非线性规划中的内点反射信赖域-序列二次规划混合算法进阶题

字数 7956 2025-12-11 07:07:21

非线性规划中的内点反射信赖域-序列二次规划混合算法进阶题

好的，我们先来看今天这道进阶题的核心：如何将内点反射机制与信赖域框架下的序列二次规划（SQP）算法相结合，以高效求解带有复杂非线性约束的优化问题。

题目描述

考虑以下一般形式的非线性规划（NLP）问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_i(x) \ge 0, \quad i \in \mathcal{I}, \end{aligned} \]

其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和 \(c_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是二阶连续可微函数，\(\mathcal{E}\) 和 \(\mathcal{I}\) 分别表示等式和不等式约束的指标集。

本题的任务是：
设计并阐述一种“内点反射信赖域-序列二次规划”（Interior-Point Reflection Trust-Region SQP, IPR-TR-SQP）混合算法。该算法需要融合以下三个核心思想：

序列二次规划（SQP）框架：在每一步迭代，构建一个局部二次规划（QP）子问题来近似原问题。
内点反射（Interior-Point Reflection）机制：处理不等式约束时，引入障碍函数或对数壁垒项，并利用反射技巧将迭代点拉回可行域内部，严格保持不等式约束的可行性。
信赖域（Trust Region）框架：通过信赖域半径控制子问题（QP）的搜索范围，确保模型（二次近似）的可靠性，从而保证全局收敛性。

最终，你需要清晰地阐述该混合算法的迭代步骤、子问题的构建、内点反射的实现方式、信赖域半径的调整策略，以及整体的收敛性思路。

解题过程详解

为了让这个复杂的混合算法变得清晰易懂，我将分解为以下几个关键步骤来讲解。

第一步：理解算法的核心逻辑与目标

在标准SQP算法中，我们在当前迭代点 \(x_k\) 处，基于拉格朗日函数和约束的线性近似，构建一个QP子问题，求出搜索方向 \(d_k\)。然而，这个方向可能直接指向或穿越约束边界，导致不可行点。

我们的混合算法目标：

可行性保障：对于不等式约束，我们希望迭代点始终保持在严格内点（即 \(c_i(x) > 0\)）。这可以利用内点法（如障碍函数法）的思想。
全局收敛性：信赖域方法通过限制步长，即使模型在最坏情况下不精确，也能保证算法最终收敛到一个稳定点。
反射机制：当QP子问题建议的步长会使迭代点违反内点条件（即触碰或越过约束边界）时，我们不直接拒绝，而是“反射”回来，类似于光线在边界上的反射，这有助于沿边界有效探索。

因此，IPR-TR-SQP的核心循环是：在信赖域内求解一个结合了内点惩罚的QP子问题，获得试探步长，然后通过反射和回溯线搜索确保新迭代点严格可行且目标函数充分下降。

第二步：构建结合内点惩罚的拉格朗日函数

为了融入内点思想，我们为不等式约束引入对数壁垒项（Barrier Term）。定义 障碍函数 \(\phi(x)\) 为：

\[\phi(x) = -\sum_{i \in \mathcal{I}} \ln(c_i(x)). \]

这个函数在可行域内部（\(c_i(x) > 0\)）有定义，且当点接近边界（\(c_i(x) \to 0^+\)）时， \(\phi(x) \to +\infty\)，从而在数值上阻止迭代点越界。

现在，我们构造一个惩罚参数为 \(\mu > 0\) 的增广拉格朗日障碍函数：

\[\mathcal{L}_{\mu}(x, \lambda) = f(x) + \mu \phi(x) + \sum_{i \in \mathcal{E}} \lambda_i c_i(x). \]

其中，\(\lambda_i\) 是对应于等式约束的拉格朗日乘子估计。这里的 \(\mu\) 是一个逐步减小的参数，随着迭代进行， \(\mu \to 0\)，使得障碍函数的影响逐渐减弱，最终收敛到原问题的最优解。

为什么是“增广”的？ 因为我们把等式约束的拉格朗日项和不等式约束的对数障碍项结合在了一起，同时处理了两种约束。

第三步：在信赖域框架下构建QP子问题

在当前迭代点 \(x_k\) 和乘子估计 \(\lambda_k\) 处，我们对函数 \(\mathcal{L}_{\mu}(x, \lambda_k)\) 和约束进行近似，构建一个信赖域QP子问题。

