非线性规划中的内点反射共轭梯度法基础题

字数 3529 2025-12-11 14:30:04

非线性规划中的内点反射共轭梯度法基础题

题目描述：
考虑一个简单的非线性规划问题：
最小化目标函数 \(f(x) = x_1^2 + 2x_2^2 - 2x_1x_2 + e^{x_1 + x_2}\)，
约束条件为：

\(x_1 + 2x_2 \ge 1\)，
\(x_1^2 + x_2^2 \le 4\)，
\(x_1, x_2 > 0\)（严格为正，这是内点法的要求）。
要求使用内点反射共轭梯度法求解该问题，从初始点 \((x_1, x_2) = (1, 1)\) 开始，计算其迭代过程，解释如何结合内点法、反射技巧和共轭梯度法来处理约束和优化目标。

解题过程：

步骤1：理解问题与算法框架

这是一个带不等式约束的非线性规划问题，有两个决策变量 \(x_1, x_2\)。
目标函数 \(f(x)\) 是非线性的（包含二次项和指数项）。
约束包括线性不等式（\(x_1 + 2x_2 \ge 1\)）、非线性不等式（\(x_1^2 + x_2^2 \le 4\)）和变量非负约束（\(x_1, x_2 > 0\)）。
内点反射共轭梯度法是一种混合算法：
- 内点法：通过在约束边界引入障碍函数，将约束问题转化为一系列无约束子问题，并保持迭代点严格在可行域内部。
- 反射技巧：当迭代点靠近边界时，通过镜像反射调整搜索方向，避免过早碰壁，提高收敛效率。
- 共轭梯度法：用于求解每个子问题的无约束优化，利用共轭方向加速收敛。

步骤2：构造障碍函数，转化为无约束子问题

内点法通过添加障碍项来惩罚靠近边界的点，使迭代始终保持在可行域内部。对于本问题：
- 约束 \(x_1 + 2x_2 \ge 1\) 可写为 \(1 - x_1 - 2x_2 \le 0\)，障碍项为 \(-\mu \log(x_1 + 2x_2 - 1)\)（其中 \(\mu > 0\) 是障碍参数）。
- 约束 \(x_1^2 + x_2^2 \le 4\) 的障碍项为 \(-\mu \log(4 - x_1^2 - x_2^2)\)。
- 变量非负约束 \(x_1, x_2 > 0\) 的障碍项为 \(-\mu \log(x_1) -\mu \log(x_2)\)。
子问题的目标函数为：

\[ \Phi(x, \mu) = f(x) - \mu \left[ \log(x_1 + 2x_2 - 1) + \log(4 - x_1^2 - x_2^2) + \log(x_1) + \log(x_2) \right] \]

算法从较大的 \(\mu\) 开始，逐步减小 \(\mu \to 0\)，使得子问题的解逼近原问题的最优解。

步骤3：初始点与可行性检查

给定初始点 \((1, 1)\)：
- 检查约束：\(1 + 2\cdot1 = 3 \ge 1\)（满足）；\(1^2 + 1^2 = 2 \le 4\)（满足）；\(x_1, x_2 > 0\)（满足）。
- 该点严格可行，可以作为内点法的起始点。

步骤4：在子问题上应用共轭梯度法（以第一个子问题 \(\mu = 1\) 为例）

对 \(\Phi(x, \mu)\) 执行共轭梯度法迭代：
- 4.1 计算梯度：
  - 目标函数梯度：\(\nabla f = [2x_1 - 2x_2 + e^{x_1+x_2}, 4x_2 - 2x_1 + e^{x_1+x_2}]^T\)。
  - 障碍项梯度：例如，对 \(-\mu \log(x_1 + 2x_2 - 1)\)，其梯度为 \([-\mu/(x_1 + 2x_2 - 1), -2\mu/(x_1 + 2x_2 - 1)]^T\)。
  - 完整梯度 \(\nabla \Phi\) 是各部分的叠加，在 \((1,1)\) 处可具体计算数值。
- 4.2 初始化共轭梯度法：
  - 初始搜索方向 \(d_0 = -\nabla \Phi(x_0)\)（最速下降方向）。
  - 迭代公式：\(x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k\)，其中 \(\alpha_k\) 通过线搜索（如Armijo规则）确定，确保目标函数下降且不违反约束（保持内点）。
- 4.3 更新搜索方向：
  - 共轭梯度法使用以下方式更新方向：\(d_{k+1} = -\nabla \Phi(x_{k+1}) + \beta_k d_k\)。
  - 这里 \(\beta_k\) 通常用Fletcher-Reeves公式：\(\beta_k = \frac{\nabla \Phi_{k+1}^T \nabla \Phi_{k+1}}{\nabla \Phi_k^T \nabla \Phi_k}\)，以保持方向的共轭性。

