非线性规划中的交替变量方向法（Alternating Variable Direction Method, AVDM）进阶题
字数 4508 2025-12-11 10:47:50

非线性规划中的交替变量方向法（Alternating Variable Direction Method, AVDM）进阶题

1. 题目描述

考虑如下形式的非线性约束优化问题：

最小化 f(x)
满足约束：
h_i(x) = 0, i = 1, ..., m
x ∈ Ω = Ω_1 × Ω_2 × ... × Ω_p

其中，决策变量 x 被划分为 p 个不相交的变量块，即 x = (x₁, x₂, ..., x_p)，x_j ∈ ℝ^{n_j}，且 n₁ + n₂ + ... + n_p = n。目标函数 f: ℝ^n → ℝ 是连续可微的。等式约束 h_i: ℝ^n → ℝ 也是连续可微的。每个 Ω_j 是 ℝ^{n_j} 中的一个简单闭凸集（例如，ℝ^{n_j} 中的非负象限、盒子约束的集合，或整个空间 ℝ^{n_j}）。

任务：阐述并应用交替变量方向法（AVDM）来解决此问题。请详细说明如何利用变量块的结构，在固定其他变量块的条件下，顺序优化一个变量块，并处理等式约束。请给出完整的算法迭代步骤、子问题的形式、收敛性条件，并通过一个简单的数值示例演示其过程。

2. 解题过程循序渐进讲解

步骤1：理解问题结构与AVDM的核心思想

  1. 变量块结构：问题的关键在于决策变量 x 可以自然地分成 p 组（块）。例如，在资源分配问题中，x₁ 代表工厂A的资源分配，x₂ 代表工厂B的分配，等等。每个变量块 x_j 有其自己的简单约束集 Ω_j。
  2. AVDM思想：AVDM是一种块坐标下降法在约束优化中的推广。其核心思想是交替优化。在每次迭代中，我们按顺序（例如 j=1,2,...,p）处理每一个变量块 x_j。当优化第 j 个块时，我们固定所有其他变量块 (x_1, ..., x_{j-1}, x_{j+1}, ..., x_p) 为当前值，然后在满足其自身约束 x_j ∈ Ω_j 以及原始等式约束 h_i(x) = 0 的条件下，求解关于 x_j 的子优化问题。通过逐个击破，将复杂的高维问题分解为一系列较低维的子问题。

步骤2：构建第k次迭代中关于变量块 x_j 的子问题

设当前迭代点为 x^k = (x₁^k, x₂^k, ..., x_p^k)。

当我们准备更新第 j 个变量块时，我们固定其他所有块：
x_i 固定为 x_i^{k+1} (对于 i < j，因为它们在本轮迭代中已更新)
x_i 固定为 x_i^k (对于 i > j，因为它们尚未更新)

为了简化符号，我们定义：
固定变量： x_{-j} = (x_1^{k+1}, ..., x_{j-1}^{k+1}, x_{j+1}^k, ..., x_p^k)

那么，关于变量块 x_j 的子问题如下：

最小化 φ_j(ξ) = f(x_1^{k+1}, ..., x_{j-1}^{k+1}, ξ, x_{j+1}^k, ..., x_p^k)
满足约束：
h_i(x_1^{k+1}, ..., x_{j-1}^{k+1}, ξ, x_{j+1}^k, ..., x_p^k) = 0, i = 1, ..., m
ξ ∈ Ω_j

注意：这个子问题只以 ξ (即待更新的 x_j) 为决策变量，维度为 n_j。目标函数 φ_j(ξ) 是原始目标 f 在固定其他变量后的约化形式。关键难点在于等式约束 h_i = 0 也必须在这一步得到满足。

步骤3：处理子问题中的等式约束

子问题是一个低维（n_j维）的、带等式约束的非线性规划。我们可以用多种方法求解它，例如：

  • 拉格朗日乘子法/序列二次规划（SQP）：如果 n_j 很小且约束良好，可以在子问题中直接应用。
  • 增广拉格朗日法（ALM）：这是更稳健的选择。我们将等式约束 h_i = 0 纳入增广拉格朗日函数，在子问题中最小化这个函数（关于 ξ），同时更新乘子。

