核自适应滤波器（Kernel Adaptive Filtering）的在线学习与非线性自适应滤波过程
题目描述
核自适应滤波器（Kernel Adaptive Filtering, KAF）是一类结合了核技巧与自适应滤波理论的非线性在线学习算法。与传统自适应滤波器（如LMS、RLS）不同，KAF通过核方法将输入数据映射到高维特征空间，从而能够处理复杂的非线性关系。典型算法包括核最小均方（Kernel Least Mean Squares, KLMS）、核递归最小二乘（Kernel Recursive Least Squares, KRLS） 等。本题目将详细讲解KAF的核心思想、KLMS算法的推导、在线学习过程以及稀疏性控制策略。
解题过程
1. 问题背景与核心思想
- 传统自适应滤波器的局限：线性自适应滤波器（如LMS）假设输入与输出之间是线性关系，无法处理非线性系统。
- 核方法的优势：通过核函数 \(\kappa(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)\) 隐式地将数据映射到高维特征空间，在该空间中学习线性模型，等价于原始空间中的非线性模型。
- 在线学习需求：数据以流式方式逐个到达，需要实时更新模型，且内存和计算量需可控。
- 核心思想：在特征空间中，模型表示为已见样本的线性组合，权重通过在线梯度下降（如KLMS）或递归最小二乘（如KRLS）更新。
2. 核最小均方（KLMS）算法推导
假设在线学习任务：输入样本 \(\mathbf{x}(n) \in \mathbb{R}^d\) 逐个到达，对应输出 \(d(n) \in \mathbb{R}\)，目标是学习非线性函数 \(f\) 使得 \(d(n) \approx f(\mathbf{x}(n))\)。
- 特征映射：通过核函数 \(\kappa\) 将输入映射到高维特征空间 \(\mathcal{H}\)，即 \(\mathbf{x} \mapsto \phi(\mathbf{x})\)。
- 模型表示：在特征空间中，假设模型为线性：
\[ f(\cdot) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \kappa(\cdot, \mathbf{x}_i) \]
其中 \(\alpha_i\) 是权重，\(\mathbf{x}_i\) 是已存储的样本（称为“字典”）。
- 在线梯度下降：使用均方误差（MSE）作为损失函数：
\[ J = \frac{1}{2} |d(n) - f(\mathbf{x}(n))|^2 \]
在特征空间中，权重向量 \(\mathbf{w}(n)\) 满足 \(f(\mathbf{x}(n)) = \langle \mathbf{w}(n), \phi(\mathbf{x}(n)) \rangle\)。
- 权重更新规则（类似于LMS）：
\[ \mathbf{w}(n+1) = \mathbf{w}(n) + \eta \left( d(n) - \langle \mathbf{w}(n), \phi(\mathbf{x}(n)) \rangle \right) \phi(\mathbf{x}(n)) \]
其中 \(\eta\) 是学习率。
- 核技巧应用：由于 \(\mathbf{w}(n) = \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \phi(\mathbf{x}_i)\)，代入更新公式可得权重系数 \(\alpha_i\) 的更新规则：
\[ \alpha_n = \eta \left( d(n) - \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \kappa(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}(n)) \right) \]
且对于 \(i < n\)，\(\alpha_i\) 保持不变。
- KLMS算法步骤：
- 初始化：字典 \(\mathcal{D} = \emptyset\)，系数向量 \(\boldsymbol{\alpha} = []\)。
- 对于每个新样本 \((\mathbf{x}(n), d(n))\)：
- 计算预测输出：
\[ y(n) = \sum_{i=1}^{|\mathcal{D}|} \alpha_i \kappa(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}(n)) \]
- 计算预测误差：
\[ e(n) = d(n) - y(n) \]
- 更新系数：将新系数 $ \alpha_{\text{new}} = \eta e(n) $ 加入 $ \boldsymbol{\alpha} $。
- 将新样本 $ \mathbf{x}(n) $ 加入字典 $ \mathcal{D} $。
3. 稀疏性控制与字典管理
KLMS的朴素实现会存储所有历史样本，导致计算和内存开销随时间线性增长，必须引入稀疏化策略。
- 稀疏性准则：仅当新样本与字典中所有样本的相似度低于阈值时，才将其加入字典。
- 常用方法：相干准则（Coherence Criterion）：
\[ \max_{\mathbf{x}_i \in \mathcal{D}} |\kappa(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}(n))| \leq \mu_0 \]
其中 \(\mu_0 \in (0,1)\) 是预设阈值。若条件不满足，说明新样本与字典中某样本高度相似，则仅更新对应系数，不增加字典大小。
- 其他稀疏化方法：
- 新奇准则（Novelty Criterion）：同时考虑预测误差大小。
- 近似线性依赖（ALD）准则：用于KRLS，保证字典中样本近似线性独立。
4. 核递归最小二乘（KRLS）简介
KRLS是KAF的另一重要算法，基于递归最小二乘（RLS）推导，具有更快的收敛速度但更高的计算复杂度。
- 核心思想：在特征空间中求解正则化最小二乘问题，并递归更新解。
- 更新公式：
\[ \boldsymbol{\alpha}(n) = \boldsymbol{\alpha}(n-1) + \mathbf{q}(n) \left( d(n) - \mathbf{k}(n)^T \boldsymbol{\alpha}(n-1) \right) \]
其中 \(\mathbf{k}(n) = [\kappa(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}(n)), \dots, \kappa(\mathbf{x}_{n-1}, \mathbf{x}(n))]^T\)，\(\mathbf{q}(n)\) 通过递归更新核矩阵的逆得到。
- 稀疏化：同样需结合ALD等准则控制字典规模。
5. 算法总结与应用场景
- 优点：
- 能够处理非线性、非平稳信号。
- 在线学习，适合实时系统。
- 通过稀疏化控制计算开销。
- 缺点：
- 核函数与参数需精心选择。
- 稀疏化可能影响精度。
- 典型应用：
- 非线性系统辨识（如混沌时间序列预测）。
- 信道均衡与信号处理。
- 机器人控制与自适应滤波。
关键点回顾
- 核技巧：将非线性问题转化为高维特征空间中的线性问题，无需显式计算特征映射。
- 在线学习机制：每来一个样本，立即计算误差并更新模型，适合流式数据。
- 稀疏性控制：通过相似度阈值限制字典增长，平衡精度与效率。
- 算法变体：KLMS基于梯度下降，简单高效；KRLS基于递归最小二乘，收敛更快但更复杂。
这个框架可推广到其他核自适应滤波算法，其核心在于核方法、在线更新与稀疏化三者的结合。