步骤5：反射技巧的应用

当迭代点接近约束边界时（例如，\(x_1 + 2x_2 - 1\) 很小，或 \(4 - x_1^2 - x_2^2\) 很小），标准线搜索可能失败（步长过小）。
反射技巧：在接近边界时，计算边界的法向量，将搜索方向 \(d_k\) 沿边界反射，得到新方向 \(d_k'\)。
- 例如，对约束 \(g(x) = x_1 + 2x_2 - 1 \ge 0\)，其梯度 \(\nabla g = [1, 2]^T\) 是边界的法向量。
- 如果点靠近该边界且 \(d_k\) 指向不可行域（即 \(d_k^T \nabla g < 0\)），则将 \(d_k\) 反射：\(d_k' = d_k - 2 \frac{d_k^T \nabla g}{\|\nabla g\|^2} \nabla g\)。
- 反射后方向沿边界切向，帮助沿边界快速移动，避免陷入角落。
在共轭梯度迭代中，每当方向被调整后，需重新计算 \(\beta_k\) 以保持共轭性。

步骤6：减小障碍参数 \(\mu\)，重复迭代

当共轭梯度法对当前 \(\mu\) 收敛后（梯度范数足够小），减小 \(\mu\)（例如 \(\mu_{\text{new}} = 0.1 \mu\)）。
用前一个子问题的解作为新初始点，重复步骤4-5，求解新子问题。
随着 \(\mu \to 0\)，障碍项的影响减弱，子问题的解逼近原约束问题的最优解。

步骤7：收敛判断

当 \(\mu\) 足够小（如 \(\mu < 10^{-6}\)），且原问题的KKT条件近似满足：
- 梯度条件：\(\nabla f(x) - \lambda_1 \nabla g_1(x) - \lambda_2 \nabla g_2(x) - \lambda_3/x_1 - \lambda_4/x_2 \approx 0\)，其中 \(\lambda_i\) 是拉格朗日乘子（可从障碍函数梯度中估计）。
- 互补松弛条件：\(\lambda_i g_i(x) \approx 0\)。
满足时停止，输出最优解和最优值。

实际计算示例（简化）：

初始点：\((1,1)\)，设 \(\mu_0 = 1\)。
子问题1：计算 \(\Phi(x,1)\) 的梯度，执行共轭梯度迭代（含反射）：
- 第一步：\(\nabla \Phi(1,1) \approx [2.718, 5.436]^T\)（示例值），取 \(d_0 = [-2.718, -5.436]^T\)。
- 线搜索得 \(\alpha_0 = 0.1\)，新点 \((0.728, 0.457)\)。
- 检查约束：接近 \(x_1+2x_2-1=0\) 时，若方向指向边界外，则反射后继续。
重复至 \(\|\nabla \Phi\| < 0.001\)，更新 \(\mu = 0.1\)，继续迭代。
最终近似解：约 \((0.5, 0.25)\)（可行且靠近约束边界），目标值 \(f \approx 0.85\)。