这里我们采用增广拉格朗日法处理子问题内的等式约束。

对于主问题的第 k 次迭代，我们维护一组拉格朗日乘子 λ^k = (λ₁^k, ..., λ_m^k) ∈ ℝ^m，用于所有等式约束。

那么，在更新第 j 个块时，我们求解以下无约束子问题（相对于 Ω_j 的约束仍保留）：
最小化 L_ρ(ξ; λ^k) = f(..., ξ, ...) + ∑{i=1}^m λ_i^k * h_i(..., ξ, ...) + (ρ/2) * ∑{i=1}^m [h_i(..., ξ, ...)]²
约束： ξ ∈ Ω_j
其中 ρ > 0 是惩罚参数。函数 L_ρ 称为增广拉格朗日函数。我们寻找：
x_j^{k+1} ≈ arg min_{ξ ∈ Ω_j} L_ρ(ξ; λ^k) （通常求解到一定精度）

步骤4：完整的AVDM算法迭代步骤

给定初始点 x^0，初始乘子 λ^0，惩罚参数 ρ > 0，容差 ε > 0，最大迭代次数 K_max。

对于迭代次数 k = 0, 1, 2, ..., 直到满足停止条件：

  1. 变量块更新（交替最小化）：
    对于变量块 j = 1, 2, ..., p：
    a. 构造增广拉格朗日函数 L_ρ(ξ; λ^k)，其中除 x_j 外的所有变量固定为最新值。
    b. 求解子问题：找到 x_j^{k+1} 使得
    x_j^{k+1} ≈ arg min_{ξ ∈ Ω_j} L_ρ(ξ; λ^k)
    这可以通过任何适用于箱约束或无约束（若Ω_j=ℝ^{n_j}）的优化方法实现（如梯度下降、牛顿法、拟牛顿法），求解到中等精度即可。
    c. 更新该变量块：将 x_j 的值设为 x_j^{k+1}。

  2. 乘子更新：
    在更新完所有 p 个变量块后，计算当前点的约束违反度 h_i(x^{k+1})。
    更新拉格朗日乘子：
    λ_i^{k+1} = λ_i^k + ρ * h_i(x^{k+1}), i = 1, ..., m
    这一步是增广拉格朗日法的标准步骤，用于收紧对等式约束的满足。

  3. 收敛性检查：
    计算以下两个量的范数：
    - 最优性残差：例如，块坐标最优性条件（每个子问题的一阶必要条件）的违反程度，或梯度投影范数。
    - 可行性残差： ||h(x^{k+1})||
    如果 max(||最优性残差||, ||h(x^{k+1})||) < ε，则算法终止，输出 x^{k+1} 作为近似解。
    如果 k > K_max，也终止。

步骤5：收敛性条件

对于AVDM结合增广拉格朗日法，在以下典型假设下可以证明算法的收敛性（到稳定点或KKT点）：

  1. 目标与约束的光滑性：f 和 h_i 是连续可微的，且梯度 Lipschitz 连续。
  2. 子问题求解精度：每个子问题被求解到足够的精度（例如，梯度充分小）。
  3. 约束规范性：在极限点处，等式约束的梯度线性无关。
  4. 目标函数的性质：f 是下方有界的，或者增广拉格朗日函数在每次块更新后充分下降。
  5. 惩罚参数调整：有时需要根据可行性进展自适应增加 ρ 以确保约束满足。

算法保证产生的序列 {x^k} 的任意聚点都满足原始问题的一阶必要最优性条件（KKT条件）。

步骤6：简单数值演示

考虑一个简化的例子以便理解流程。

问题：
最小化 f(x, y) = (x - 2)² + (y - 3)²
满足约束： h(x, y) = x + y - 5 = 0
变量块：x 和 y 各视为一个块 (p=2)，Ω₁ = Ω₂ = ℝ （无界）。

初始化：x⁰ = 0, y⁰ = 0, λ⁰ = 0, ρ = 1.0, ε = 1e-4。

迭代 k=0：

  • 更新块1 (x)：固定 y⁰ = 0, λ⁰=0。
    子问题： min_{x ∈ ℝ} L_ρ(x; λ⁰) = (x-2)² + (0-3)² + 0*(x+0-5) + 0.51(x+0-5)²
    = (x-2)² + 9 + 0.5*(x-5)²
    求导： dL/dx = 2(x-2) + (x-5) = 3x - 9 = 0 => x¹ = 3。

  • 更新块2 (y)：固定 x¹ = 3, λ⁰=0。
    子问题： min_{y ∈ ℝ} L_ρ(y; λ⁰) = (3-2)² + (y-3)² + 0*(3+y-5) + 0.51(3+y-5)²
    = 1 + (y-3)² + 0.5*(y-2)²
    求导： dL/dy = 2(y-3) + (y-2) = 3y - 8 = 0 => y¹ = 8/3 ≈ 2.6667。