首先，计算一阶和二阶导数信息：

目标函数的梯度： \(g_k = \nabla f(x_k)\)
等式约束的雅可比矩阵： \(A_k^{\mathcal{E}} = [\nabla c_i(x_k)]_{i \in \mathcal{E}}\)
不等式约束的雅可比矩阵： \(A_k^{\mathcal{I}} = [\nabla c_i(x_k)]_{i \in \mathcal{I}}\)
关于 \(x\) 的拉格朗日函数 Hessian 近似 \(H_k\)。注意，这里 Hessian 是针对完整拉格朗日函数 \(L(x, \lambda) = f(x) + \lambda^T c(x)\) 的近似。对于内点法，通常使用原-对偶Hessian或者精确计算。为简化，我们通常用拟牛顿法（如BFGS）来近似 \(H_k\)，使其满足拟牛顿方程。

关键点：障碍函数梯度的处理
障碍函数 \(\mu \phi(x)\) 在 \(x_k\) 处的梯度为：

\[\nabla (\mu \phi(x_k)) = -\mu \sum_{i \in \mathcal{I}} \frac{1}{c_i(x_k)} \nabla c_i(x_k) = -A_k^{\mathcal{I}^T} (\mu \cdot \text{diag}(1/c_i(x_k)) \cdot \mathbf{1}). \]

我们可以定义一个 障碍参数向量 \(z_k^{\mathcal{I}}\)，其中分量 \(z_{k,i} = \mu / c_i(x_k)\)（这本质上是近似的不等式乘子，且 \(z_{k,i} > 0\)）。那么，障碍函数梯度可以写为 \(-A_k^{\mathcal{I}^T} z_k^{\mathcal{I}}\)。

于是，完整的 QP子问题目标函数的梯度 为：

\[\nabla_x \mathcal{L}_{\mu}(x_k, \lambda_k^{\mathcal{E}}) \approx g_k - A_k^{\mathcal{I}^T} z_k^{\mathcal{I}} + A_k^{\mathcal{E}^T} \lambda_k^{\mathcal{E}}. \]

为了构建一个标准的QP形式，我们将其视为一个 关于搜索方向 \(d\) 的二次模型。

最终的信赖域QP子问题 如下：

\[\begin{aligned} \min_{d \in \mathbb{R}^n} \quad & q_k(d) := \frac{1}{2} d^T H_k d + (g_k - A_k^{\mathcal{I}^T} z_k^{\mathcal{I}} + A_k^{\mathcal{E}^T} \lambda_k^{\mathcal{E}})^T d \\ \text{s.t.} \quad & A_k^{\mathcal{E}} d + c^{\mathcal{E}}(x_k) = 0, \quad \text{(线性化等式约束)} \\ & A_k^{\mathcal{I}} d + c^{\mathcal{I}}(x_k) \ge 0, \quad \text{(线性化不等式约束，确保内点可行性)} \\ & \|d\| \le \Delta_k, \quad \text{(信赖域约束)} \end{aligned} \]

说明：

子问题的目标 \(q_k(d)\) 是增广拉格朗日障碍函数在当前点的二阶近似。
线性化的等式和不等式约束确保了在当前信赖域内，新点 \(x_k + d\) 在模型层面满足约束。
信赖域约束 \(\|d\| \le \Delta_k\) 是保证模型有效性的关键。
子问题中的 \(z_k^{\mathcal{I}} > 0\) 起到了双重作用：1) 它来自障碍函数，驱动迭代点远离边界；2) 它也可以被视为不等式约束乘子的当前估计，使得QP子问题更接近原问题的KKT条件。

第四步：内点反射机制

求解上述QP子问题后，我们得到试探方向 \(d_k\)。然而，由于模型是线性的，即使QP解满足线性化约束 \(A_k^{\mathcal{I}} d + c^{\mathcal{I}}(x_k) \ge 0\)，实际的非线性约束 \(c_i(x_k + d)\) 仍可能为负（违反内点可行性）。

反射机制的作用：当发现试探步 \(d_k\) 可能导致 \(c_i(x_k + \alpha d_k) < \tau\)（其中 \(\tau\) 是一个小的正阈值，比如 \(10^{-6}\) ）时，我们不是直接缩短步长，而是计算一个“反射步”。

