环状道路的最小旅行商问题（访问所有景点且返回起点的最短路径）
字数 4461 2025-12-11 06:56:10

环状道路的最小旅行商问题（访问所有景点且返回起点的最短路径）

题目描述
有一个环状道路，上面均匀分布着 n 个景点（编号 0 到 n-1）。旅行商从某个景点出发，需要访问所有景点恰好一次，并最终回到起点。已知任意两个景点 i 和 j 之间的直线距离 dist(i, j)（在环上只能沿顺时针或逆时针方向移动，距离为环上较短的弧长）。求完成整个旅行的最短路径长度。

限制条件

  • n 最大为 500，景点位置按环上顺序给出（顺时针方向递增）。
  • 距离 dist(i, j) 定义为环上从 i 到 j 的较短弧长，且满足三角不等式。
  • 旅行商可以从任意景点出发，但必须返回起点。

解题思路分析

这个问题本质上是“环状旅行商问题（TSP）”，但经典TSP是NP-hard。然而，当景点在一个环上且只能沿环移动（不能“穿越”）时，问题具有特殊结构，可用区间DP高效解决。
关键点：

  1. 由于在环上移动，最短路径总是沿着环的某一方向连续访问景点，不会来回跳跃（否则会因为三角不等式而增加距离）。
  2. 因此，访问过的景点在环上总是一段连续的弧。

步骤1：问题转化

将环断开，固定起点为景点 0。因为环是对称的，从任意起点出发的最优解都可以通过旋转转化为从 0 出发。
现在问题变成：从 0 出发，访问环上所有其他景点一次，最后返回 0，求最短路径。
由于路径是连续的弧，访问的景点序列在环上一定是连续的一段（可能顺时针或逆时针扩展）。

步骤2：定义状态

定义 dp[l][r] 表示当前已经访问了从 l 到 r 这一段连续景点（在环上按编号顺序），且当前旅行商位于这段区间的左端点 l 时，已经走过的最短距离。
类似地，可以定义另一个状态 dp2[l][r] 表示当前位于右端点 r。但为了简化，我们可以在状态中增加一维表示位置：
dp[l][r][0]：已访问区间 [l, r]（连续编号），当前在左端点 l 的最短距离。
dp[l][r][1]：已访问区间 [l, r]，当前在右端点 r 的最短距离。

区间含义：

  • 区间 [l, r] 是环上按编号顺序的一段（可能跨越环的末端，需要特殊处理环状）。
  • 因为从 0 出发，初始区间就是 [0, 0]（只访问了起点）。

步骤3：状态转移

我们从小区间向大区间扩展。
考虑区间 [l, r]，如何扩展到更大的区间？

  • 如果当前在左端点 l，下一步可以走到 l-1（如果未访问）或者 r+1（如果未访问）。
  • 如果当前在右端点 r，下一步可以走到 l-1 或 r+1。

转移方程：
设 nxt 为下一步要访问的景点编号。

  1. 从 dp[l][r][0]（在左端点 l）出发：

    • 走到 l-1（注意环状，(l-1+n)%n）：
      dp[l-1][r][0] = min(dp[l-1][r][0], dp[l][r][0] + dist(l, l-1))
    • 走到 r+1（(r+1)%n）：
      dp[l][r+1][1] = min(dp[l][r+1][1], dp[l][r][0] + dist(l, r+1))

  2. 从 dp[l][r][1]（在右端点 r）出发：

    • 走到 l-1：
      dp[l-1][r][0] = min(dp[l-1][r][0], dp[l][r][1] + dist(r, l-1))
    • 走到 r+1：
      dp[l][r+1][1] = min(dp[l][r+1][1], dp[l][r][1] + dist(r, r+1))

注意：

  • dist(i, j) 是环上较短的弧长，可以通过景点位置计算。
  • 必须确保 l <= r 且区间长度不超过 n。
  • 初始状态：dp[0][0][0] = dp[0][0][1] = 0（从起点 0 开始，已经在起点）。
  • 最终答案：当区间覆盖所有景点时，即区间长度为 n 时，从当前端点返回起点 0 的距离加上当前距离，取最小值。但因为我们固定起点为 0，终点也必须回到 0，所以最终区间是 [0, n-1]，且最后一步要从当前端点走到 0。