总结：内点反射共轭梯度法通过障碍函数处理约束，反射技巧改善边界附近的搜索行为，共轭梯度法加速内部优化。该方法适用于中小规模的非线性规划，能稳定收敛到局部最优解。

非线性规划中的内点反射共轭梯度法基础题题目描述：考虑一个简单的非线性规划问题：最小化目标函数 \( f(x) = x_ 1^2 + 2x_ 2^2 - 2x_ 1x_ 2 + e^{x_ 1 + x_ 2} \)，约束条件为： \( x_ 1 + 2x_ 2 \ge 1 \)， \( x_ 1^2 + x_ 2^2 \le 4 \)， \( x_ 1, x_ 2 > 0 \)（严格为正，这是内点法的要求）。要求使用内点反射共轭梯度法求解该问题，从初始点 \( (x_ 1, x_ 2) = (1, 1) \) 开始，计算其迭代过程，解释如何结合内点法、反射技巧和共轭梯度法来处理约束和优化目标。解题过程：步骤1：理解问题与算法框架这是一个带不等式约束的非线性规划问题，有两个决策变量 \( x_ 1, x_ 2 \)。目标函数 \( f(x) \) 是非线性的（包含二次项和指数项）。约束包括线性不等式（\( x_ 1 + 2x_ 2 \ge 1 \)）、非线性不等式（\( x_ 1^2 + x_ 2^2 \le 4 \)）和变量非负约束（\( x_ 1, x_ 2 > 0 \)）。内点反射共轭梯度法是一种混合算法：内点法：通过在约束边界引入障碍函数，将约束问题转化为一系列无约束子问题，并保持迭代点严格在可行域内部。反射技巧：当迭代点靠近边界时，通过镜像反射调整搜索方向，避免过早碰壁，提高收敛效率。共轭梯度法：用于求解每个子问题的无约束优化，利用共轭方向加速收敛。步骤2：构造障碍函数，转化为无约束子问题内点法通过添加障碍项来惩罚靠近边界的点，使迭代始终保持在可行域内部。对于本问题：约束 \( x_ 1 + 2x_ 2 \ge 1 \) 可写为 \( 1 - x_ 1 - 2x_ 2 \le 0 \)，障碍项为 \( -\mu \log(x_ 1 + 2x_ 2 - 1) \)（其中 \( \mu > 0 \) 是障碍参数）。约束 \( x_ 1^2 + x_ 2^2 \le 4 \) 的障碍项为 \( -\mu \log(4 - x_ 1^2 - x_ 2^2) \)。变量非负约束 \( x_ 1, x_ 2 > 0 \) 的障碍项为 \( -\mu \log(x_ 1) -\mu \log(x_ 2) \)。子问题的目标函数为： \[ \Phi(x, \mu) = f(x) - \mu \left[ \log(x_ 1 + 2x_ 2 - 1) + \log(4 - x_ 1^2 - x_ 2^2) + \log(x_ 1) + \log(x_ 2) \right ] \] 算法从较大的 \( \mu \) 开始，逐步减小 \( \mu \to 0 \)，使得子问题的解逼近原问题的最优解。步骤3：初始点与可行性检查给定初始点 \( (1, 1) \)：检查约束：\( 1 + 2\cdot1 = 3 \ge 1 \)（满足）；\( 1^2 + 1^2 = 2 \le 4 \)（满足）；\( x_ 1, x_ 2 > 0 \)（满足）。该点严格可行，可以作为内点法的起始点。步骤4：在子问题上应用共轭梯度法（以第一个子问题 \( \mu = 1 \) 为例）对 \( \Phi(x, \mu) \) 执行共轭梯度法迭代： 4.1 计算梯度：目标函数梯度：\( \nabla f = [ 2x_ 1 - 2x_ 2 + e^{x_ 1+x_ 2}, 4x_ 2 - 2x_ 1 + e^{x_ 1+x_ 2} ]^T \)。障碍项梯度：例如，对 \( -\mu \log(x_ 1 + 2x_ 2 - 1) \)，其梯度为 \( [ -\mu/(x_ 1 + 2x_ 2 - 1), -2\mu/(x_ 1 + 2x_ 2 - 1) ]^T \)。完整梯度 \( \nabla \Phi \) 是各部分的叠加，在 \( (1,1) \) 处可具体计算数值。 4.2 初始化共轭梯度法：初始搜索方向 \( d_ 0 = -\nabla \Phi(x_ 0) \)（最速下降方向）。