SM9标识密码算法中的双线性对与配对运算详解
字数 3426 2025-12-11 15:02:51

SM9标识密码算法中的双线性对与配对运算详解

我将为你详细讲解SM9标识密码算法中核心的数学工具——双线性对（配对运算）的实现细节。这个算法题目会从配对的基本概念开始，逐步深入到SM9使用的具体配对类型、参数选择，以及完整的配对计算过程。

题目描述

在SM9标识密码算法中，双线性对是实现标识加密、数字签名等密码功能的核心数学结构。我们需要理解：

  1. 什么是对（Pairing）及其数学性质
  2. SM9使用的配对类型及其参数
  3. 配对的具体计算步骤（Miller算法优化）
  4. 配对在SM9中的实际应用场景

解题过程

第一步：双线性对的基本概念

双线性对是一个特殊的映射，它将两个椭圆曲线群中的元素映射到一个有限域的乘法子群中。

数学定义：
设 \(G_1\)、\(G_2\) 是加法循环群，\(G_T\) 是乘法循环群，它们的阶都是大素数 \(n\)
一个配对是一个映射：\(e: G_1 \times G_2 \rightarrow G_T\)，满足以下性质：

  1. 双线性性（核心性质）：

    • \(e(aP, bQ) = e(P, Q)^{ab}\) 对任意整数 \(a, b\) 成立
    • 等价表述：\(e(P+Q, R) = e(P,R) \cdot e(Q,R)\)
    • 等价表述：\(e(P, Q+R) = e(P,Q) \cdot e(P,R)\)

  2. 非退化性：

    • 存在 \(P \in G_1\)、\(Q \in G_2\) 使得 \(e(P, Q) \neq 1\)
    • 这意味着配对结果不会总是单位元

  3. 可计算性：

    • 存在有效算法计算配对值

在SM9中，使用的是对称配对的特殊情况，其中 \(G_1 = G_2\)。

第二步：SM9使用的椭圆曲线与配对类型

SM9标准定义了一条特定的椭圆曲线和配对参数：

曲线参数：

  • 曲线方程：\(y^2 = x^3 + b\)（超奇异曲线）
  • 定义在有限域 \(F_q\) 上，其中 \(q\) 是大素数
  • 嵌入次数 \(k = 2\)（这是关键参数）
  • 曲线阶 \(n\) 是大素数，满足 \(n | q^k - 1\)

群结构：

  • \(G_1\)：定义在 \(F_q\) 上的 \(n\) 阶子群
  • \(G_2\)：定义在 \(F_{q^k} = F_{q^2}\) 上的 \(n\) 阶子群
  • \(G_T\)：\(F_{q^k}^*\) 中的 \(n\) 阶乘法子群

配对类型： SM9使用Tate配对（Tate pairing）的优化变体：

  • 优化为缩减的Tate配对（reduced Tate pairing）
  • 最终结果为：\(e(P, Q) = f_{P}(Q)^{(q^k-1)/n}\)
  • 其中 \(f_P\) 是Miller算法计算的函数

第三步：配对计算的核心——Miller算法

Miller算法是计算配对的核心算法，采用类似模幂运算的双重加链策略。

算法原理：
对于点 \(P\) 和整数 \(m\)，Miller算法构造一个有理函数 \(f_{m,P}\)，使得：

  • \(\text{div}(f_{m,P}) = m(P) - ([m]P) - (m-1)(O)\)
  • 其中 \(O\) 是无穷远点，div表示除子

具体步骤：

  1. 初始化：

    • 设 \(T = P\)，\(f = 1\)
    • 将 \(m\) 表示为二进制：\(m = (m_{l-1}...m_1m_0)_2\)

  2. 循环计算（从次高位到最低位）：

    • 倍点步骤：

      • 计算通过点 \(T\) 的切线方程 \(l_{T,T}\)
      • 计算 \(T = 2T\)
      • 更新 \(f = f^2 \cdot l_{T,T}(Q)\)