实际上，由于环状，我们访问的区间最终会覆盖所有景点，即区间长度 = n。最终状态是 dp[0][n-1][0] 或 dp[0][n-1][1]，还需要加上从当前端点回到 0 的距离。
但注意：我们是从 0 出发，访问了 0..n-1 所有点，最后回到 0。因为环是对称的，最终路径一定是从 0 开始，顺时针或逆时针访问所有点回到 0，所以答案其实就是顺时针和逆时针总距离的较小值？
不对——这里我们允许混合方向吗？实际上，在环上如果只能沿环移动，最优路径一定是先往一个方向走一段，再折返？但仔细分析：因为必须访问所有点且返回起点，最短路径就是环的周长（如果 dist 是直线距离则可能更短）。
但本题 dist 是环上弧长，所以总路径至少是环周长？不一定，因为可能“抄近路”走较短的弧。
但根据三角不等式，最短路径就是顺时针或逆时针走一圈？不一定，例如景点不均匀时，可能先顺时针走一段，再逆时针走另一段。
这正是区间 DP 所模拟的：我们不断扩展区间，相当于在环上逐渐覆盖更多连续景点。

步骤4：处理环状

由于是环，景点编号是模 n 的。我们可以将环断开，复制一份变成 2n 的线性序列，然后在这个序列上做区间 DP，要求区间长度 = n，且起点在区间内。
更简洁的方法：将环断开为线性序列 0..n-1，然后做区间 DP，但允许从 0 向左走到 n-1（相当于逆时针）。
为了处理环，我们可以枚举最终区间 [l, r] 的长度为 n-1（即访问了除起点外所有点），然后加上从当前端点回到起点的距离。
但起点 0 可能不在区间 [l, r] 内，因为我们可能从 0 出发后先往左走到 n-1。
因此，更好的方法是：将环断开，固定起点为 0，然后我们访问的区间在环上是连续的，可能跨越 0（即包含 0 作为端点或内部点）。
我们可以将景点编号转换为从 0 开始的线性顺序，但允许编号模 n。在 DP 时，区间 [l, r] 表示环上从 l 顺时针到 r 的一段（长度可能超过 n/2 则不是最短弧，但 DP 会自然选择较短弧，因为 dist 已经用了较短弧）。

实际上，因为 dist 是较短弧长，当我们从 l 走到 l-1 时，dist(l, l-1) 就是环上相邻景点的距离（如果景点均匀则是固定值）。
所以 DP 过程就是在环上逐渐扩展区间，每次扩展一个相邻景点。

步骤5：最终算法步骤

  1. 输入 n 和景点位置数组 pos[0..n-1]（按顺时针顺序）。

  2. 计算距离函数 dist(i, j)：
    d = abs(pos[i] - pos[j])
    dist(i, j) = min(d, total_len - d)，其中 total_len 是环的总长度。

  3. 初始化 DP 数组为无穷大，dp[0][0][0] = dp[0][0][1] = 0。

  4. 枚举区间长度 len 从 0 到 n-1：
    对于每个区间 [l, r] 满足 (r - l + n) % n == len（环上区间长度），且该区间包含起点 0？
    不，我们不需要区间包含 0，因为我们从 0 出发，访问的区间是从 0 开始扩展的。
    因此，我们可以将环断开，假设起点为 0，然后只考虑区间包含 0 的情况。但这样会漏掉先逆时针走的情况。
    所以正确做法：复制景点位置成两倍长数组 pos[0..2n-1]，其中 pos[i+n] = pos[i] + total_len。
    然后在这个线性数组上做区间 DP，要求区间长度 = n（即访问所有景点），且起点 0 在区间内。
    这样，DP 状态 dp[l][r][0/1] 表示在双倍数组上区间 [l, r] 已经访问，当前在左/右端点。
    转移时，l 和 r 在 [0, 2n-1] 范围内，且 r-l+1 <= n。
    初始状态：dp[0][0][0] = dp[0][0][1] = 0（起点在双倍数组的索引 0 处）。
    转移：