反射步的计算：

找出最“活跃”的不等式约束，即使得 \(c_i(x_k) / |\nabla c_i(x_k)^T d_k|\) 最小的约束（这代表沿方向 \(d_k\) 最快碰到的边界）。
假设该约束的指标为 \(j\)。我们计算一个反射系数 \(\beta\)：

\[ \beta = \frac{c_j(x_k)}{-\nabla c_j(x_k)^T d_k} \quad (\text{如果 } \nabla c_j(x_k)^T d_k < 0)。 \]

这个 $ \beta $ 是使得在线性近似下，从 $ x_k $ 出发沿 $ d_k $ 刚好到达约束边界 $ c_j(x)=0 $ 的步长。

计算反射方向 \(d_k^{\text{ref}}\)：

\[ d_k^{\text{ref}} = d_k - 2(\nabla c_j(x_k)^T d_k) \cdot \frac{\nabla c_j(x_k)}{\|\nabla c_j(x_k)\|^2}. \]

这个公式类似于镜面反射，它使得反射后的方向 $ d_k^{\text{ref}} $ 在约束边界法向量 $ \nabla c_j $ 方向上的分量符号相反，从而将搜索方向“弹回”可行域内部。

新的试探方向变为 \(d_k^{\text{new}} = \beta d_k + (1-\beta) d_k^{\text{ref}}\)，或者更简单地，我们直接用 \(d_k^{\text{ref}}\) 作为新的搜索方向，并在一个缩短的步长（例如，乘以一个因子如0.5）下进行尝试。

反射机制的意义：它允许算法“感知”到边界的存在，并利用边界的信息调整搜索方向，而不是盲目地缩减步长。这在可行域边界形状复杂时，能更有效地沿着边界前进。

第五步：信赖域半径更新与迭代接受准则

我们得到了一个经过反射机制调整的、能保证非线性内点可行性的试探点 \(x_k^+ = x_k + d_k\)（这里的 \(d_k\) 可能是原方向，也可能是反射调整后的方向）。

接下来，我们需要决定是否接受这个试探点，并更新信赖域半径 \(\Delta_k\)。这是信赖域方法的标准流程：

计算实际下降量与预测下降量的比值：

\[ \rho_k = \frac{\text{Actual Reduction}}{\text{Predicted Reduction}} = \frac{\mathcal{L}_{\mu}(x_k, \lambda_k) - \mathcal{L}_{\mu}(x_k^+, \lambda_k)}{q_k(0) - q_k(d_k)}. \]

这里，实际下降量是障碍函数（含惩罚参数μ）的真实减少量，预测下降量是QP模型预测的减少量。

根据比值 \(\rho_k\) 更新信赖域半径和迭代点：
- 成功迭代（\(\rho_k\) 较大）：如果 \(\rho_k > \eta_1\)（例如 \(\eta_1 = 0.01\)），说明模型匹配良好。接受试探点 \(x_{k+1} = x_k^+\)。如果 \(\rho_k > \eta_2\)（例如 \(\eta_2 = 0.75\)），说明模型非常好，可以尝试更大步长，因此放大信赖域半径： \(\Delta_{k+1} = \gamma_1 \Delta_k\)（例如 \(\gamma_1 = 2\)）。否则，保持半径不变。
- 失败迭代（\(\rho_k\) 较小）：如果 \(\rho_k \le \eta_1\)，说明模型预测很差。拒绝试探点，保持 \(x_{k+1} = x_k\)。同时，缩小信赖域半径以改进模型近似精度： \(\Delta_{k+1} = \gamma_2 \Delta_k\)（例如 \(\gamma_2 = 0.5\)）。
更新乘子和障碍参数：
- 乘子更新：从求解QP子问题可以得到对应的拉格朗日乘子估计 \(\lambda_k^{\mathcal{E}, \text{QP}}\) 和 \(z_k^{\mathcal{I}, \text{QP}}\)。我们可以用这些值来更新 \(\lambda_{k+1}^{\mathcal{E}}\) 和 \(z_{k+1}^{\mathcal{I}}\)，例如采用简单的复制： \(\lambda_{k+1}^{\mathcal{E}} = \lambda_k^{\mathcal{E}, \text{QP}}\)， \(z_{k+1}^{\mathcal{I}} = z_k^{\mathcal{I}, \text{QP}}\)。
- 障碍参数更新：每隔若干次成功迭代，或者当KKT误差足够小时，减小障碍参数 \(\mu\)，例如 \(\mu_{\text{new}} = \sigma \mu_{\text{old}}\)，其中 \(\sigma \in (0, 1)\)，如0.1。这使算法逐渐逼近原问题的最优解。

