非线性规划中的序列内点反射信赖域混合算法进阶题
字数 3009 2025-12-11 07:56:55

非线性规划中的序列内点反射信赖域混合算法进阶题

题目描述：
考虑以下带有非线性不等式约束的优化问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m, \end{aligned} \]

其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和 \(c_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 均为二次连续可微函数，且可行域 \(\Omega = \{x \mid c_i(x) \leq 0\}\) 的内部非空。设计一种序列内点反射信赖域混合算法，该算法将内点法的屏障思想、反射技术（用于处理约束边界）和自适应信赖域策略相结合，在每步迭代中求解一个带屏障项的近似子问题，并通过反射操作保证迭代点始终严格可行。要求详细说明算法框架、子问题构造、反射机制、信赖域调整以及收敛性保证的关键步骤。

解题过程循序渐进讲解：

步骤1：内点屏障函数构造
内点法的核心是使用屏障函数将约束问题转化为一系列无约束问题。对于不等式约束 \(c_i(x) \leq 0\)，定义对数屏障函数：

\[B(x, \mu) = f(x) - \mu \sum_{i=1}^m \ln(-c_i(x)), \]

其中 \(\mu > 0\) 是屏障参数。屏障项 \(-\ln(-c_i(x))\) 在 \(c_i(x) \to 0^-\) 时趋于无穷大，从而阻止迭代点越过约束边界。随着 \(\mu \to 0\)，屏障问题的最优解逼近原问题的最优解。

步骤2：序列屏障子问题与线性化
算法生成序列 \(\{\mu_k\} \to 0\)，在第 \(k\) 步求解子问题：

\[\min_{x} B(x, \mu_k). \]

但直接最小化 \(B(x, \mu_k)\) 仍然困难。我们采用信赖域思想：在当前迭代点 \(x_k\) 处，构建 \(B(x, \mu_k)\) 的二次模型（通过二阶泰勒展开）：

\[m_k(d) = B(x_k, \mu_k) + \nabla B(x_k, \mu_k)^\top d + \frac{1}{2} d^\top H_k d, \]

其中 \(H_k\) 是 \(B(x, \mu_k)\) 的Hessian近似或精确值。然后求解信赖域子问题：

\[\begin{aligned} \min_{d \in \mathbb{R}^n} \quad & m_k(d) \\ \text{s.t.} \quad & \|d\| \leq \Delta_k, \end{aligned} \]

其中 \(\Delta_k > 0\) 是信赖域半径。

步骤3：反射机制保证严格可行性
直接求解上述子问题得到的试探步 \(d_k\) 可能使新点 \(x_k + d_k\) 违反约束（即 \(c_i(x_k + d_k) > 0\)）。为此引入反射操作：

  • 若 \(c_i(x_k + d_k) \leq -\epsilon\)（\(\epsilon > 0\) 为小常数），则接受该点。
  • 否则，对违反约束的分量进行反射：沿 \(d_k\) 方向移动时，当碰到约束边界 \(c_i(x) = 0\) 时，将剩余步长沿边界切向方向反射，或简单折回。一种简化做法是定义反射算子 \(R(x)\)，使得 \(R(x_k + d_k)\) 严格可行（例如通过缩放步长或投影）。
    实际中，常采用内点法的自然属性：在屏障函数作用下，迭代点自动保持严格可行（因为屏障项在边界处值无穷大）。反射主要用于处理由于线性化误差导致的偶然越界。

步骤4：自适应信赖域调整
根据实际下降量与预测下降量的比值调整信赖域半径。定义：

\[\rho_k = \frac{B(x_k, \mu_k) - B(x_k + d_k, \mu_k)}{m_k(0) - m_k(d_k)}. \]

  • 若 \(\rho_k \geq \eta_1\)（例如 \(\eta_1 = 0.75\)），则接受步长 \(d_k\)，并扩大信赖域半径：\(\Delta_{k+1} = \gamma_1 \Delta_k\)（\(\gamma_1 > 1\)）。
  • 若 \(\rho_k \in [\eta_0, \eta_1)\)（例如 \(\eta_0 = 0.1\)），则接受步长但保持半径不变。
  • 若 \(\rho_k < \eta_0\)，则拒绝步长，缩小半径：\(\Delta_{k+1} = \gamma_0 \Delta_k\)（\(0 < \gamma_0 < 1\)），并重新求解子问题或进入屏障参数更新。

