基于线性规划的图最小路径覆盖问题的多项式时间算法求解示例 我将为您讲解如何用多项式时间算法求解有向无环图（DAG）的最小路径覆盖问题。这个问题可以通过巧妙的图转换，转化为二分图的最大匹配问题，从而在多项式时间内精确求解。 问题描述 给定一个有向无环图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V \) 是顶点集，\( |V| = n \)，\( E \) 是有向边集。一个 路径覆盖 是图中的一组顶点不相交（即任意两条路径不共享顶点）的有向路径，这组路径覆盖了图中的所有顶点。 最小路径覆盖 是指包含路径条数最少的路径覆盖。 目标：找到最小路径覆盖，并给出具体的路径集合。 关键思想与转换 这个问题的核心技巧是 将原图 \( G \) 转换为一个二分图 \( G' \) ，使得原图的最小路径覆盖问题等价于新二分图的最大匹配问题。具体转换如下： 构建二分图 ：对于原图 \( G \) 中的每个顶点 \( v_ i \)，在二分图 \( G' \) 中创建两个顶点：左部的 \( x_ i \) 和右部的 \( y_ i \)。 添加边 ：对于原图 \( G \) 中的每条有向边 \( (v_ i, v_ j) \)，在二分图 \( G' \) 中添加一条从 \( x_ i \) 到 \( y_ j \) 的无向边。 定理 （Dilworth定理的推广）：在 DAG 中，最小路径覆盖的路径数等于 \( n - |M| \)，其中 \( |M| \) 是二分图 \( G' \) 的最大匹配的大小。 直观理解 ：二分图中的一个匹配 \( (x_ i, y_ j) \) 对应原图中路径上的一条边 \( v_ i \to v_ j \)。匹配中的边相当于“连接”了两个顶点所在的路径。最大匹配意味着尽可能多地将顶点连接起来，从而形成尽可能少但尽可能长的路径。 逐步求解过程 步骤1：构建二分图 假设我们有一个 DAG 示例： 顶点集 \( V = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) 有向边集 \( E = \{(1,2), (1,3), (2,4), (3,4), (4,5), (4,6)\} \) 构建二分图 \( G' = (X, Y, E') \)： \( X = \{x_ 1, x_ 2, x_ 3, x_ 4, x_ 5, x_ 6\} \) 对应原图的每个顶点作为起点。 \( Y = \{y_ 1, y_ 2, y_ 3, y_ 4, y_ 5, y_ 6\} \) 对应原图的每个顶点作为终点。 对于每条原边 \( (v_ i, v_ j) \)，添加无向边 \( (x_ i, y_ j) \) 到 \( E' \)。例如，边 \( (1,2) \) 对应 \( (x_ 1, y_ 2) \)。 步骤2：在二分图上求解最大匹配 我们可以在二分图 \( G' \) 上使用 Hopcroft-Karp 算法（时间复杂度 \( O(\sqrt{|V|} |E|) \)）或简单的增广路算法来求最大匹配。 手动计算示例 ： 初始匹配 \( M = \emptyset \)。 从 \( x_ 1 \) 开始寻找增广路： \( x_ 1 \) 可连接 \( y_ 2 \) 或 \( y_ 3 \)（因原边 \( (1,2) \) 和 \( (1,3) \)）。选择 \( (x_ 1, y_ 2) \) 加入匹配，\( M = \{(x_ 1, y_ 2)\} \)。 从 \( x_ 2 \) 开始：它只能连接 \( y_ 4 \)（原边 \( (2,4) \)）。\( y_ 4 \) 未匹配，故添加 \( (x_ 2, y_ 4) \) 到 \( M \)。 从 \( x_ 3 \) 开始：可连接 \( y_ 4 \)，但 \( y_ 4 \) 已匹配。尝试“调整”：检查与 \( y_ 4 \) 匹配的 \( x_ 2 \) 是否有其他选择。\( x_ 2 \) 只有 \( y_ 4 \) 可选，无其他邻接点。因此 \( x_ 3 \) 无法找到增广路，暂不匹配。 从 \( x_ 4 \) 开始：可连接 \( y_ 5 \) 或 \( y_ 6 \)（原边 \( (4,5) \)、\( (4,6) \)）。选择 \( (x_ 4, y_ 5) \) 加入匹配。 