第六步：算法伪代码与收敛性

综合以上步骤，IPR-TR-SQP算法的伪代码框架如下：

初始化：给定初始内点 \(x_0\)（满足 \(c_i(x_0)>0\)），初始乘子估计 \(\lambda_0\)，初始障碍参数 \(\mu_0 > 0\)，初始信赖域半径 \(\Delta_0 > 0\)，参数 \(0 < \eta_1 < \eta_2 < 1\)， \(0 < \gamma_2 < 1 < \gamma_1\)，收敛容差 \(\epsilon > 0\)。设 \(k = 0\)。
循环（直到满足收敛条件）：
a. 构建子问题：在当前点 \(x_k\)，计算 \(g_k, A_k^{\mathcal{E}}, A_k^{\mathcal{I}}\)，用拟牛顿法更新 \(H_k\)，计算障碍梯度项 \(z_k^{\mathcal{I}} = \mu / c^{\mathcal{I}}(x_k)\)。
b. 求解QP：求解信赖域QP子问题（第三步中的公式），得到搜索方向 \(d_k\) 和对应的QP乘子。
c. 反射处理：检查 \(d_k\) 是否会导致严重违反内点可行性。如果是，应用第四步的反射机制，得到修正方向 \(\tilde{d}_k\)。
d. 尝试迭代：设试探点 \(x_k^+ = x_k + \tilde{d}_k\)。
e. 计算比率：计算实际下降与预测下降的比率 \(\rho_k\)。
f. 信赖域更新：根据第五步的规则，更新迭代点 \(x_{k+1}\) 和信赖域半径 \(\Delta_{k+1}\)。
g. 更新乘子和障碍参数：
- 如果迭代被接受，更新拉格朗日乘子估计。
- 如果满足条件（如KKT误差小于 \(\mu_k\)），则更新 \(\mu_{k+1} = \sigma \mu_k\)；否则 \(\mu_{k+1} = \mu_k\)。
h. \(k = k + 1\)。
收敛判断：当 \(\| \nabla_x \mathcal{L}_{\mu}(x_k, \lambda_k) \| < \epsilon\)，且约束违反度 \(\| c(x_k) \|\) 和互补间隙 \(\mu_k\) 都足够小时，停止迭代。

收敛性思路：

该混合算法继承了信赖域SQP的强全局收敛性。即使在模型不精确时，信赖域机制也能保证产生一个使价值函数（这里是 \(\mathcal{L}_{\mu}\) ）充分下降的迭代序列。
内点反射机制 本身不破坏收敛性，因为它只是在试探步可能导致不可行时，产生一个在范数意义上与原方向相近、但可行性更好的替代方向。在收敛分析中，可以证明反射步在极限情况下不会干扰到KKT条件的满足。
障碍参数 \(\mu \to 0\) 的过程，结合SQP框架，保证了迭代点最终逼近原问题的KKT点。从数值上看，当 \(\mu\) 很小时，障碍函数项的影响很小，增广拉格朗日障碍函数 \(\mathcal{L}_{\mu}\) 的驻点就近似于原拉格朗日函数的驻点。

总结

通过以上六个步骤，我们完成了一个 “内点反射信赖域-序列二次规划”（IPR-TR-SQP）混合算法 的构建与阐述。它的创新性和优势在于：

可行性：通过内点法思想和对数障碍，严格保持不等式约束的可行性。
鲁棒性：通过信赖域框架，即使在远离解或模型不精确时，也能保证稳定收敛。
高效性：通过反射机制，能够更智能地处理边界，避免因反复缩减步长而导致的效率低下，尤其适用于最优解位于约束边界的问题。

