最大值。这里的 \( d_ G(x,v) \) 定义为：如果 \( x \) 是顶点，就是普通的最短距离；如果 \( x \) 在边 \( (u,v) \) 上距 \( u \) 为 \( t \)，则 \( d_ G(x, v) = \min(t + d_ G(u,v),\, w-t + d_ G(v, v)) = \min(t + d_ G(u,v),\, w-t + d_ G(v, v)) \) 其实是 \( \min(t + d_ G(u, v),\, w-t + d_ G(v, v)) \)，因为从 \( x \) 到任意顶点 \( z \) 的最近路径要么先走到 \( u \) 再到 \( z \)，要么先走到 \( v \) 再到 \( z \)。 图的绝对中心 \( c^* \) 是使 \( f(x) \) 最小的点。这个最小值 \( R^* = f(c^* ) \) 称为图的绝对半径。 定理（Hakimi, 1964）： 最小直径生成树的直径等于 \( 2R^* \) ，并且可以通过以绝对中心为根构造一棵最短路径树来实现直径 \( 2R^* \)（或略小，但最优值就是 \( 2R^* \)）。实际上，如果绝对中心是顶点，可以构造一棵树直径恰为 \( 2R^* \)；如果绝对中心在边上，可构造直径略小于 \( 2R^* \) 但最优值不超过 \( 2R^* \)，经过细致构造可得精确的最小直径。 3. 算法步骤 步骤1：计算所有点对最短路径距离 用 Floyd-Warshall 或 \( n \) 次 Dijkstra，得到 \( n \times n \) 距离矩阵 \( D \)，其中 \( D[ u][ v] = d_ G(u,v) \)。 步骤2：对每条边，寻找该边上的“局部中心” 考虑边 \( e = (u,v) \) 权值 \( w \)。定义函数 \( g_ e(t) = \max_ {z \in V} \, \min(t + D[ u][ z],\, w-t + D[ v][ z]) \)，其中 \( t \in [ 0, w] \)。这个函数表示：如果我们选边 \( e \) 上距 \( u \) 为 \( t \) 的点 \( x \)，那么 \( x \) 到任意顶点 \( z \) 的最短距离是 \( \min(t + D[ u][ z], w-t + D[ v][ z]) \)，而最远的顶点决定了 \( f(x) = g_ e(t) \)。 我们需要找到 \( t \) 使得 \( g_ e(t) \) 最小。注意 \( g_ e(t) \) 是若干线性函数的最大值：每个顶点 \( z \) 对应两个线性函数 \( f_ {z1}(t) = t + D[ u][ z] \) 和 \( f_ {z2}(t) = w-t + D[ v][ z ] \)，取这两个的较小者，然后对所有 \( z \) 取最大值。 这个最小化可以在 \( O(n \log n) \) 时间内对一条边完成，方法是注意到 \( g_ e(t) \) 是分段线性凸函数，最小值出现在某个“拐点”，即两个线性函数 \( f_ {z1}(t) \) 和 \( f_ {z2}(t) \) 相等的点，或者端点。具体可枚举顶点对，求解交点并检查。更简单的实现是：对每个顶点 \( z \)，定义交点 \( t_ z \) 满足 \( t + D[ u][ z] = w-t + D[ v][ z] \)，得 \( t_ z = (w + D[ v][ z] - D[ u][ z])/2 \)。只考虑在区间 \([ 0,w]\) 内的交点，并加上端点 \( 0 \) 和 \( w \)，在这些候选点中找最小的 \( g_ e(t) \)。 步骤3：确定图的绝对中心 对所有边 \( e \) 计算其最优 \( t_ e \) 和对应的最小值 \( g_ e(t_ e) \)，并考虑顶点中心：对每个顶点 \( u \)，其 \( f(u) = \max_ {z} D[ u][ z] \)。全局最小的 \( f \) 值即为 \( R^* \)，对应的点（可能在边上）是绝对中心。 步骤4：构造最小直径生成树 如果绝对中心是顶点 \( c \) ：以 \( c \) 为源，运行 Dijkstra 或 BFS（边权为1的权值则BFS，否则 Dijkstra）得到最短路径树 \( T \)。此树中，从 \( c \) 到任意点 \( v \) 的距离等于 \( D[ c][ v] \)，所以最远距离为 \( R^* \)，树的直径不超过 \( 2R^* \)，并且可以证明这就是最小的直径。 如果绝对中心在边 \( (u,v) \) 上，设距离 \( u \) 为 \( t^* \)。我们可以构造这样一棵树：从该中心点向各顶点沿最短路径走，但中心不是顶点，需要将边 \( (u,v) \) 拆成两条子边（中心到 \( u \) 和中心到 \( v \)），然后以中心为根做最短路径树。实际操作时，可分别以 \( u \) 和 \( v \) 为根，分配顶点：对每个顶点 \( z \)，如果 \( t^* + D[ u][ z] \le w-t^* + D[ v][ z] \)，则 \( z \) 应通过 \( u \) 连接到中心，否则通过 \( v \) 连接到中心。然后分别以 \( u \) 和 \( v \) 为根构造最短路径树（在去掉边 \( (u,v) \) 的图上），再将中心与 \( u,v \) 的边加入。最终树的直径正好是 \( 2R^* \)（或略小，但最小直径就是 \( 2R^* \)）。 步骤5：验证直径 计算所得树的直径（例如用两次 BFS/DFS 求树直径的算法），确认是否等于 \( 2R^* \)。 4. 时间复杂度 全源最短路径：\( O(n^3) \)（Floyd）或 \( O(n(m+n\log n)) \)（n次 Dijkstra）。 处理每条边：对每条边 \( e \)，有 \( n \) 个顶点，计算候选点并求最小值 \( O(n \log n) \)，总 \( O(m n \log n) \)。 构造树：\( O(m + n \log n) \)。 整体是多项式时间，对稠密图可接受。 总结 最小直径生成树的精确算法核心是找到图的绝对中心，然后以该中心为根（或虚拟根）构造一棵最短路径树。这个算法基于 Hakimi 的工作，将生成树直径最小化问题转化为对每条边寻找最小化最远距离的点的问题。最终得到的树不仅直径最小，而且半径也最小（等于绝对半径 \( R^* \)）。