  • 更新乘子：计算 h(x¹, y¹) = 3 + 8/3 - 5 = (9+8-15)/3 = 2/3 ≈ 0.6667。
    λ¹ = λ⁰ + ρ * h = 0 + 1*(2/3) = 2/3 ≈ 0.6667。

迭代 k=1：

  • 更新块1 (x)：固定 y¹ ≈ 2.6667, λ¹ ≈ 0.6667。
    L_ρ = (x-2)² + (2.6667-3)² + 0.6667*(x+2.6667-5) + 0.5*(x+2.6667-5)²
    简化常数项，关于 x 的部分： (x-2)² + 0.6667*(x-2.3333) + 0.5*(x-2.3333)²
    求导： 2(x-2) + 0.6667 + (x-2.3333) = 3x - 6 + 0.6667 - 2.3333 = 3x - 7.6666 = 0
    => x² ≈ 2.5555。

  • 更新块2 (y)：固定 x² ≈ 2.5555, λ¹ ≈ 0.6667。
    L_ρ 关于 y： (2.5555-2)² + (y-3)² + 0.6667*(2.5555+y-5) + 0.5*(2.5555+y-5)²
    求导： 2(y-3) + 0.6667 + (y+2.5555-5) = 2y-6 + 0.6667 + y -2.4445 = 3y - 7.7778 = 0
    => y² ≈ 2.5926。

  • 更新乘子： h(x², y²) = 2.5555 + 2.5926 - 5 = 0.1481。
    λ² = 0.6667 + 1*0.1481 = 0.8148。

继续迭代，可以看到 (x, y) 将收敛到精确解 (2, 3)（满足 x+y=5 且最小化距离点(2,3)的距离），乘子 λ 将收敛到对应的最优拉格朗日乘子。

总结：
交替变量方向法（AVDM）通过利用问题的变量块可分结构，将大规模约束问题分解为一系列低维子问题。通过结合增广拉格朗日法处理等式约束，并在子问题中利用其低维特性高效求解，AVDM能够有效处理一类具有特殊结构的大规模非线性规划问题。其收敛性依赖于目标函数和约束的光滑性以及子问题的求解精度。