这个算法可以视为求解大规模、非线性、含不等式约束优化问题的一个强大而稳健的工具。

非线性规划中的内点反射信赖域-序列二次规划混合算法进阶题好的，我们先来看今天这道进阶题的核心：如何将内点反射机制与信赖域框架下的序列二次规划（SQP）算法相结合，以高效求解带有复杂非线性约束的优化问题。题目描述考虑以下一般形式的非线性规划（NLP）问题： \[ \begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_ i(x) \ge 0, \quad i \in \mathcal{I}, \end{aligned} \] 其中 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 和 \( c_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 是二阶连续可微函数，\( \mathcal{E} \) 和 \( \mathcal{I} \) 分别表示等式和不等式约束的指标集。本题的任务是：设计并阐述一种“内点反射信赖域-序列二次规划”（Interior-Point Reflection Trust-Region SQP, IPR-TR-SQP）混合算法。该算法需要融合以下三个核心思想：序列二次规划（SQP）框架：在每一步迭代，构建一个局部二次规划（QP）子问题来近似原问题。内点反射（Interior-Point Reflection）机制：处理不等式约束时，引入障碍函数或对数壁垒项，并利用反射技巧将迭代点拉回可行域内部，严格保持不等式约束的可行性。信赖域（Trust Region）框架：通过信赖域半径控制子问题（QP）的搜索范围，确保模型（二次近似）的可靠性，从而保证全局收敛性。最终，你需要清晰地阐述该混合算法的迭代步骤、子问题的构建、内点反射的实现方式、信赖域半径的调整策略，以及整体的收敛性思路。解题过程详解为了让这个复杂的混合算法变得清晰易懂，我将分解为以下几个关键步骤来讲解。第一步：理解算法的核心逻辑与目标在标准SQP算法中，我们在当前迭代点 \( x_ k \) 处，基于拉格朗日函数和约束的线性近似，构建一个QP子问题，求出搜索方向 \( d_ k \)。然而，这个方向可能直接指向或穿越约束边界，导致不可行点。我们的混合算法目标：可行性保障：对于不等式约束，我们希望迭代点始终保持在严格内点（即 \( c_ i(x) > 0 \)）。这可以利用内点法（如障碍函数法）的思想。全局收敛性：信赖域方法通过限制步长，即使模型在最坏情况下不精确，也能保证算法最终收敛到一个稳定点。反射机制：当QP子问题建议的步长会使迭代点违反内点条件（即触碰或越过约束边界）时，我们不直接拒绝，而是“反射”回来，类似于光线在边界上的反射，这有助于沿边界有效探索。因此， IPR-TR-SQP 的核心循环是：在信赖域内求解一个结合了内点惩罚的QP子问题，获得试探步长，然后通过反射和回溯线搜索确保新迭代点严格可行且目标函数充分下降。第二步：构建结合内点惩罚的拉格朗日函数为了融入内点思想，我们为不等式约束引入对数壁垒项（Barrier Term）。定义障碍函数 \(\phi(x)\) 为： \[ \phi(x) = -\sum_ {i \in \mathcal{I}} \ln(c_ i(x)). \] 这个函数在可行域内部（\( c_ i(x) > 0 \)）有定义，且当点接近边界（\( c_ i(x) \to 0^+ \)）时， \(\phi(x) \to +\infty\)，从而在数值上阻止迭代点越界。现在，我们构造一个惩罚参数为 \(\mu > 0\) 的增广拉格朗日障碍函数： \[ \mathcal{L} {\mu}(x, \lambda) = f(x) + \mu \phi(x) + \sum {i \in \mathcal{E}} \lambda_ i c_ i(x). \] 其中，\( \lambda_ i \) 是对应于等式约束的拉格朗日乘子估计。这里的 \(\mu\) 是一个逐步减小的参数，随着迭代进行， \(\mu \to 0\)，使得障碍函数的影响逐渐减弱，最终收敛到原问题的最优解。为什么是“增广”的？因为我们把等式约束的拉格朗日项和不等式约束的对数障碍项结合在了一起，同时处理了两种约束。第三步：在信赖域框架下构建QP子问题在当前迭代点 \( x_ k \) 和乘子估计 \( \lambda_ k \) 处，我们对函数 \( \mathcal{L}_ {\mu}(x, \lambda_ k) \) 和约束进行近似，构建一个信赖域QP子问题。