带振荡与边界层函数的自适应混合高斯求积：基于边界层坐标变换与指数变换的双重变换技巧

题目描述

考虑计算积分：

\[I = \int_0^1 f(x) \sin(\omega x) e^{-\alpha x} \, dx \]

其中被积函数同时具有高频振荡（因子 \(\sin(\omega x)\)，\(\omega \gg 1\)）和边界层行为（因子 \(e^{-\alpha x}\) 在 \(x=0\) 附近快速变化，\(\alpha \gg 1\)）。目标是设计一种自适应数值积分方案，在边界层区域密集采样以捕捉快速衰减，同时高效处理振荡特性，避免直接使用高阶高斯公式导致的大量节点计算。

解题思路

1. 问题分析：被积函数在 \(x=0\) 附近因 \(e^{-\alpha x}\) 变化剧烈（边界层），而高频振荡 \(\sin(\omega x)\) 要求精细采样以捕捉相位变化。若直接使用高斯-勒让德求积，需大量节点覆盖边界层，计算量大；若用振荡专用方法（如Filon型），边界层行为又可能被忽略。因此，需结合两种变换：

   • 边界层坐标变换：拉伸边界层区域，使函数变化平缓。
   • 振荡处理的指数变换：将振荡部分转化为缓变部分，减少采样需求。

2. 核心思想：先通过边界层变换均匀化衰减行为，再用指数变换“吸收”振荡因子，最后在变换后的区间上应用低阶自适应高斯求积。

详细步骤

步骤1：边界层坐标变换（拉伸边界层）

1. 引入新变量 \(t\)，满足 \(x = \phi(t)\)，其中 \(\phi\) 是单调递增函数，将原区间 \([0,1]\) 映射到 \([0,1]\)，但在 \(x=0\) 附近拉伸。
2. 常用选择是对数拉伸变换：

\[ x = -\frac{1}{\alpha} \ln(1 - t(1 - e^{-\alpha})) \]

其逆变换为 \(t = \frac{1 - e^{-\alpha x}}{1 - e^{-\alpha}}\)。
3. 验证变换效果：当 \(\alpha\) 大时，在 \(x=0\) 附近有 \(x \approx t/\alpha\)，即 \(t\) 坐标下边界层厚度从 \(O(1/\alpha)\) 拉伸到 \(O(1)\)，衰减被“摊平”。
4. 积分变为：

\[ I = \int_0^1 f(\phi(t)) \sin(\omega \phi(t)) e^{-\alpha \phi(t)} \phi'(t) \, dt \]

其中 \(\phi'(t) = \frac{1 - e^{-\alpha}}{\alpha(1 - t(1 - e^{-\alpha}))}\)。

步骤2：振荡处理的指数变换（吸收振荡因子）

1. 目标是将 \(\sin(\omega \phi(t))\) 的振荡转化为缓变函数。利用欧拉公式 \(\sin(z) = \operatorname{Im}(e^{iz})\)，引入复值变换：

\[ g(t) = f(\phi(t)) e^{-\alpha \phi(t)} \phi'(t) e^{i\omega \phi(t)} \]

则 \(I = \operatorname{Im} \left( \int_0^1 g(t) \, dt \right)\)。
2. 但被积函数 \(g(t)\) 仍含振荡因子 \(e^{i\omega \phi(t)}\)，直接积分仍困难。引入指数变换：令

\[ u = \psi(t) = \omega \phi(t) \]

则 \(du = \omega \phi'(t) dt\)，积分变为：

\[ I = \operatorname{Im} \left( \frac{1}{\omega} \int_0^{\omega} \tilde{g}(u) e^{iu} \, du \right), \quad \tilde{g}(u) = \frac{f(\phi(t(u))) e^{-\alpha \phi(t(u))} \phi'(t(u))}{\phi'(t(u))} = f(x(u)) e^{-\alpha x(u)} \]

其中 \(t(u)\) 是 \(u=\omega \phi(t)\) 的反函数，\(x(u) = \phi(t(u))\)。
3. 关键观察：若 \(f(x)e^{-\alpha x}\) 是缓变函数（边界层变换后已实现），则 \(\tilde{g}(u)\) 缓变，振荡性被转移到核 \(e^{iu}\) 中。此时可采用Filon型方法或广义高斯求积处理核 \(e^{iu}\) 的积分。

