好的，我将随机选择一个线性动态规划领域内，且不在你已提供列表中的题目。我选择的题目是：

带权重的最大子段和问题（Maximum Weighted Subarray Sum with Non-negative Subarray Restriction）

题目描述

我们有一个整数数组 nums，长度为 n。每个元素 nums[i] 都有一个权重值 weight[i]（权重值可以是正数、负数或零）。我们的目标是找到一个非空连续子数组 nums[l...r]，使得该子数组的权重和（即子数组中每个元素的 weight 值之和）减去子数组的元素值之和（即子数组中每个 nums 值之和）最大化。

形式上，我们需要最大化以下表达式的值：

(weight[l] + weight[l+1] + ... + weight[r]) - (nums[l] + nums[l+1] + ... + nums[r])

其中 1 <= l <= r <= n。

示例：

输入：
nums =   [3,  -2,   5,  -1]
weight = [2,   1,   4,  -3]

输出：
4
解释：
选择子数组 nums[2...3] 即 [-2, 5]。
权重和 = weight[1] + weight[2] = 1 + 4 = 5  (注意：索引通常从0开始，这里为表述方便用1-based)
元素和 = nums[1] + nums[2] = (-2) + 5 = 3
目标值 = 5 - 3 = 2。

但最佳选择是子数组 nums[0...2] 即 [3, -2, 5]。
权重和 = 2 + 1 + 4 = 7
元素和 = 3 + (-2) + 5 = 6
目标值 = 7 - 6 = 1。这个似乎不是最大？等一下，我们再看。

实际上，最佳选择是子数组 nums[2] 即 [5] 本身。
权重和 = 4
元素和 = 5
目标值 = 4 - 5 = -1。这更小。

让我们重新计算：对于子数组 nums[1...2] (即索引0和1) [3, -2]：
权重和 = 2 + 1 = 3
元素和 = 3 + (-2) = 1
目标值 = 3 - 1 = 2。

但答案输出是4，这意味着存在更好的选择。子数组 nums[2] 即 [5] 并不好。
等等，我给出的示例可能有问题。让我们重新设定一个清晰的示例。

为了避免混淆，让我们定义更清晰的示例。

清晰示例：

输入：
nums   = [1, 2, -3, 4]
weight = [0, 3,  2, 1]

我们需要计算对于每个子数组 (weight_sum - num_sum) 的最大值。
- 子数组 [1]: (0) - (1) = -1
- 子数组 [2]: (3) - (2) = 1
- 子数组 [-3]: (2) - (-3) = 5
- 子数组 [4]: (1) - (4) = -3
- 子数组 [1,2]: (0+3) - (1+2) = 3 - 3 = 0
- 子数组 [2,-3]: (3+2) - (2 + (-3)) = 5 - (-1) = 6
- 子数组 [-3,4]: (2+1) - ((-3)+4) = 3 - 1 = 2
- 子数组 [1,2,-3]: (0+3+2) - (1+2+(-3)) = 5 - 0 = 5
- 子数组 [2,-3,4]: (3+2+1) - (2+(-3)+4) = 6 - 3 = 3
- 子数组 [1,2,-3,4]: (0+3+2+1) - (1+2+(-3)+4) = 6 - 4 = 2

最大值是6，对应子数组 [2, -3]（索引1到2，0-based）。

所以，对于这个输入，正确答案应该是 6。

解题思路

这是一个经典的线性动态规划（Linear DP） 问题，可以看作是最大子段和（Maximum Subarray Sum） 问题的一个变种。

1. 问题转化：
   定义一个新数组 diff，其中 diff[i] = weight[i] - nums[i]。
   那么，对于任意子数组 [l...r]，我们要最大化的目标表达式就变成了：
   diff[l] + diff[l+1] + ... + diff[r]。
   这恰好就是数组 diff 的最大子段和问题！

2. 核心洞察：
   原问题被完美转化为：寻找新数组 diff 的最大子段和。
   最大子段和问题有一个著名的 Kadane算法，可以在 O(n) 时间内用动态规划解决。

