非线性规划中的序列二次规划-代理模型-信赖域-自适应屏障混合算法进阶题：带高维非凸约束的工程优化问题
字数 4208 2025-12-11 10:41:52

非线性规划中的序列二次规划-代理模型-信赖域-自适应屏障混合算法进阶题：带高维非凸约束的工程优化问题

题目描述
考虑一个来自工程设计的非线性规划问题。目标是最小化一个复杂、计算昂贵的函数 \(f(x)\)，该函数可能由有限元分析、计算流体动力学模拟等黑箱过程给出，其解析形式未知，但可以计算函数值。问题包含高维设计变量 \(x \in \mathbb{R}^n\)（例如 \(n \geq 50\)）和非凸约束，这些约束同样计算昂贵，可能涉及应力、位移、频率等物理响应。问题形式如下：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ & x^L \leq x \leq x^U, \end{aligned} \]

其中：

  • \(f(x)\) 和 \(c_i(x)\) 是连续可微但高度非线性和非凸的，且每次计算耗时数秒至数分钟。
  • 约束数量 \(m\) 可能较大（例如数十个），且可能互相耦合。
  • 变量有上下界 \(x^L, x^U\)。

挑战：直接使用传统序列二次规划（SQP）或信赖域法会因频繁调用昂贵函数而计算量巨大，且非凸性可能导致收敛到不良局部解。需结合代理模型（近似模型）来减少昂贵计算，并引入自适应屏障函数处理约束以保证可行性，同时整合信赖域机制控制近似精度。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：问题分析与算法框架选择
由于目标函数和约束计算昂贵，直接使用基于精确梯度和Hessian的优化算法不切实际。我们需要一个能逐步逼近原问题、并尽量少调用真实昂贵函数的框架。这里采用 序列二次规划（SQP） 作为基础，但用代理模型（如Kriging、RBF、多项式响应面）来近似 \(f(x)\) 和 \(c_i(x)\)。同时，使用信赖域确保代理模型在当前区域内的近似质量，并用自适应屏障函数将约束融入子问题，避免可行性问题。整体迭代流程如下：

  1. 在当前迭代点 \(x_k\)，构建局部代理模型 \(\tilde{f}_k(x)\) 和 \(\tilde{c}_{i,k}(x)\) 来近似真实函数。
  2. 在信赖域 \(\|x - x_k\| \leq \Delta_k\) 内，求解基于代理模型的带屏障项的二次规划子问题。
  3. 根据实际函数下降与预测下降的比值，决定是否接受迭代点，并更新信赖域半径和代理模型。

步骤2：构建局部代理模型
由于函数计算昂贵，我们使用插值或回归模型构建局部近似。以径向基函数（RBF）模型为例：

  • 在 \(x_k\) 的邻域内选取一组采样点（可通过拉丁超立方采样或对称扰动得到），计算这些点的真实函数值 \(f\) 和 \(c_i\)。
  • 构建RBF模型：
    \(\tilde{f}_k(x) = \sum_{j=1}^p \lambda_j \phi(\|x - z_j\|) + p(x)\)，
    其中 \(\phi\) 是径向基函数（如高斯函数 \(\phi(r) = e^{-r^2/2\sigma^2}\)），\(z_j\) 是采样点，\(\lambda_j\) 是系数，\(p(x)\) 是低阶多项式项（保证精度）。系数通过插值条件确定。
  • 类似地，为每个约束 \(c_i(x)\) 构建独立的RBF模型 \(\tilde{c}_{i,k}(x)\)。
  • 代理模型的梯度 \(\nabla \tilde{f}_k\) 和 \(\nabla \tilde{c}_{i,k}\) 可通过解析求导得到，用于后续二次规划。

关键点：代理模型仅在当前信赖域内保证精度，因此每次迭代需更新采样点集（可重用历史点以降低计算量）。

步骤3：构造带自适应屏障的二次规划子问题
为处理非凸约束并保证子问题可行，我们引入自适应屏障函数（如对数屏障）。但屏障函数通常用于内点法，这里我们将其融入SQP的二次规划子问题。具体地，在第 \(k\) 次迭代，子问题为：

\[\begin{aligned} \min_{d \in \mathbb{R}^n} \quad & \tilde{f}_k(x_k) + \nabla \tilde{f}_k(x_k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_k d + \mu_k \sum_{i=1}^m \psi(\tilde{c}_{i,k}(x_k) + \nabla \tilde{c}_{i,k}(x_k)^T d) \\ \text{s.t.} \quad & \|d\|_{\infty} \leq \Delta_k, \end{aligned} \]