步骤3：构造广义高斯求积公式

1. 对积分 \(\int_0^{\omega} \tilde{g}(u) e^{iu} \, du\)，若 \(\tilde{g}(u)\) 缓变，可设计针对核 \(e^{iu}\) 的高斯求积公式。
2. 在区间 \([0,\omega]\) 上，选取节点 \(\{u_j\}\) 和权重 \(\{w_j\}\)，使得公式

\[ \int_0^{\omega} p(u) e^{iu} \, du \approx \sum_{j=1}^n w_j p(u_j) \]

对多项式 \(p(u)\) 达到最高代数精度（\(2n-1\) 次）。
3. 实际上，可通过求解非线性系统得到 \(\{u_j, w_j\}\)：

\[ \int_0^{\omega} u^k e^{iu} \, du = \sum_{j=1}^n w_j u_j^k, \quad k=0,1,\dots,2n-1 \]

4. 由于核 \(e^{iu}\) 振荡，节点在 \([0,\omega]\) 上非均匀分布，会在振荡密集区（\(u\) 大时）自动加密。这一步可预先计算并存储节点权重。

步骤4：自适应策略

1. 由于边界层变换和振荡变换后，\(\tilde{g}(u)\) 可能仍有轻微变化（尤其当 \(f(x)\) 复杂时），需自适应细分区间。
2. 算法流程：
   • 将 \(u\)-区间 \([0,\omega]\) 初始分成若干子区间。
   • 在每个子区间上应用广义高斯公式计算积分近似。
   • 估计误差：比较低阶和高阶结果，若误差大于容差，细分该子区间。
   • 重复直到总误差满足要求。
3. 误差估计：可用两个不同精度的高斯公式（如 \(n\) 点和 \(2n\) 点）的差值作为误差估计。

步骤5：最终积分计算

1. 对每个自适应后的子区间，用广义高斯公式计算 \(\int \tilde{g}(u) e^{iu} du\) 的近似。
2. 求和得到 \(\int_0^{\omega} \tilde{g}(u) e^{iu} du \approx S\)。
3. 还原为原积分：

\[ I \approx \operatorname{Im} \left( \frac{1}{\omega} S \right) \]

举例说明

设 \(f(x)=1, \alpha=50, \omega=100\)，积分 \(I = \int_0^1 \sin(100x) e^{-50x} dx\)。

1. 边界层变换：

\[ x = -\frac{1}{50} \ln(1 - t(1-e^{-50})) \]

变换后被积函数在 \(t\) 坐标下几乎线性衰减。

2. 指数变换：

\[ u = 100x = -2 \ln(1 - t(1-e^{-50})) \]

则 \(I = \operatorname{Im} \left( \frac{1}{100} \int_0^{100} e^{-50x(u)} e^{iu} du \right)\)，其中 \(x(u) = u/100\)。

3. 广义高斯求积：在 \(u\in[0,100]\) 上，采用针对核 \(e^{iu}\) 的10点高斯公式，一次性得到高精度结果（因为被积函数 \(\tilde{g}(u)=e^{-0.5u}\) 是光滑指数函数）。

4. 本例中无需自适应，因变换后函数非常光滑。实际复杂 \(f(x)\) 时，在 \(u\) 空间自适应细分即可。

关键优点

• 双重变换分离了边界层和振荡效应，使剩余被积函数更光滑。
• 广义高斯公式针对振荡核优化，节点数少、精度高。
• 自适应策略保证了对任意 \(f(x)\) 的稳健性。

注意事项

• 边界层变换需根据衰减因子 \(e^{-\alpha x}\) 的具体形式调整，若边界层在右端点，需对称处理。
• 广义高斯公式的节点权重需数值计算，但可针对固定 \(\omega\) 预先制表。
• 当 \(\omega\) 极大时，\(u\)-区间很长，可结合稳定相法分段处理。

这个方案通过坐标变换“解耦”边界层和振荡，再利用针对振荡核的特化高斯求积，实现了对复杂被积函数的高效自适应积分。