首先，计算一阶和二阶导数信息：目标函数的梯度： \( g_ k = \nabla f(x_ k) \) 等式约束的雅可比矩阵： \( A_ k^{\mathcal{E}} = [ \nabla c_ i(x_ k)]_ {i \in \mathcal{E}} \) 不等式约束的雅可比矩阵： \( A_ k^{\mathcal{I}} = [ \nabla c_ i(x_ k)]_ {i \in \mathcal{I}} \) 关于 \( x \) 的拉格朗日函数 Hessian 近似 \( H_ k \)。注意，这里 Hessian 是针对完整拉格朗日函数 \( L(x, \lambda) = f(x) + \lambda^T c(x) \) 的近似。对于内点法，通常使用原-对偶Hessian或者精确计算。为简化，我们通常用拟牛顿法（如BFGS）来近似 \( H_ k \)，使其满足拟牛顿方程。关键点：障碍函数梯度的处理障碍函数 \(\mu \phi(x)\) 在 \( x_ k \) 处的梯度为： \[ \nabla (\mu \phi(x_ k)) = -\mu \sum_ {i \in \mathcal{I}} \frac{1}{c_ i(x_ k)} \nabla c_ i(x_ k) = -A_ k^{\mathcal{I}^T} (\mu \cdot \text{diag}(1/c_ i(x_ k)) \cdot \mathbf{1}). \] 我们可以定义一个障碍参数向量 \( z_ k^{\mathcal{I}} \)，其中分量 \( z_ {k,i} = \mu / c_ i(x_ k) \)（这本质上是近似的不等式乘子，且 \( z_ {k,i} > 0 \)）。那么，障碍函数梯度可以写为 \( -A_ k^{\mathcal{I}^T} z_ k^{\mathcal{I}} \)。于是，完整的 QP子问题目标函数的梯度为： \[ \nabla_ x \mathcal{L}_ {\mu}(x_ k, \lambda_ k^{\mathcal{E}}) \approx g_ k - A_ k^{\mathcal{I}^T} z_ k^{\mathcal{I}} + A_ k^{\mathcal{E}^T} \lambda_ k^{\mathcal{E}}. \] 为了构建一个标准的QP形式，我们将其视为一个关于搜索方向 \( d \) 的二次模型。最终的信赖域QP子问题如下： \[ \begin{aligned} \min_ {d \in \mathbb{R}^n} \quad & q_ k(d) := \frac{1}{2} d^T H_ k d + (g_ k - A_ k^{\mathcal{I}^T} z_ k^{\mathcal{I}} + A_ k^{\mathcal{E}^T} \lambda_ k^{\mathcal{E}})^T d \\ \text{s.t.} \quad & A_ k^{\mathcal{E}} d + c^{\mathcal{E}}(x_ k) = 0, \quad \text{(线性化等式约束)} \\ & A_ k^{\mathcal{I}} d + c^{\mathcal{I}}(x_ k) \ge 0, \quad \text{(线性化不等式约束，确保内点可行性)} \\ & \|d\| \le \Delta_ k, \quad \text{(信赖域约束)} \end{aligned} \] 说明：子问题的目标 \( q_ k(d) \) 是增广拉格朗日障碍函数在当前点的二阶近似。线性化的等式和不等式约束确保了在当前信赖域内，新点 \( x_ k + d \) 在模型层面满足约束。信赖域约束 \( \|d\| \le \Delta_ k \) 是保证模型有效性的关键。子问题中的 \( z_ k^{\mathcal{I}} > 0 \) 起到了双重作用：1) 它来自障碍函数，驱动迭代点远离边界；2) 它也可以被视为不等式约束乘子的当前估计，使得QP子问题更接近原问题的KKT条件。第四步：内点反射机制求解上述QP子问题后，我们得到试探方向 \( d_ k \)。然而，由于模型是线性的，即使QP解满足线性化约束 \( A_ k^{\mathcal{I}} d + c^{\mathcal{I}}(x_ k) \ge 0 \)，实际的非线性约束 \( c_ i(x_ k + d) \) 仍可能为负（违反内点可行性）。