步骤5：屏障参数更新与迭代框架
算法交替进行屏障参数更新和信赖域求解：

  1. 初始化：选择 \(x_0\) 严格可行（即 \(c_i(x_0) < 0\)），初始屏障参数 \(\mu_0 > 0\)，初始信赖域半径 \(\Delta_0 > 0\)，设定常数 \(\sigma \in (0,1)\)（例如 \(\sigma = 0.2\)）。
  2. 对于 \(k = 0, 1, 2, \dots\)：
    • 内点屏障子问题求解：在当前 \(\mu_k\) 下，执行信赖域迭代直至满足精度（例如 \(\|\nabla B(x, \mu_k)\| \leq \tau \mu_k\)）。
    • 屏障参数更新：当子问题近似解 \(x_{k+1}\) 满足收敛条件时，减小屏障参数：\(\mu_{k+1} = \sigma \mu_k\)。
    • 反射与可行性维护：若某步导致 \(c_i(x) \geq 0\)，则启动反射算子调整迭代点。
  3. 停止准则：当 \(\mu_k\) 小于给定阈值且约束违反度足够小时停止。

步骤6：收敛性关键点
算法的收敛性依赖于：

  • 屏障参数序列 \(\mu_k \to 0\) 且子问题求解足够精确。
  • 信赖域模型 \(m_k(d)\) 在信赖域内是 \(B(x, \mu_k)\) 的合理近似，确保实际下降量与预测下降量比值稳定。
  • 反射操作不影响迭代点的收敛性质，通常要求反射算子是局部非扩张的。
  • 最终迭代点满足 KKT 条件（一阶必要性条件）：存在乘子 \(\lambda_i \geq 0\) 使得

\[ \nabla f(x^*) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \nabla c_i(x^*) = 0, \quad \lambda_i c_i(x^*) = 0. \]

屏障法的理论保证在适当条件下（如约束规范、函数凸性）全局收敛到局部最优解。

总结： 本算法融合了内点法、信赖域法和反射技术，通过序列屏障子问题逼近原问题，信赖域控制步长可靠性，反射机制维持严格可行性。实际应用中需仔细调节屏障参数衰减率、信赖域半径和反射策略，以平衡收敛速度和数值稳定性。