3. Kadane算法（动态规划）：
   设 dp[i] 表示：以第 i 个元素（diff[i]）结尾的所有连续子数组中，最大的子段和是多少。

   • 状态转移方程：dp[i] = max(diff[i], dp[i-1] + diff[i])
     • 意思是，对于以 i 结尾的子数组，要么我只取 diff[i] 自己作为一个新子数组的开始，要么我把它接到以 i-1 结尾的最佳子数组后面。
   • 初始状态：dp[0] = diff[0]（数组索引从0开始）。
   • 我们最终要的答案不是 dp[n-1]，而是所有 dp[i] 中的最大值，因为最大子段可能以任何位置结尾。

4. 空间优化：
   由于 dp[i] 只依赖于 dp[i-1]，我们可以只用两个变量（或一个）来迭代，将空间复杂度从 O(n) 降为 O(1)。

详细解题步骤

我们一步步来，使用上面清晰的例子：nums = [1, 2, -3, 4], weight = [0, 3, 2, 1]。

步骤1：构造 diff 数组
计算 diff[i] = weight[i] - nums[i]。

• i=0: diff[0] = 0 - 1 = -1
• i=1: diff[1] = 3 - 2 = 1
• i=2: diff[2] = 2 - (-3) = 5
• i=3: diff[3] = 1 - 4 = -3
  所以，diff = [-1, 1, 5, -3]。

步骤2：应用Kadane算法找 diff 的最大子段和

• 初始化：current_max = diff[0] = -1，global_max = current_max = -1。
• 遍历 i 从 1 到 3：
  • i=1 (diff[1]=1):
    current_max = max(diff[1], current_max + diff[1]) = max(1, -1+1) = max(1, 0) = 1
global_max = max(global_max, current_max) = max(-1, 1) = 1
  • i=2 (diff[2]=5):
    current_max = max(5, 1+5) = max(5, 6) = 6
global_max = max(1, 6) = 6
  • i=3 (diff[3]=-3):
    current_max = max(-3, 6 + (-3)) = max(-3, 3) = 3
global_max = max(6, 3) = 6

步骤3：得到答案
diff 数组的最大子段和是 6，这就是原问题的解。

验证：这个最大子段和 6 对应的子数组是 diff[1] + diff[2] = 1 + 5 = 6，即原数组的 nums[1...2] = [2, -3]。与我们之前手动枚举的结果一致。

边界情况与注意事项

1. 空子数组：题目要求非空连续子数组，所以我们的算法从第一个元素开始初始化是合理的。如果允许空子数组（和为0），则初始化 current_max = 0, global_max = 0，并在遍历中考虑。
2. 全负数：如果所有 diff[i] 都是负数，Kadane算法仍然有效，它会找到最大的那个负数（即绝对值最小的负数），对应原问题中“损失最小”的那个单元素子数组。
3. 时间复杂度：O(n)，我们只遍历了一次数组。
4. 空间复杂度：O(1)，只用了常数个额外变量。

最终代码框架（Python）

def max_weighted_subarray_sum(nums, weight):
    n = len(nums)
    if n == 0:
        return 0 # 根据题意，可能返回0或负无穷，这里假设返回0

    # 初始化：以第一个元素结尾的最大和
    current_max = weight[0] - nums[0]
    global_max = current_max

    for i in range(1, n):
        diff_i = weight[i] - nums[i]
        # 状态转移：要么从i开始新的一段，要么接上前面的一段
        current_max = max(diff_i, current_max + diff_i)
        # 更新全局最大值
        global_max = max(global_max, current_max)

    return global_max

# 测试示例
nums = [1, 2, -3, 4]
weight = [0, 3, 2, 1]
print(max_weighted_subarray_sum(nums, weight)) # 输出: 6

这个问题的核心在于通过定义 diff 数组，将原问题的复杂目标（权重和减元素和）巧妙地转化为一个标准的最大子段和问题，从而可以用高效的线性动态规划（Kadane算法）解决。