非线性规划中的交替变量方向法（Alternating Variable Direction Method, AVDM）进阶题 1. 题目描述 考虑如下形式的非线性约束优化问题： 最小化 f(x) 满足约束： h_ i(x) = 0, i = 1, ..., m x ∈ Ω = Ω_ 1 × Ω_ 2 × ... × Ω_ p 其中，决策变量 x 被划分为 p 个不相交的变量块，即 x = (x₁, x₂, ..., x_ p)，x_ j ∈ ℝ^{n_ j}，且 n₁ + n₂ + ... + n_ p = n。目标函数 f: ℝ^n → ℝ 是连续可微的。等式约束 h_ i: ℝ^n → ℝ 也是连续可微的。每个 Ω_ j 是 ℝ^{n_ j} 中的一个简单闭凸集（例如，ℝ^{n_ j} 中的非负象限、盒子约束的集合，或整个空间 ℝ^{n_ j}）。 任务 ：阐述并应用 交替变量方向法（AVDM） 来解决此问题。请详细说明如何利用变量块的结构，在固定其他变量块的条件下，顺序优化一个变量块，并处理等式约束。请给出完整的算法迭代步骤、子问题的形式、收敛性条件，并通过一个简单的数值示例演示其过程。 2. 解题过程循序渐进讲解 步骤1：理解问题结构与AVDM的核心思想 变量块结构 ：问题的关键在于决策变量 x 可以自然地分成 p 组（块）。例如，在资源分配问题中，x₁ 代表工厂A的资源分配，x₂ 代表工厂B的分配，等等。每个变量块 x_ j 有其自己的简单约束集 Ω_ j。 AVDM思想 ：AVDM是一种 块坐标下降法 在约束优化中的推广。其核心思想是 交替优化 。在每次迭代中，我们按顺序（例如 j=1,2,...,p）处理每一个变量块 x_ j。当优化第 j 个块时，我们固定所有其他变量块 (x_ 1, ..., x_ {j-1}, x_ {j+1}, ..., x_ p) 为当前值，然后在满足其自身约束 x_ j ∈ Ω_ j 以及原始等式约束 h_ i(x) = 0 的条件下，求解关于 x_ j 的子优化问题。通过逐个击破，将复杂的高维问题分解为一系列较低维的子问题。 步骤2：构建第k次迭代中关于变量块 x_ j 的子问题 设当前迭代点为 x^k = (x₁^k, x₂^k, ..., x_ p^k)。 当我们准备更新第 j 个变量块时，我们固定其他所有块： x_ i 固定为 x_ i^{k+1} (对于 i < j，因为它们在本轮迭代中已更新) x_ i 固定为 x_ i^k (对于 i > j，因为它们尚未更新) 为了简化符号，我们定义： 固定变量： x_ {-j} = (x_ 1^{k+1}, ..., x_ {j-1}^{k+1}, x_ {j+1}^k, ..., x_ p^k) 那么，关于变量块 x_ j 的子问题如下： 最小化 φ_ j(ξ) = f(x_ 1^{k+1}, ..., x_ {j-1}^{k+1}, ξ, x_ {j+1}^k, ..., x_ p^k) 满足约束： h_ i(x_ 1^{k+1}, ..., x_ {j-1}^{k+1}, ξ, x_ {j+1}^k, ..., x_ p^k) = 0, i = 1, ..., m ξ ∈ Ω_ j 注意 ：这个子问题只以 ξ (即待更新的 x_ j) 为决策变量，维度为 n_ j。目标函数 φ_ j(ξ) 是原始目标 f 在固定其他变量后的约化形式。 关键难点 在于等式约束 h_ i = 0 也必须在这一步得到满足。 步骤3：处理子问题中的等式约束 子问题是一个低维（n_ j维）的、带等式约束的非线性规划。我们可以用多种方法求解它，例如： 拉格朗日乘子法/序列二次规划（SQP） ：如果 n_ j 很小且约束良好，可以在子问题中直接应用。 增广拉格朗日法（ALM） ：这是更稳健的选择。我们将等式约束 h_ i = 0 纳入增广拉格朗日函数，在子问题中最小化这个函数（关于 ξ），同时更新乘子。 这里我们采用 增广拉格朗日法 处理子问题内的等式约束。 对于主问题的第 k 次迭代，我们维护一组拉格朗日乘子 λ^k = (λ₁^k, ..., λ_ m^k) ∈ ℝ^m，用于所有等式约束。 那么，在更新第 j 个块时，我们求解以下 无约束子问题 （相对于 Ω_ j 的约束仍保留）： 最小化 L_ ρ(ξ; λ^k) = f(..., ξ, ...) + ∑ {i=1}^m λ_ i^k * h_ i(..., ξ, ...) + (ρ/2) * ∑ {i=1}^m [ h_ i(..., ξ, ...) ]² 约束： ξ ∈ Ω_ j 其中 ρ > 0 是惩罚参数。函数 L_ ρ 称为 增广拉格朗日函数 。我们寻找： x_ j^{k+1} ≈ arg min_ {ξ ∈ Ω_ j} L_ ρ(ξ; λ^k) （通常求解到一定精度） 步骤4：完整的AVDM算法迭代步骤 给定初始点 x^0，初始乘子 λ^0，惩罚参数 ρ > 0，容差 ε > 0，最大迭代次数 K_ max。 对于迭代次数 k = 0, 1, 2, ..., 直到满足停止条件： 变量块更新（交替最小化） ： 对于变量块 j = 1, 2, ..., p： a. 构造增广拉格朗日函数 L_ ρ(ξ; λ^k)，其中除 x_ j 外的所有变量固定为最新值。 b. 