非线性规划中的序列内点反射信赖域混合算法进阶题 题目描述： 考虑以下带有非线性不等式约束的优化问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m, \end{aligned} \] 其中 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 和 \( c_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 均为二次连续可微函数，且可行域 \(\Omega = \{x \mid c_ i(x) \leq 0\}\) 的内部非空。设计一种序列内点反射信赖域混合算法，该算法将内点法的屏障思想、反射技术（用于处理约束边界）和自适应信赖域策略相结合，在每步迭代中求解一个带屏障项的近似子问题，并通过反射操作保证迭代点始终严格可行。要求详细说明算法框架、子问题构造、反射机制、信赖域调整以及收敛性保证的关键步骤。 解题过程循序渐进讲解： 步骤1：内点屏障函数构造 内点法的核心是使用屏障函数将约束问题转化为一系列无约束问题。对于不等式约束 \( c_ i(x) \leq 0 \)，定义对数屏障函数： \[ B(x, \mu) = f(x) - \mu \sum_ {i=1}^m \ln(-c_ i(x)), \] 其中 \(\mu > 0\) 是屏障参数。屏障项 \(-\ln(-c_ i(x))\) 在 \(c_ i(x) \to 0^-\) 时趋于无穷大，从而阻止迭代点越过约束边界。随着 \(\mu \to 0\)，屏障问题的最优解逼近原问题的最优解。 步骤2：序列屏障子问题与线性化 算法生成序列 \(\{\mu_ k\} \to 0\)，在第 \(k\) 步求解子问题： \[ \min_ {x} B(x, \mu_ k). \] 但直接最小化 \(B(x, \mu_ k)\) 仍然困难。我们采用信赖域思想：在当前迭代点 \(x_ k\) 处，构建 \(B(x, \mu_ k)\) 的二次模型（通过二阶泰勒展开）： \[ m_ k(d) = B(x_ k, \mu_ k) + \nabla B(x_ k, \mu_ k)^\top d + \frac{1}{2} d^\top H_ k d, \] 其中 \(H_ k\) 是 \(B(x, \mu_ k)\) 的Hessian近似或精确值。然后求解信赖域子问题： \[ \begin{aligned} \min_ {d \in \mathbb{R}^n} \quad & m_ k(d) \\ \text{s.t.} \quad & \|d\| \leq \Delta_ k, \end{aligned} \] 其中 \(\Delta_ k > 0\) 是信赖域半径。 步骤3：反射机制保证严格可行性 直接求解上述子问题得到的试探步 \(d_ k\) 可能使新点 \(x_ k + d_ k\) 违反约束（即 \(c_ i(x_ k + d_ k) > 0\)）。为此引入反射操作： 若 \(c_ i(x_ k + d_ k) \leq -\epsilon\)（\(\epsilon > 0\) 为小常数），则接受该点。 否则，对违反约束的分量进行反射：沿 \(d_ k\) 方向移动时，当碰到约束边界 \(c_ i(x) = 0\) 时，将剩余步长沿边界切向方向反射，或简单折回。一种简化做法是定义反射算子 \(R(x)\)，使得 \(R(x_ k + d_ k)\) 严格可行（例如通过缩放步长或投影）。 实际中，常采用内点法的自然属性：在屏障函数作用下，迭代点自动保持严格可行（因为屏障项在边界处值无穷大）。反射主要用于处理由于线性化误差导致的偶然越界。 步骤4：自适应信赖域调整 根据实际下降量与预测下降量的比值调整信赖域半径。定义： \[ \rho_ k = \frac{B(x_ k, \mu_ k) - B(x_ k + d_ k, \mu_ k)}{m_ k(0) - m_ k(d_ k)}. \] 若 \(\rho_ k \geq \eta_ 1\)（例如 \(\eta_ 1 = 0.75\)），则接受步长 \(d_ k\)，并扩大信赖域半径：\(\Delta_ {k+1} = \gamma_ 1 \Delta_ k\)（\(\gamma_ 1 > 1\)）。 若 \(\rho_ k \in [ \eta_ 0, \eta_ 1)\)（例如 \(\eta_ 0 = 0.1\)），则接受步长但保持半径不变。 若 \(\rho_ k < \eta_ 0\)，则拒绝步长，缩小半径：\(\Delta_ {k+1} = \gamma_ 0 \Delta_ k\)（\(0 < \gamma_ 0 < 1\)），并重新求解子问题或进入屏障参数更新。 步骤5：屏障参数更新与迭代框架 算法交替进行屏障参数更新和信赖域求解： 初始化：选择 \(x_ 0\) 严格可行（即 \(c_ i(x_ 0) < 0\)），初始屏障参数 \(\mu_ 0 > 0\)，初始信赖域半径 \(\Delta_ 0 > 0\)，设定常数 \(\sigma \in (0,1)\)（例如 \(\sigma = 0.2\)）。 对于 \(k = 0, 1, 2, \dots\)： 内点屏障子问题求解 ：在当前 \(\mu_ k\) 下，执行信赖域迭代直至满足精度（例如 \(\|\nabla B(x, \mu_ k)\| \leq \tau \mu_ k\)）。 屏障参数更新 ：当子问题近似解 \(x_ {k+1}\) 满足收敛条件时，减小屏障参数：\(\mu_ {k+1} = \sigma \mu_ k\)。 反射与可行性维护 ：若某步导致 \(c_ i(x) \geq 0\)，则启动反射算子调整迭代点。 停止准则：当 \(\mu_ k\) 小于给定阈值且约束违反度足够小时停止。 步骤6：收敛性关键点 算法的收敛性依赖于： 屏障参数序列 \(\mu_ k \to 0\) 且子问题求解足够精确。 信赖域模型 \(m_ k(d)\) 在信赖域内是 \(B(x, \mu_ k)\) 的合理近似，确保实际下降量与预测下降量比值稳定。 反射操作不影响迭代点的收敛性质，通常要求反射算子是局部非扩张的。 最终迭代点满足 KKT 条件（一阶必要性条件）：存在乘子 \(\lambda_ i \geq 0\) 使得 \[ \nabla f(x^ ) + \sum_ {i=1}^m \lambda_ i \nabla c_ i(x^ ) = 0, \quad \lambda_ i c_ i(x^* ) = 0. \] 屏障法的理论保证在适当条件下（如约束规范、函数凸性）全局收敛到局部最优解。 总结： 本算法融合了内点法、信赖域法和反射技术，通过序列屏障子问题逼近原问题，信赖域控制步长可靠性，反射机制维持严格可行性。实际应用中需仔细调节屏障参数衰减率、信赖域半径和反射策略，以平衡收敛速度和数值稳定性。