反射机制的作用：当发现试探步 \( d_ k \) 可能导致 \( c_ i(x_ k + \alpha d_ k) < \tau \)（其中 \( \tau \) 是一个小的正阈值，比如 \( 10^{-6} \) ）时，我们不是直接缩短步长，而是计算一个“反射步”。反射步的计算：找出最“活跃”的不等式约束，即使得 \( c_ i(x_ k) / |\nabla c_ i(x_ k)^T d_ k| \) 最小的约束（这代表沿方向 \( d_ k \) 最快碰到的边界）。假设该约束的指标为 \( j \)。我们计算一个反射系数 \( \beta \)： \[ \beta = \frac{c_ j(x_ k)}{-\nabla c_ j(x_ k)^T d_ k} \quad (\text{如果 } \nabla c_ j(x_ k)^T d_ k < 0)。 \] 这个 \( \beta \) 是使得在线性近似下，从 \( x_ k \) 出发沿 \( d_ k \) 刚好到达约束边界 \( c_ j(x)=0 \) 的步长。计算反射方向 \( d_ k^{\text{ref}} \)： \[ d_ k^{\text{ref}} = d_ k - 2(\nabla c_ j(x_ k)^T d_ k) \cdot \frac{\nabla c_ j(x_ k)}{\|\nabla c_ j(x_ k)\|^2}. \] 这个公式类似于镜面反射，它使得反射后的方向 \( d_ k^{\text{ref}} \) 在约束边界法向量 \( \nabla c_ j \) 方向上的分量符号相反，从而将搜索方向“弹回”可行域内部。新的试探方向变为 \( d_ k^{\text{new}} = \beta d_ k + (1-\beta) d_ k^{\text{ref}} \)，或者更简单地，我们直接用 \( d_ k^{\text{ref}} \) 作为新的搜索方向，并在一个缩短的步长（例如，乘以一个因子如0.5）下进行尝试。反射机制的意义：它允许算法“感知”到边界的存在，并利用边界的信息调整搜索方向，而不是盲目地缩减步长。这在可行域边界形状复杂时，能更有效地沿着边界前进。第五步：信赖域半径更新与迭代接受准则我们得到了一个经过反射机制调整的、能保证非线性内点可行性的试探点 \( x_ k^+ = x_ k + d_ k \)（这里的 \( d_ k \) 可能是原方向，也可能是反射调整后的方向）。接下来，我们需要决定是否接受这个试探点，并更新信赖域半径 \( \Delta_ k \)。这是信赖域方法的标准流程：计算实际下降量与预测下降量的比值： \[ \rho_ k = \frac{\text{Actual Reduction}}{\text{Predicted Reduction}} = \frac{\mathcal{L} {\mu}(x_ k, \lambda_ k) - \mathcal{L} {\mu}(x_ k^+, \lambda_ k)}{q_ k(0) - q_ k(d_ k)}. \] 这里，实际下降量是障碍函数（含惩罚参数μ）的真实减少量，预测下降量是QP模型预测的减少量。根据比值 \( \rho_ k \) 更新信赖域半径和迭代点：成功迭代（\( \rho_ k \) 较大）：如果 \( \rho_ k > \eta_ 1 \)（例如 \( \eta_ 1 = 0.01 \)），说明模型匹配良好。接受试探点 \( x_ {k+1} = x_ k^+ \)。如果 \( \rho_ k > \eta_ 2 \)（例如 \( \eta_ 2 = 0.75 \)），说明模型非常好，可以尝试更大步长，因此放大信赖域半径： \( \Delta_ {k+1} = \gamma_ 1 \Delta_ k \)（例如 \( \gamma_ 1 = 2 \)）。否则，保持半径不变。失败迭代（\( \rho_ k \) 较小）：如果 \( \rho_ k \le \eta_ 1 \)，说明模型预测很差。拒绝试探点，保持 \( x_ {k+1} = x_ k \)。同时，缩小信赖域半径以改进模型近似精度： \( \Delta_ {k+1} = \gamma_ 2 \Delta_ k \)（例如 \( \gamma_ 2 = 0.5 \)）。更新乘子和障碍参数：乘子更新：从求解QP子问题可以得到对应的拉格朗日乘子估计 \( \lambda_ k^{\mathcal{E}, \text{QP}} \) 和 \( z_ k^{\mathcal{I}, \text{QP}} \)。