其中：

  • \(d = x - x_k\) 是搜索步长。
  • \(B_k\) 是Hessian近似（可通过拟牛顿法如BFGS更新代理模型的Hessian，或使用Gauss-Newton近似）。
  • \(\mu_k > 0\) 是屏障参数，初始值较大，随迭代减小以逐渐逼近原约束。
  • \(\psi(\cdot)\) 是屏障函数，常用对数屏障：\(\psi(s) = -\log(-s)\) 当 \(s < 0\)，否则为 \(+\infty\)。但为数值稳定性，我们采用修正对数屏障：\(\psi(s) = -\log(1 - s/\epsilon)\) 对 \(s < 0\)，其中 \(\epsilon > 0\) 是微小常数，避免奇异性。
  • 约束 \(\|d\|_{\infty} \leq \Delta_k\) 是信赖域约束，保证步长在代理模型有效区域内。

子问题特点：目标函数包含二次项（来自SQP）和屏障项（处理约束），这是一个光滑的凸优化问题（若 \(B_k\) 正定），可用内点法或投影梯度法高效求解。

步骤4：自适应更新屏障参数与信赖域

  • 屏障参数更新：若子问题解得 \(d_k\)，计算约束违反度 \(V_k = \sum_i \max(0, c_i(x_k + d_k))\)。如果 \(V_k\) 小于阈值 \(\tau\)，则减少屏障参数 \(\mu_{k+1} = \eta \mu_k\)（例如 \(\eta = 0.1\)），以加强对约束的满足；否则保持 \(\mu_{k+1} = \mu_k\) 或稍增大，以更强调可行性。
  • 信赖域更新：比较实际下降 \(\text{ared}_k = f(x_k) - f(x_k + d_k)\) 与预测下降 \(\text{pred}_k = \tilde{f}_k(x_k) - [\tilde{f}_k(x_k) + \nabla \tilde{f}_k^T d_k + \frac{1}{2} d_k^T B_k d_k]\)（忽略屏障项影响，因屏障项主要用于约束处理）。计算比值 \(\rho_k = \frac{\text{ared}_k}{\text{pred}_k}\)。
    • 若 \(\rho_k > 0.75\)，表明代理模型准确，扩大信赖域：\(\Delta_{k+1} = 2\Delta_k\)。
    • 若 \(0.25 \leq \rho_k \leq 0.75\)，保持信赖域：\(\Delta_{k+1} = \Delta_k\)。
    • 若 \(\rho_k < 0.25\)，缩小信赖域：\(\Delta_{k+1} = 0.5\Delta_k\)，并拒绝这一步（即 \(x_{k+1} = x_k\)），重新构建更精确的代理模型。

步骤5：迭代终止条件
算法在以下条件之一满足时停止：

  1. 步长足够小：\(\|d_k\| < \epsilon_x\)。
  2. 目标函数下降很小：\(|f(x_k) - f(x_{k-1})| < \epsilon_f\)。
  3. 约束违反度足够小：\(V_k < \epsilon_c\)。
  4. 达到最大迭代次数。

步骤6：算法流程总结

  1. 初始化：选择初始点 \(x_0\)，初始信赖域半径 \(\Delta_0 > 0\)，初始屏障参数 \(\mu_0 > 0\)，设置采样点个数 \(p\)（例如 \(p = 2n+1\)）。
  2. 对 \(k = 0, 1, 2, \dots\) 执行：
    a. 如果 \(k=0\) 或上一步被拒绝，在 \(x_k\) 的邻域内生成新的采样点集，调用昂贵函数计算 \(f\) 和 \(c_i\) 的真实值。
    b. 构建代理模型 \(\tilde{f}_k\) 和 \(\tilde{c}_{i,k}\)。
    c. 求解带屏障的二次规划子问题，得到步长 \(d_k\)。
    d. 计算实际函数值 \(f(x_k + d_k)\) 和约束值 \(c_i(x_k + d_k)\)（调用昂贵函数）。
    e. 更新屏障参数 \(\mu_k\) 基于约束违反度。
    f. 计算比值 \(\rho_k\)，更新信赖域半径 \(\Delta_{k+1}\)，决定是否接受 \(x_{k+1} = x_k + d_k\)。
    g. 检查终止条件，若满足则停止并输出 \(x_{k+1}\)。

关键优势：该混合算法通过代理模型大幅减少昂贵计算次数（仅在必要时调用），信赖域保证收敛性，自适应屏障处理非凸约束的可行性。适用于高维、计算昂贵、非凸的工程优化问题，如航空航天结构设计、汽车轻量化等。

提示：实践中代理模型可选用Kriging以提供不确定性估计，从而结合贝叶斯优化进行主动学习，进一步减少计算量。非凸约束可能导致子问题多局部解，可结合多起点或全局搜索策略改进。