从 \( x_ 5 \) 开始：无出边，不连接任何点。 从 \( x_ 6 \) 开始：无出边，不连接任何点。 此时匹配 \( M = \{(x_ 1, y_ 2), (x_ 2, y_ 4), (x_ 4, y_ 5)\} \)，大小 \( |M| = 3 \)。 检查是否有更大的匹配？尝试重新调整： 从 \( x_ 3 \) 再尝试：连接 \( y_ 4 \)，但 \( y_ 4 \) 被 \( x_ 2 \) 匹配。检查 \( x_ 2 \) 是否可改连其他点？不行。但 \( x_ 2 \) 本身是从 \( x_ 1 \) 来的（因 \( y_ 2 \) 匹配 \( x_ 1 \)）。这暗示一条潜在的增广路：\( x_ 3 \to y_ 4 \to x_ 2 \to ?? \)，但 \( x_ 2 \) 无其他邻接点，增广失败。 考虑 \( x_ 4 \) 连 \( y_ 6 \) 而非 \( y_ 5 \)：这不会增加匹配大小。 最终最大匹配大小 \( |M| = 3 \)。 步骤3：从匹配还原最小路径覆盖 最小路径覆盖的路径数 \( = n - |M| = 6 - 3 = 3 \)。 如何还原具体路径？ 在二分图匹配 \( M \) 中，每条边 \( (x_ i, y_ j) \) 对应原图中一条边 \( v_ i \to v_ j \)。 将这些匹配边转换回原图，并连接成路径： 匹配 \( (x_ 1, y_ 2) \) → 原边 \( 1 \to 2 \) 匹配 \( (x_ 2, y_ 4) \) → 原边 \( 2 \to 4 \) 匹配 \( (x_ 4, y_ 5) \) → 原边 \( 4 \to 5 \) 这三条边可串联成一条路径：\( 1 \to 2 \to 4 \to 5 \)。 未在匹配中作为终点出现的 \( y_ 3 \)、\( y_ 6 \)，对应原图中路径的起点： \( y_ 3 \) 未匹配，意味着顶点 3 是某条路径的起点。 \( y_ 6 \) 未匹配，意味着顶点 6 是某条路径的起点。 从这些起点出发，根据匹配边延伸路径： 从顶点 3 开始：在原图中，3 的出边是到 4，但 4 在匹配中作为 \( y_ 4 \) 被 \( x_ 2 \) 匹配，这意味着 4 已有前驱（即 2），所以 3 不能直接连到 4（否则会与已有路径冲突）。实际上，因为 3 没有匹配边从它的 \( x_ 3 \) 出发，所以顶点 3 单独成一条路径：路径 \( 3 \)。 从顶点 6 开始：同样，6 没有出边，单独成一条路径：路径 \( 6 \)。 检查所有顶点是否都被覆盖： 路径1: \( 1 \to 2 \to 4 \to 5 \) 覆盖顶点 {1,2,4,5} 路径2: \( 3 \) 覆盖顶点 {3} 路径3: \( 6 \) 覆盖顶点 {6} 所有顶点都被覆盖，且路径间无公共顶点。 因此，最小路径覆盖是 3 条路径：\( 1 \to 2 \to 4 \to 5 \)、\( 3 \)、\( 6 \)。 算法总结与复杂度 输入 ：DAG \( G=(V,E) \)，\( n=|V| \)，\( m=|E| \)。 构建二分图 \( G' \)：有 \( 2n \) 个顶点，\( m \) 条边。时间 \( O(n+m) \)。 在 \( G' \) 上求最大匹配 ：使用 Hopcroft-Karp 算法，时间复杂度 \( O(\sqrt{n} \cdot m) \)。 路径数 = \( n - |M| \)。 还原路径 ：从所有未匹配的 \( y_ j \) 对应的顶点 \( v_ j \) 开始，沿着匹配边向后遍历，直到无法回溯。这一步可以用并查集或直接遍历，时间 \( O(n+m) \)。 总时间复杂度 ：\( O(\sqrt{n} \cdot m) \)，是多项式时间。 正确性保证 这个方法的正确性基于组合优化中的 König定理 和 DAG路径覆盖与匹配的等价性 。直观上，每条路径覆盖对应二分图中的一个匹配，路径数最少等价于匹配数最大。通过最大匹配，我们总能构造出一个最小路径覆盖。 扩展说明 如果图中有环，可以先用强连通分量缩点转化为 DAG 再应用此方法。 该方法也可以推广到 顶点可重复的路径覆盖 （即路径允许共享顶点），但需要不同的问题转换。 这个例子展示了如何将一个图论问题通过巧妙的建模，转化为线性规划（二分图最大匹配可视为一个特殊的线性规划问题）可高效求解的形式。