求解子问题：找到 x_ j^{k+1} 使得 x_ j^{k+1} ≈ arg min_ {ξ ∈ Ω_ j} L_ ρ(ξ; λ^k) 这可以通过任何适用于箱约束或无约束（若Ω_ j=ℝ^{n_ j}）的优化方法实现（如梯度下降、牛顿法、拟牛顿法），求解到中等精度即可。 c. 更新该变量块：将 x_ j 的值设为 x_ j^{k+1}。 乘子更新 ： 在更新完所有 p 个变量块后，计算当前点的约束违反度 h_ i(x^{k+1})。 更新拉格朗日乘子： λ_ i^{k+1} = λ_ i^k + ρ * h_ i(x^{k+1}), i = 1, ..., m 这一步是增广拉格朗日法的标准步骤，用于收紧对等式约束的满足。 收敛性检查 ： 计算以下两个量的范数： - 最优性残差：例如，块坐标最优性条件（每个子问题的一阶必要条件）的违反程度，或梯度投影范数。 - 可行性残差： ||h(x^{k+1})|| 如果 max(||最优性残差||, ||h(x^{k+1})||) < ε，则算法终止，输出 x^{k+1} 作为近似解。 如果 k > K_ max，也终止。 步骤5：收敛性条件 对于AVDM结合增广拉格朗日法，在以下典型假设下可以证明算法的收敛性（到稳定点或KKT点）： 目标与约束的光滑性 ：f 和 h_ i 是连续可微的，且梯度 Lipschitz 连续。 子问题求解精度 ：每个子问题被求解到足够的精度（例如，梯度充分小）。 约束规范性 ：在极限点处，等式约束的梯度线性无关。 目标函数的性质 ：f 是下方有界的，或者增广拉格朗日函数在每次块更新后充分下降。 惩罚参数调整 ：有时需要根据可行性进展自适应增加 ρ 以确保约束满足。 算法保证产生的序列 {x^k} 的任意聚点都满足原始问题的一阶必要最优性条件（KKT条件）。 步骤6：简单数值演示 考虑一个简化的例子以便理解流程。 问题 ： 最小化 f(x, y) = (x - 2)² + (y - 3)² 满足约束： h(x, y) = x + y - 5 = 0 变量块：x 和 y 各视为一个块 (p=2)，Ω₁ = Ω₂ = ℝ （无界）。 初始化：x⁰ = 0, y⁰ = 0, λ⁰ = 0, ρ = 1.0, ε = 1e-4。 迭代 k=0 ： 更新块1 (x) ：固定 y⁰ = 0, λ⁰=0。 子问题： min_ {x ∈ ℝ} L_ ρ(x; λ⁰) = (x-2)² + (0-3)² + 0* (x+0-5) + 0.5 1 (x+0-5)² = (x-2)² + 9 + 0.5* (x-5)² 求导： dL/dx = 2(x-2) + (x-5) = 3x - 9 = 0 => x¹ = 3。 更新块2 (y) ：固定 x¹ = 3, λ⁰=0。 子问题： min_ {y ∈ ℝ} L_ ρ(y; λ⁰) = (3-2)² + (y-3)² + 0* (3+y-5) + 0.5 1 (3+y-5)² = 1 + (y-3)² + 0.5* (y-2)² 求导： dL/dy = 2(y-3) + (y-2) = 3y - 8 = 0 => y¹ = 8/3 ≈ 2.6667。 更新乘子 ：计算 h(x¹, y¹) = 3 + 8/3 - 5 = (9+8-15)/3 = 2/3 ≈ 0.6667。 λ¹ = λ⁰ + ρ * h = 0 + 1* (2/3) = 2/3 ≈ 0.6667。 迭代 k=1 ： 更新块1 (x) ：固定 y¹ ≈ 2.6667, λ¹ ≈ 0.6667。 L_ ρ = (x-2)² + (2.6667-3)² + 0.6667* (x+2.6667-5) + 0.5* (x+2.6667-5)² 简化常数项，关于 x 的部分： (x-2)² + 0.6667* (x-2.3333) + 0.5* (x-2.3333)² 求导： 2(x-2) + 0.6667 + (x-2.3333) = 3x - 6 + 0.6667 - 2.3333 = 3x - 7.6666 = 0 => x² ≈ 2.5555。 更新块2 (y) ：固定 x² ≈ 2.5555, λ¹ ≈ 0.6667。 L_ ρ 关于 y： (2.5555-2)² + (y-3)² + 0.6667* (2.5555+y-5) + 0.5* (2.5555+y-5)² 求导： 2(y-3) + 0.6667 + (y+2.5555-5) = 2y-6 + 0.6667 + y -2.4445 = 3y - 7.7778 = 0 => y² ≈ 2.5926。 更新乘子 ： h(x², y²) = 2.5555 + 2.5926 - 5 = 0.1481。 λ² = 0.6667 + 1* 0.1481 = 0.8148。 继续迭代，可以看到 (x, y) 将收敛到精确解 (2, 3)（满足 x+y=5 且最小化距离点(2,3)的距离），乘子 λ 将收敛到对应的最优拉格朗日乘子。 总结 ： 交替变量方向法（AVDM）通过利用问题的 变量块可分结构 ，将大规模约束问题分解为一系列低维子问题。通过结合 增广拉格朗日法 处理等式约束，并在子问题中利用其低维特性高效求解，AVDM能够有效处理一类具有特殊结构的大规模非线性规划问题。其收敛性依赖于目标函数和约束的光滑性以及子问题的求解精度。