非线性规划中的序列二次规划-代理模型-信赖域-自适应屏障混合算法进阶题：带高维非凸约束的工程优化问题 题目描述 考虑一个来自工程设计的非线性规划问题。目标是最小化一个复杂、计算昂贵的函数 \( f(x) \)，该函数可能由有限元分析、计算流体动力学模拟等黑箱过程给出，其解析形式未知，但可以计算函数值。问题包含高维设计变量 \( x \in \mathbb{R}^n \)（例如 \( n \geq 50 \)）和非凸约束，这些约束同样计算昂贵，可能涉及应力、位移、频率等物理响应。问题形式如下： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m, \\ & x^L \leq x \leq x^U, \end{aligned} \] 其中： \( f(x) \) 和 \( c_ i(x) \) 是连续可微但高度非线性和非凸的，且每次计算耗时数秒至数分钟。 约束数量 \( m \) 可能较大（例如数十个），且可能互相耦合。 变量有上下界 \( x^L, x^U \)。 挑战 ：直接使用传统序列二次规划（SQP）或信赖域法会因频繁调用昂贵函数而计算量巨大，且非凸性可能导致收敛到不良局部解。需结合代理模型（近似模型）来减少昂贵计算，并引入自适应屏障函数处理约束以保证可行性，同时整合信赖域机制控制近似精度。 解题过程循序渐进讲解 步骤1：问题分析与算法框架选择 由于目标函数和约束计算昂贵，直接使用基于精确梯度和Hessian的优化算法不切实际。我们需要一个能逐步逼近原问题、并尽量少调用真实昂贵函数的框架。这里采用 序列二次规划（SQP） 作为基础，但用 代理模型 （如Kriging、RBF、多项式响应面）来近似 \( f(x) \) 和 \( c_ i(x) \)。同时，使用 信赖域 确保代理模型在当前区域内的近似质量，并用 自适应屏障函数 将约束融入子问题，避免可行性问题。整体迭代流程如下： 在当前迭代点 \( x_ k \)，构建局部代理模型 \( \tilde{f} k(x) \) 和 \( \tilde{c} {i,k}(x) \) 来近似真实函数。 在信赖域 \( \|x - x_ k\| \leq \Delta_ k \) 内，求解基于代理模型的带屏障项的二次规划子问题。 根据实际函数下降与预测下降的比值，决定是否接受迭代点，并更新信赖域半径和代理模型。 步骤2：构建局部代理模型 由于函数计算昂贵，我们使用插值或回归模型构建局部近似。以径向基函数（RBF）模型为例： 在 \( x_ k \) 的邻域内选取一组采样点（可通过拉丁超立方采样或对称扰动得到），计算这些点的真实函数值 \( f \) 和 \( c_ i \)。 构建RBF模型： \( \tilde{f} k(x) = \sum {j=1}^p \lambda_ j \phi(\|x - z_ j\|) + p(x) \)， 其中 \( \phi \) 是径向基函数（如高斯函数 \( \phi(r) = e^{-r^2/2\sigma^2} \)），\( z_ j \) 是采样点，\( \lambda_ j \) 是系数，\( p(x) \) 是低阶多项式项（保证精度）。系数通过插值条件确定。 类似地，为每个约束 \( c_ i(x) \) 构建独立的RBF模型 \( \tilde{c}_ {i,k}(x) \)。 代理模型的梯度 \( \nabla \tilde{f} k \) 和 \( \nabla \tilde{c} {i,k} \) 可通过解析求导得到，用于后续二次规划。 关键点 ：代理模型仅在当前信赖域内保证精度，因此每次迭代需更新采样点集（可重用历史点以降低计算量）。 步骤3：构造带自适应屏障的二次规划子问题 为处理非凸约束并保证子问题可行，我们引入自适应屏障函数（如对数屏障）。但屏障函数通常用于内点法，这里我们将其融入SQP的二次规划子问题。具体地，在第 \( k \) 次迭代，子问题为： \[ \begin{aligned} \min_ {d \in \mathbb{R}^n} \quad & \tilde{f} k(x_ k) + \nabla \tilde{f} k(x_ k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d + \mu_ k \sum {i=1}^m \psi(\tilde{c} {i,k}(x_ k) + \nabla \tilde{c} {i,k}(x_ k)^T d) \\ \text{s.t.} \quad & \|d\| {\infty} \leq \Delta_ k, \end{aligned} \] 其中： \( d = x - x_ k \) 是搜索步长。 \( B_ k \) 是Hessian近似（可通过拟牛顿法如BFGS更新代理模型的Hessian，或使用Gauss-Newton近似）。 \( \mu_ k > 0 \) 是屏障参数，初始值较大，随迭代减小以逐渐逼近原约束。 \( \psi(\cdot) \) 是屏障函数，常用对数屏障：\( \psi(s) = -\log(-s) \) 当 \( s < 0 \)，否则为 \( +\infty \)。但为数值稳定性，我们采用修正对数屏障：\( \psi(s) = -\log(1 - s/\epsilon) \) 对 \( s < 0 \)，其中 \( \epsilon > 0 \) 是微小常数，避免奇异性。 约束 \( \|d\|_ {\infty} \leq \Delta_ k \) 是信赖域约束，保证步长在代理模型有效区域内。 子问题特点 ：目标函数包含二次项（来自SQP）和屏障项（处理约束），这是一个光滑的凸优化问题（若 \( B_ k \) 正定），可用内点法或投影梯度法高效求解。 步骤4：自适应更新屏障参数与信赖域 屏障参数更新 ：若子问题解得 \( d_ k \)，计算约束违反度 \( V_ k = \sum_ i \max(0, c_ i(x_ k + d_ k)) \)。如果 \( V_ k \) 小于阈值 \( \tau \)，则减少屏障参数 \( \mu_ {k+1} = \eta \mu_ k \)（例如 \( \eta = 0.1 \)），以加强对约束的满足；否则保持 \( \mu_ {k+1} = \mu_ k \) 或稍增大，以更强调可行性。 信赖域更新 ：比较实际下降 \( \text{ared}_ k = f(x_ k) - f(x_ k + d_ k) \) 与预测下降 \( \text{pred}_ k = \tilde{f}_ k(x_ k) - [ \tilde{f}_ k(x_ k) + \nabla \tilde{f}_ k^T d_ k + \frac{1}{2} d_ k^T B_ k d_ k] \)（忽略屏障项影响，因屏障项主要用于约束处理）。计算比值 \( \rho_ k = \frac{\text{ared}_ k}{\text{pred}_ k} \)。 若 \( \rho_ k > 0.75 \)，表明代理模型准确，扩大信赖域：\( \Delta_ {k+1} = 2\Delta_ k \)。 若 \( 0.25 \leq \rho_ k \leq 0.75 \)，保持信赖域：\( \Delta_ {k+1} = \Delta_ k \)。 若 \( \rho_ k < 0.25 \)，缩小信赖域：\( \Delta_ {k+1} = 0.5\Delta_ k \)，并拒绝这一步（即 \( x_ {k+1} = x_ k \)），重新构建更精确的代理模型。 步骤5：迭代终止条件 算法在以下条件之一满足时停止： 步长足够小：\( \|d_ k\| < \epsilon_ x \)。 目标函数下降很小：\( |f(x_ k) - f(x_ {k-1})| < \epsilon_ f \)。 约束违反度足够小：\( V_ k < \epsilon_ c \)。 达到最大迭代次数。 步骤6：算法流程总结 初始化：选择初始点 \( x_ 0 \)，初始信赖域半径 \( \Delta_ 0 > 0 \)，初始屏障参数 \( \mu_ 0 > 0 \)，设置采样点个数 \( p \)（例如 \( p = 2n+1 \)）。 对 \( k = 0, 1, 2, \dots \) 执行： a. 如果 \( k=0 \) 或上一步被拒绝，在 \( x_ k \) 的邻域内生成新的采样点集，调用昂贵函数计算 \( f \) 和 \( c_ i \) 的真实值。 b. 构建代理模型 \( \tilde{f} k \) 和 \( \tilde{c} {i,k} \)。 c. 求解带屏障的二次规划子问题，得到步长 \( d_ k \)。 d. 计算实际函数值 \( f(x_ k + d_ k) \) 和约束值 \( c_ i(x_ k + d_ k) \)（调用昂贵函数）。 e. 更新屏障参数 \( \mu_ k \) 基于约束违反度。 f. 计算比值 \( \rho_ k \)，更新信赖域半径 \( \Delta_ {k+1} \)，决定是否接受 \( x_ {k+1} = x_ k + d_ k \)。 g. 检查终止条件，若满足则停止并输出 \( x_ {k+1} \)。 关键优势 ：该混合算法通过代理模型大幅减少昂贵计算次数（仅在必要时调用），信赖域保证收敛性，自适应屏障处理非凸约束的可行性。适用于高维、计算昂贵、非凸的工程优化问题，如航空航天结构设计、汽车轻量化等。 提示 ：实践中代理模型可选用Kriging以提供不确定性估计，从而结合贝叶斯优化进行主动学习，进一步减少计算量。非凸约束可能导致子问题多局部解，可结合多起点或全局搜索策略改进。