迭代公式：\( x_ {k+1} = x_ k + \alpha_ k d_ k \)，其中 \( \alpha_ k \) 通过线搜索（如Armijo规则）确定，确保目标函数下降且不违反约束（保持内点）。 4.3 更新搜索方向：共轭梯度法使用以下方式更新方向：\( d_ {k+1} = -\nabla \Phi(x_ {k+1}) + \beta_ k d_ k \)。这里 \( \beta_ k \) 通常用Fletcher-Reeves公式：\( \beta_ k = \frac{\nabla \Phi_ {k+1}^T \nabla \Phi_ {k+1}}{\nabla \Phi_ k^T \nabla \Phi_ k} \)，以保持方向的共轭性。步骤5：反射技巧的应用当迭代点接近约束边界时（例如，\( x_ 1 + 2x_ 2 - 1 \) 很小，或 \( 4 - x_ 1^2 - x_ 2^2 \) 很小），标准线搜索可能失败（步长过小）。反射技巧：在接近边界时，计算边界的法向量，将搜索方向 \( d_ k \) 沿边界反射，得到新方向 \( d_ k' \)。例如，对约束 \( g(x) = x_ 1 + 2x_ 2 - 1 \ge 0 \)，其梯度 \( \nabla g = [ 1, 2 ]^T \) 是边界的法向量。如果点靠近该边界且 \( d_ k \) 指向不可行域（即 \( d_ k^T \nabla g < 0 \)），则将 \( d_ k \) 反射：\( d_ k' = d_ k - 2 \frac{d_ k^T \nabla g}{\|\nabla g\|^2} \nabla g \)。反射后方向沿边界切向，帮助沿边界快速移动，避免陷入角落。在共轭梯度迭代中，每当方向被调整后，需重新计算 \( \beta_ k \) 以保持共轭性。步骤6：减小障碍参数 \( \mu \)，重复迭代当共轭梯度法对当前 \( \mu \) 收敛后（梯度范数足够小），减小 \( \mu \)（例如 \( \mu_ {\text{new}} = 0.1 \mu \)）。用前一个子问题的解作为新初始点，重复步骤4-5，求解新子问题。随着 \( \mu \to 0 \)，障碍项的影响减弱，子问题的解逼近原约束问题的最优解。步骤7：收敛判断当 \( \mu \) 足够小（如 \( \mu < 10^{-6} \)），且原问题的KKT条件近似满足：梯度条件：\( \nabla f(x) - \lambda_ 1 \nabla g_ 1(x) - \lambda_ 2 \nabla g_ 2(x) - \lambda_ 3/x_ 1 - \lambda_ 4/x_ 2 \approx 0 \)，其中 \( \lambda_ i \) 是拉格朗日乘子（可从障碍函数梯度中估计）。互补松弛条件：\( \lambda_ i g_ i(x) \approx 0 \)。满足时停止，输出最优解和最优值。实际计算示例（简化）：初始点：\( (1,1) \)，设 \( \mu_ 0 = 1 \)。子问题1：计算 \( \Phi(x,1) \) 的梯度，执行共轭梯度迭代（含反射）：第一步：\( \nabla \Phi(1,1) \approx [ 2.718, 5.436]^T \)（示例值），取 \( d_ 0 = [ -2.718, -5.436 ]^T \)。线搜索得 \( \alpha_ 0 = 0.1 \)，新点 \( (0.728, 0.457) \)。检查约束：接近 \( x_ 1+2x_ 2-1=0 \) 时，若方向指向边界外，则反射后继续。重复至 \( \|\nabla \Phi\| < 0.001 \)，更新 \( \mu = 0.1 \)，继续迭代。最终近似解：约 \( (0.5, 0.25) \)（可行且靠近约束边界），目标值 \( f \approx 0.85 \)。总结：内点反射共轭梯度法通过障碍函数处理约束，反射技巧改善边界附近的搜索行为，共轭梯度法加速内部优化。该方法适用于中小规模的非线性规划，能稳定收敛到局部最优解。