    • 从 dp[l][r][0] 扩展：
      走到 l-1（如果 l-1 >= 0 且区间长度 < n）：
      dp[l-1][r][0] = min(..., dp[l][r][0] + dist(l, l-1))
      走到 r+1（如果 r+1 < 2n 且区间长度 < n）：
      dp[l][r+1][1] = min(..., dp[l][r][0] + dist(l, r+1))
    • 从 dp[l][r][1] 扩展：
      走到 l-1：
      dp[l-1][r][0] = min(..., dp[l][r][1] + dist(r, l-1))
      走到 r+1：
      dp[l][r+1][1] = min(..., dp[l][r][1] + dist(r, r+1))
      其中 dist(i, j) 使用原始环上距离计算（用双倍数组位置取模 n）。

  5. 最终答案：
    当区间长度 = n 时，即 r-l+1 == n，且起点 0 在区间内（即 l <= 0 <= r），我们需要从当前端点回到起点 0。
    所以答案 = min(dp[l][r][0] + dist(l, 0), dp[l][r][1] + dist(r, 0))，对所有满足条件的区间取最小值。

步骤6：复杂度与优化

  • 状态数：O(n²)（双倍数组后区间数 O((2n)²) = O(n²)）。
  • 转移 O(1)。
  • 总时间复杂度 O(n²)，空间 O(n²)。
  • 由于 n ≤ 500，O(n²) 可接受。

步骤7：示例验证

假设环周长 10，景点位置 [0, 2, 5, 7, 9]（n=5）。
计算距离：
dist(0,2)=2, dist(0,5)=min(5,5)=5, dist(0,7)=min(7,3)=3, 等等。
通过 DP 计算可得最短路径。
可以手工验证：最优路径可能是 0→2→5→7→9→0（顺时针）总长 = 2+3+2+2+1=10，或者逆时针 0→9→7→5→2→0 总长 = 1+2+2+3+2=10，或者混合方向可能更短？因为 dist 是较短弧，混合可能减少总长。DP 会找到最优解。