    • 如果当前位 \(m_i = 1\)：

      • 计算通过点 \(T\) 和 \(P\) 的直线方程 \(l_{T,P}\)
      • 计算 \(T = T + P\)
      • 更新 \(f = f \cdot l_{T,P}(Q)\)

  3. 最终结果：

    • 得到函数值 \(f_{m,P}(Q)\)

在SM9中，取 \(m = n\)（曲线阶），然后进行最终幂运算。

第四步：SM9中的优化技术

实际实现中采用多种优化：

  1. 扭曲曲线技术：

    • 将 \(G_2\) 中的点映射到定义在 \(F_{q^{k/d}}\) 上的同构扭曲曲线
    • 对于 \(k=2\)，使用二次扭曲，将坐标从 \(F_{q^2}\) 降到 \(F_q\)
    • 大幅减少运算量

  2. 最终幂运算分解：

    • \((q^k-1)/n\) 分解为容易计算的部分
    • 利用Frobenius自同态加速计算
    • 对于 \(k=2\)：\((q^2-1)/n = (q-1) \cdot (q+1)/n\)

  3. 分母消除：

    • 在最终幂运算中，分母会自动消失
    • Miller算法中只需计算分子部分

第五步：SM9配对计算完整流程

以SM9标识加密中的配对计算为例：

输入：

  • 主公钥 \(P_{pub-s} = s \cdot P_2\)（其中 \(P_2\) 是 \(G_2\) 的生成元）
  • 用户私钥 \(d_A = s \cdot H_1(ID_A)\)（其中 \(H_1\) 是哈希到 \(G_1\) 的函数）

计算配对：

  1. 将标识 \(ID_A\) 哈希到 \(G_1\)：\(H_1(ID_A)\)
  2. 计算 \(g = e(H_1(ID_A), P_{pub-s})\)
  3. 实际计算过程：
    a) 使用Miller算法计算 \(f = f_{n, H_1(ID_A)}(P_{pub-s})\)
    b) 计算最终幂：\(g = f^{(q^2-1)/n}\)
  4. 结果 \(g\) 是 \(G_T\) 中的元素，用于后续的密钥派生

验证性质：
由于双线性性：
\(e(d_A, P_2) = e(s \cdot H_1(ID_A), P_2) = e(H_1(ID_A), P_2)^s = e(H_1(ID_A), s \cdot P_2) = e(H_1(ID_A), P_{pub-s}) = g\)
这个性质确保了加密解密的正确性。

第六步：SM9中配对的安全参数

SM9的具体参数（256位安全级别）：

  • 基域特征 \(q\)：256位素数
  • 曲线阶 \(n\)：256位素数
  • 嵌入次数 \(k = 2\)
  • 安全级别：128位
  • 配对输出长度：\(G_T\) 中元素约512位（压缩表示）

配对安全性依据：

  1. 椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）在 \(G_1\)、\(G_2\) 上困难
  2. 有限域离散对数问题（FFDLP）在 \(G_T\) 上困难
  3. 双线性Diffie-Hellman问题（BDHP）困难

第七步：SM9配对的实际应用

  1. 标识加密：

    • 加密时计算：\(g = e(H_1(ID_B), P_{pub-s})\)
    • 解密时计算：\(g = e(d_B, C_1)\)（其中 \(C_1\) 是密文第一部分）
    • 由于双线性性，两者相等，确保正确解密

  2. 密钥交换：

    • 双方计算配对值生成共享密钥
    • 无需证书，直接使用标识

  3. 数字签名：

    • 验证时通过配对检验签名有效性
    • 核心验证方程：\(e(P_1, S) = e(P_{pub-s}, h) \cdot e(G, w)\)
    • 其中 \(h, w\) 是签名相关的值

关键要点总结

  1. SM9使用对称配对，基于超奇异椭圆曲线
  2. 核心算法是Miller算法，计算有理函数值
  3. 必须进行最终幂运算才能得到非退化结果
  4. 通过扭曲曲线、最终幂分解等技术优化性能
  5. 配对的双线性性是SM9所有密码功能的数学基础
  6. 安全依赖于椭圆曲线和有限域上的离散对数难题