我们可以用这些值来更新 \( \lambda_ {k+1}^{\mathcal{E}} \) 和 \( z_ {k+1}^{\mathcal{I}} \)，例如采用简单的复制： \( \lambda_ {k+1}^{\mathcal{E}} = \lambda_ k^{\mathcal{E}, \text{QP}} \)， \( z_ {k+1}^{\mathcal{I}} = z_ k^{\mathcal{I}, \text{QP}} \)。障碍参数更新：每隔若干次成功迭代，或者当KKT误差足够小时，减小障碍参数 \( \mu \)，例如 \( \mu_ {\text{new}} = \sigma \mu_ {\text{old}} \)，其中 \( \sigma \in (0, 1) \)，如0.1。这使算法逐渐逼近原问题的最优解。第六步：算法伪代码与收敛性综合以上步骤，IPR-TR-SQP算法的伪代码框架如下：初始化：给定初始内点 \( x_ 0 \)（满足 \( c_ i(x_ 0)>0 \)），初始乘子估计 \( \lambda_ 0 \)，初始障碍参数 \( \mu_ 0 > 0 \)，初始信赖域半径 \( \Delta_ 0 > 0 \)，参数 \( 0 < \eta_ 1 < \eta_ 2 < 1 \)， \( 0 < \gamma_ 2 < 1 < \gamma_ 1 \)，收敛容差 \( \epsilon > 0 \)。设 \( k = 0 \)。循环（直到满足收敛条件）： a. 构建子问题：在当前点 \( x_ k \)，计算 \( g_ k, A_ k^{\mathcal{E}}, A_ k^{\mathcal{I}} \)，用拟牛顿法更新 \( H_ k \)，计算障碍梯度项 \( z_ k^{\mathcal{I}} = \mu / c^{\mathcal{I}}(x_ k) \)。 b. 求解QP ：求解信赖域QP子问题（第三步中的公式），得到搜索方向 \( d_ k \) 和对应的QP乘子。 c. 反射处理：检查 \( d_ k \) 是否会导致严重违反内点可行性。如果是，应用第四步的反射机制，得到修正方向 \( \tilde{d} k \)。 d. 尝试迭代：设试探点 \( x_ k^+ = x_ k + \tilde{d} k \)。 e. 计算比率：计算实际下降与预测下降的比率 \( \rho_ k \)。 f. 信赖域更新：根据第五步的规则，更新迭代点 \( x {k+1} \) 和信赖域半径 \( \Delta {k+1} \)。 g. 更新乘子和障碍参数： - 如果迭代被接受，更新拉格朗日乘子估计。 - 如果满足条件（如KKT误差小于 \( \mu_ k \)），则更新 \( \mu_ {k+1} = \sigma \mu_ k \)；否则 \( \mu_ {k+1} = \mu_ k \)。 h. \( k = k + 1 \)。收敛判断：当 \( \| \nabla_ x \mathcal{L}_ {\mu}(x_ k, \lambda_ k) \| < \epsilon \)，且约束违反度 \( \| c(x_ k) \| \) 和互补间隙 \( \mu_ k \) 都足够小时，停止迭代。收敛性思路：该混合算法继承了信赖域SQP 的强全局收敛性。即使在模型不精确时，信赖域机制也能保证产生一个使价值函数（这里是 \( \mathcal{L}_ {\mu} \) ）充分下降的迭代序列。内点反射机制本身不破坏收敛性，因为它只是在试探步可能导致不可行时，产生一个在范数意义上与原方向相近、但可行性更好的替代方向。在收敛分析中，可以证明反射步在极限情况下不会干扰到KKT条件的满足。障碍参数 \( \mu \to 0 \) 的过程，结合SQP框架，保证了迭代点最终逼近原问题的KKT点。从数值上看，当 \( \mu \) 很小时，障碍函数项的影响很小，增广拉格朗日障碍函数 \( \mathcal{L}_ {\mu} \) 的驻点就近似于原拉格朗日函数的驻点。总结通过以上六个步骤，我们完成了一个 “内点反射信赖域-序列二次规划”（IPR-TR-SQP）混合算法的构建与阐述。它的创新性和优势在于：可行性：通过内点法思想和对数障碍，严格保持不等式约束的可行性。鲁棒性：通过信赖域框架，即使在远离解或模型不精确时，也能保证稳定收敛。高效性：通过反射机制，能够更智能地处理边界，避免因反复缩减步长而导致的效率低下，尤其适用于最优解位于约束边界的问题。这个算法可以视为求解大规模、非线性、含不等式约束优化问题的一个强大而稳健的工具。