通过上述区间 DP 方法，我们成功将环状 TSP 转化为区间 DP 问题，得到了多项式时间解法。

环状道路的最小旅行商问题（访问所有景点且返回起点的最短路径） 题目描述 有一个环状道路，上面均匀分布着 n 个景点（编号 0 到 n-1 ）。旅行商从某个景点出发，需要访问所有景点恰好一次，并最终回到起点。已知任意两个景点 i 和 j 之间的直线距离 dist(i, j) （在环上只能沿顺时针或逆时针方向移动，距离为环上较短的弧长）。求完成整个旅行的最短路径长度。 限制条件 n 最大为 500，景点位置按环上顺序给出（顺时针方向递增）。 距离 dist(i, j) 定义为环上从 i 到 j 的较短弧长，且满足三角不等式。 旅行商可以从任意景点出发，但必须返回起点。 解题思路分析 这个问题本质上是“环状旅行商问题（TSP）”，但经典TSP是NP-hard。然而， 当景点在一个环上且只能沿环移动（不能“穿越”）时 ，问题具有特殊结构，可用区间DP高效解决。 关键点： 由于在环上移动，最短路径总是沿着环的某一方向连续访问景点，不会来回跳跃（否则会因为三角不等式而增加距离）。 因此，访问过的景点在环上总是一段连续的弧。 步骤1：问题转化 将环断开，固定起点为景点 0 。因为环是对称的，从任意起点出发的最优解都可以通过旋转转化为从 0 出发。 现在问题变成：从 0 出发，访问环上所有其他景点一次，最后返回 0 ，求最短路径。 由于路径是连续的弧，访问的景点序列在环上一定是连续的一段（可能顺时针或逆时针扩展）。 步骤2：定义状态 定义 dp[l][r] 表示当前已经访问了从 l 到 r 这一段连续景点（在环上按编号顺序），且当前旅行商位于这段区间的 左端点 l 时，已经走过的最短距离。 类似地，可以定义另一个状态 dp2[l][r] 表示当前位于右端点 r 。但为了简化，我们可以在状态中增加一维表示位置： dp[l][r][0] ：已访问区间 [l, r] （连续编号），当前在左端点 l 的最短距离。 dp[l][r][1] ：已访问区间 [l, r] ，当前在右端点 r 的最短距离。 区间含义 ： 区间 [l, r] 是环上按编号顺序的一段（可能跨越环的末端，需要特殊处理环状）。 因为从 0 出发，初始区间就是 [0, 0] （只访问了起点）。 步骤3：状态转移 我们从小区间向大区间扩展。 考虑区间 [l, r] ，如何扩展到更大的区间？ 如果当前在左端点 l ，下一步可以走到 l-1 （如果未访问）或者 r+1 （如果未访问）。 如果当前在右端点 r ，下一步可以走到 l-1 或 r+1 。 转移方程 ： 设 nxt 为下一步要访问的景点编号。 从 dp[l][r][0] （在左端点 l ）出发： 走到 l-1 （注意环状， (l-1+n)%n ）： dp[l-1][r][0] = min(dp[l-1][r][0], dp[l][r][0] + dist(l, l-1)) 走到 r+1 （ (r+1)%n ）： dp[l][r+1][1] = min(dp[l][r+1][1], dp[l][r][0] + dist(l, r+1)) 从 dp[l][r][1] （在右端点 r ）出发： 走到 l-1 ： dp[l-1][r][0] = min(dp[l-1][r][0], dp[l][r][1] + dist(r, l-1)) 走到 r+1 ： dp[l][r+1][1] = min(dp[l][r+1][1], dp[l][r][1] + dist(r, r+1)) 注意 ： dist(i, j) 是环上较短的弧长，可以通过景点位置计算。 必须确保 l <= r 且区间长度不超过 n 。 初始状态： dp[0][0][0] = dp[0][0][1] = 0 （从起点 0 开始，已经在起点）。 最终答案：当区间覆盖所有景点时，即区间长度为 n 时，从当前端点返回起点 0 的距离加上当前距离，取最小值。但因为我们固定起点为 0 ，终点也必须回到 0 ，所以最终区间是 [0, n-1] ，且最后一步要从当前端点走到 0 。 实际上，由于环状，我们访问的区间最终会覆盖所有景点，即区间长度 = n。最终状态是 dp[0][n-1][0] 或 dp[0][n-1][1] ，还需要加上从当前端点回到 0 的距离。 但注意：我们是从 0 出发，访问了 0..n-1 所有点，最后回到 0 。因为环是对称的，最终路径一定是从 0 开始，顺时针或逆时针访问所有点回到 0 ，所以答案其实就是顺时针和逆时针总距离的较小值？ 不对——这里我们允许混合方向吗？实际上，在环上如果只能沿环移动，最优路径一定是先往一个方向走一段，再折返？但仔细分析：因为必须访问所有点且返回起点，最短路径就是环的周长（如果 dist 是直线距离则可能更短）。 但本题 dist 是环上弧长，所以总路径至少是环周长？不一定，因为可能“抄近路”走较短的弧。 但根据三角不等式，最短路径就是顺时针或逆时针走一圈？不一定，例如景点不均匀时，可能先顺时针走一段，再逆时针走另一段。 