这种配对运算使得SM9能够实现基于标识的密码学，用户可以直接使用email、手机号等标识作为公钥，无需数字证书，简化了公钥管理。

SM9标识密码算法中的双线性对与配对运算详解 我将为你详细讲解SM9标识密码算法中核心的数学工具——双线性对（配对运算）的实现细节。这个算法题目会从配对的基本概念开始，逐步深入到SM9使用的具体配对类型、参数选择，以及完整的配对计算过程。 题目描述 在SM9标识密码算法中，双线性对是实现标识加密、数字签名等密码功能的核心数学结构。我们需要理解： 什么是对（Pairing）及其数学性质 SM9使用的配对类型及其参数 配对的具体计算步骤（Miller算法优化） 配对在SM9中的实际应用场景 解题过程 第一步：双线性对的基本概念 双线性对是一个特殊的映射，它将两个椭圆曲线群中的元素映射到一个有限域的乘法子群中。 数学定义： 设 \( G_ 1 \)、\( G_ 2 \) 是加法循环群，\( G_ T \) 是乘法循环群，它们的阶都是大素数 \( n \) 一个配对是一个映射：\( e: G_ 1 \times G_ 2 \rightarrow G_ T \)，满足以下性质： 双线性性 （核心性质）： \( e(aP, bQ) = e(P, Q)^{ab} \) 对任意整数 \( a, b \) 成立 等价表述：\( e(P+Q, R) = e(P,R) \cdot e(Q,R) \) 等价表述：\( e(P, Q+R) = e(P,Q) \cdot e(P,R) \) 非退化性 ： 存在 \( P \in G_ 1 \)、\( Q \in G_ 2 \) 使得 \( e(P, Q) \neq 1 \) 这意味着配对结果不会总是单位元 可计算性 ： 存在有效算法计算配对值 在SM9中，使用的是 对称配对 的特殊情况，其中 \( G_ 1 = G_ 2 \)。 第二步：SM9使用的椭圆曲线与配对类型 SM9标准定义了一条特定的椭圆曲线和配对参数： 曲线参数： 曲线方程：\( y^2 = x^3 + b \)（超奇异曲线） 定义在有限域 \( F_ q \) 上，其中 \( q \) 是大素数 嵌入次数 \( k = 2 \)（这是关键参数） 曲线阶 \( n \) 是大素数，满足 \( n | q^k - 1 \) 群结构： \( G_ 1 \)：定义在 \( F_ q \) 上的 \( n \) 阶子群 \( G_ 2 \)：定义在 \( F_ {q^k} = F_ {q^2} \) 上的 \( n \) 阶子群 \( G_ T \)：\( F_ {q^k}^* \) 中的 \( n \) 阶乘法子群 配对类型： SM9使用 Tate配对 （Tate pairing）的优化变体： 优化为 缩减的Tate配对 （reduced Tate pairing） 最终结果为：\( e(P, Q) = f_ {P}(Q)^{(q^k-1)/n} \) 其中 \( f_ P \) 是Miller算法计算的函数 第三步：配对计算的核心——Miller算法 Miller算法是计算配对的核心算法，采用类似模幂运算的双重加链策略。 算法原理： 对于点 \( P \) 和整数 \( m \)，Miller算法构造一个有理函数 \( f_ {m,P} \)，使得： \( \text{div}(f_ {m,P}) = m(P) - ([ m ]P) - (m-1)(O) \) 其中 \( O \) 是无穷远点，div表示除子 具体步骤： 初始化 ： 设 \( T = P \)，\( f = 1 \) 将 \( m \) 表示为二进制：\( m = (m_ {l-1}...m_ 1m_ 0)_ 2 \) 循环计算 （从次高位到最低位）： 倍点步骤 ： 计算通过点 \( T \) 的切线方程 \( l_ {T,T} \) 计算 \( T = 2T \) 更新 \( f = f^2 \cdot l_ {T,T}(Q) \) 如果当前位 \( m_ i = 1 \) ： 计算通过点 \( T \) 和 \( P \) 的直线方程 \( l_ {T,P} \) 计算 \( T = T + P \) 更新 \( f = f \cdot l_ {T,P}(Q) \) 最终结果 ： 得到函数值 \( f_ {m,P}(Q) \) 在SM9中，取 \( m = n \)（曲线阶），然后进行最终幂运算。 第四步：SM9中的优化技术 实际实现中采用多种优化： 扭曲曲线技术 ： 将 \( G_ 2 \) 中的点映射到定义在 \( F_ {q^{k/d}} \) 上的同构扭曲曲线 对于 \( k=2 \)，使用二次扭曲，将坐标从 \( F_ {q^2} \) 降到 \( F_ q \) 大幅减少运算量 最终幂运算分解 ： \( (q^k-1)/n \) 分解为容易计算的部分 利用Frobenius自同态加速计算 对于 \( k=2 \)：\( (q^2-1)/n = (q-1) \cdot (q+1)/n \) 分母消除 ： 在最终幂运算中，分母会自动消失 Miller算法中只需计算分子部分 第五步：SM9配对计算完整流程 以SM9标识加密中的配对计算为例： 输入 ： 主公钥 \( P_ {pub-s} = s \cdot P_ 2 \)（其中 \( P_ 2 \) 是 \( G_ 2 \) 的生成元） 用户私钥 \( d_ A = s \cdot H_ 1(ID_ A) \)（其中 \( H_ 1 \) 是哈希到 \( G_ 1 \) 的函数） 计算配对 ： 将标识 \( ID_ A \) 哈希到 \( G_ 1 \)：\( H_ 1(ID_ A) \) 计算 \( g = e(H_ 1(ID_ A), P_ {pub-s}) \) 实际计算过程： a) 使用Miller算法计算 \( f = f_ {n, H_ 1(ID_ A)}(P_ {pub-s}) \) b) 计算最终幂：\( g = f^{(q^2-1)/n} \) 结果 \( g \) 是 \( G_ T \) 中的元素，用于后续的密钥派生 验证性质 ： 由于双线性性： \( e(d_ A, P_ 2) = e(s \cdot H_ 1(ID_ A), P_ 2) = e(H_ 1(ID_ A), P_ 2)^s = e(H_ 1(ID_ A), s \cdot P_ 2) = e(H_ 1(ID_ A), P_ {pub-s}) = g \) 这个性质确保了加密解密的正确性。 第六步：SM9中配对的安全参数 SM9的具体参数（256位安全级别）： 基域特征 \( q \)：256位素数 曲线阶 \( n \)：256位素数 嵌入次数 \( k = 2 \) 安全级别：128位 配对输出长度：\( G_ T \) 中元素约512位（压缩表示） 配对安全性依据 ： 椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）在 \( G_ 1 \)、\( G_ 2 \) 上困难 有限域离散对数问题（FFDLP）在 \( G_ T \) 上困难 双线性Diffie-Hellman问题（BDHP）困难 第七步：SM9配对的实际应用 标识加密 ： 加密时计算：\( g = e(H_ 1(ID_ B), P_ {pub-s}) \) 解密时计算：\( g = e(d_ B, C_ 1) \)（其中 \( C_ 1 \) 是密文第一部分） 由于双线性性，两者相等，确保正确解密 密钥交换 ： 双方计算配对值生成共享密钥 无需证书，直接使用标识 数字签名 ： 验证时通过配对检验签名有效性 核心验证方程：\( e(P_ 1, S) = e(P_ {pub-s}, h) \cdot e(G, w) \) 其中 \( h, w \) 是签名相关的值 关键要点总结 SM9使用 对称配对 ，基于超奇异椭圆曲线 核心算法是 Miller算法 ，计算有理函数值 必须进行 最终幂运算 才能得到非退化结果 通过 扭曲曲线 、 最终幂分解 等技术优化性能 配对的双线性性是SM9所有密码功能的数学基础 安全依赖于椭圆曲线和有限域上的离散对数难题 这种配对运算使得SM9能够实现基于标识的密码学，用户可以直接使用email、手机号等标识作为公钥，无需数字证书，简化了公钥管理。