这正是区间 DP 所模拟的：我们不断扩展区间，相当于在环上逐渐覆盖更多连续景点。 步骤4：处理环状 由于是环，景点编号是模 n 的。我们可以将环断开，复制一份变成 2n 的线性序列，然后在这个序列上做区间 DP，要求区间长度 = n，且起点在区间内。 更简洁的方法：将环断开为线性序列 0..n-1 ，然后做区间 DP，但允许从 0 向左走到 n-1 （相当于逆时针）。 为了处理环，我们可以枚举最终区间 [l, r] 的长度为 n-1 （即访问了除起点外所有点），然后加上从当前端点回到起点的距离。 但起点 0 可能不在区间 [l, r] 内，因为我们可能从 0 出发后先往左走到 n-1 。 因此，更好的方法是：将环断开，固定起点为 0 ，然后我们访问的区间在环上是连续的，可能跨越 0 （即包含 0 作为端点或内部点）。 我们可以将景点编号转换为从 0 开始的线性顺序，但允许编号模 n 。在 DP 时，区间 [l, r] 表示环上从 l 顺时针到 r 的一段（长度可能超过 n/2 则不是最短弧，但 DP 会自然选择较短弧，因为 dist 已经用了较短弧）。 实际上，因为 dist 是较短弧长，当我们从 l 走到 l-1 时，dist(l, l-1) 就是环上相邻景点的距离（如果景点均匀则是固定值）。 所以 DP 过程就是在环上逐渐扩展区间，每次扩展一个相邻景点。 步骤5：最终算法步骤 输入 n 和景点位置数组 pos[0..n-1] （按顺时针顺序）。 计算距离函数 dist(i, j) ： d = abs(pos[i] - pos[j]) dist(i, j) = min(d, total_len - d) ，其中 total_len 是环的总长度。 初始化 DP 数组为无穷大， dp[0][0][0] = dp[0][0][1] = 0 。 枚举区间长度 len 从 0 到 n-1 ： 对于每个区间 [l, r] 满足 (r - l + n) % n == len （环上区间长度），且该区间包含起点 0 ？ 不，我们不需要区间包含 0 ，因为我们从 0 出发，访问的区间是从 0 开始扩展的。 因此，我们可以将环断开，假设起点为 0 ，然后只考虑区间包含 0 的情况。但这样会漏掉先逆时针走的情况。 所以正确做法：复制景点位置成两倍长数组 pos[0..2n-1] ，其中 pos[i+n] = pos[i] + total_len 。 然后在这个线性数组上做区间 DP，要求区间长度 = n（即访问所有景点），且起点 0 在区间内。 这样，DP 状态 dp[l][r][0/1] 表示在双倍数组上区间 [l, r] 已经访问，当前在左/右端点。 转移时， l 和 r 在 [0, 2n-1] 范围内，且 r-l+1 <= n 。 初始状态： dp[0][0][0] = dp[0][0][1] = 0 （起点在双倍数组的索引 0 处）。 转移： 从 dp[l][r][0] 扩展： 走到 l-1 （如果 l-1 >= 0 且区间长度 < n）： dp[l-1][r][0] = min(..., dp[l][r][0] + dist(l, l-1)) 走到 r+1 （如果 r+1 < 2n 且区间长度 < n）： dp[l][r+1][1] = min(..., dp[l][r][0] + dist(l, r+1)) 从 dp[l][r][1] 扩展： 走到 l-1 ： dp[l-1][r][0] = min(..., dp[l][r][1] + dist(r, l-1)) 走到 r+1 ： dp[l][r+1][1] = min(..., dp[l][r][1] + dist(r, r+1)) 其中 dist(i, j) 使用原始环上距离计算（用双倍数组位置取模 n ）。 最终答案： 当区间长度 = n 时，即 r-l+1 == n ，且起点 0 在区间内（即 l <= 0 <= r ），我们需要从当前端点回到起点 0 。 所以答案 = min(dp[l][r][0] + dist(l, 0), dp[l][r][1] + dist(r, 0)) ，对所有满足条件的区间取最小值。 步骤6：复杂度与优化 状态数：O(n²)（双倍数组后区间数 O((2n)²) = O(n²)）。 转移 O(1)。 总时间复杂度 O(n²)，空间 O(n²)。 由于 n ≤ 500，O(n²) 可接受。 步骤7：示例验证 假设环周长 10，景点位置 [0, 2, 5, 7, 9] （n=5）。 计算距离： dist(0,2)=2, dist(0,5)=min(5,5)=5, dist(0,7)=min(7,3)=3, 等等。 通过 DP 计算可得最短路径。 可以手工验证：最优路径可能是 0→2→5→7→9→0（顺时针）总长 = 2+3+2+2+1=10，或者逆时针 0→9→7→5→2→0 总长 = 1+2+2+3+2=10，或者混合方向可能更短？因为 dist 是较短弧，混合可能减少总长。DP 会找到最优解。 通过上述区间 DP 方法，我们成功将环状 TSP 转化为区间 DP 问题，得到了多项式时间解法。