基于线性规划的图最大权独立集问题的对偶上升算法求解示例
字数 4715 2025-12-11 05:16:22

基于线性规划的图最大权独立集问题的对偶上升算法求解示例

我将为您讲解图论中一个经典问题——最大权独立集问题（Maximum Weight Independent Set, MWIS）的线性规划建模及其对偶上升算法求解过程。这是一个NP难问题，通过对偶上升算法可以高效求解其线性规划松弛，并可用于设计近似算法或作为精确算法的下界。

问题描述

给定一个无向图 \(G = (V, E)\)，其中每个顶点 \(v \in V\) 有一个非负权重 \(w_v \geq 0\)。独立集是指顶点集合的一个子集，使得其中任意两个顶点在图中都不相邻（即没有边直接连接）。最大权独立集问题的目标是找到一个独立集 \(I \subseteq V\)，使得其总权重 \(\sum_{v \in I} w_v\) 最大化。

举例说明

考虑一个简单图：顶点集 \(V = \{1, 2, 3\}\)，边集 \(E = \{(1,2), (2,3)\}\)，权重分别为 \(w_1 = 3, w_2 = 2, w_3 = 2\)。独立集可以是：空集（权重0）、{1}（权重3）、{2}（权重2）、{3}（权重2）、{1,3}（权重5）。由于顶点1和3不相邻，{1,3}是最大权独立集，权重和为5。

线性规划建模

整数规划模型

对每个顶点 \(v\)，定义二进制变量 \(x_v \in \{0,1\}\)，其中 \(x_v = 1\) 表示顶点 \(v\) 被选入独立集。约束条件要求每条边 \((u,v) \in E\) 的两个顶点不能同时被选（即 \(x_u + x_v \leq 1\)）。目标函数为最大化总权重：

\[\begin{aligned} \max \quad & \sum_{v \in V} w_v x_v \\ \text{s.t.} \quad & x_u + x_v \leq 1, \quad \forall (u,v) \in E, \\ & x_v \in \{0,1\}, \quad \forall v \in V. \end{aligned} \]

这是一个整数规划问题。

线性规划松弛

将整数约束 \(x_v \in \{0,1\}\) 松弛为 \(0 \leq x_v \leq 1\)，得到线性规划松弛模型（LPR）：

\[\begin{aligned} \max \quad & \sum_{v \in V} w_v x_v \\ \text{s.t.} \quad & x_u + x_v \leq 1, \quad \forall (u,v) \in E, \\ & 0 \leq x_v \leq 1, \quad \forall v \in V. \end{aligned} \]

由于 \(x_v \leq 1\) 已隐含在边约束中（当邻接顶点权重足够大时），可简化为：

\[\begin{aligned} \max \quad & \sum_{v \in V} w_v x_v \\ \text{s.t.} \quad & x_u + x_v \leq 1, \quad \forall (u,v) \in E, \\ & x_v \geq 0, \quad \forall v \in V. \end{aligned} \]

该线性规划的最优值提供了原整数规划最优值的上界。

对偶问题

为应用对偶上升算法，我们考虑上述线性规划的对偶问题。每条边约束 \(x_u + x_v \leq 1\) 对应一个对偶变量 \(y_{uv} \geq 0\)。目标函数 \(\sum_v w_v x_v\) 中的每个系数 \(w_v\) 对应对偶约束：对每个顶点 \(v\)，与其关联的所有边 \(e \in \delta(v)\) 的对偶变量之和不超过 \(w_v\)。对偶问题为：

\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{e \in E} y_e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{e \in \delta(v)} y_e \geq w_v, \quad \forall v \in V, \\ & y_e \geq 0, \quad \forall e \in E. \end{aligned} \]

其中 \(\delta(v)\) 表示与顶点 \(v\) 关联的边集。

对偶上升算法原理

对偶上升算法是一种迭代方法，用于求解上述对偶问题。其核心思想是：从对偶变量 \(y = 0\) 开始，逐步增加 \(y_e\) 的值，直到所有对偶约束 \(\sum_{e \in \delta(v)} y_e \geq w_v\) 被满足，同时保持目标函数 \(\sum y_e\) 尽可能小。算法结束时，对偶解是可行的（即满足所有约束），且目标值提供一个原问题最优值的下界（由于弱对偶性，原问题最优值 ≤ 对偶问题最优值，但这里是最大化原问题，对偶提供上界；实际上，在标准形式下，对偶上升得到对偶可行解，其目标值是原问题的一个下界）。

互补松弛条件

根据线性规划对偶理论，原问题和对偶问题的最优解满足互补松弛条件：

  1. 若 \(x_v > 0\)，则对应对偶约束取等号：\(\sum_{e \in \delta(v)} y_e = w_v\)。
  2. 若 \(y_e > 0\)，则对应原约束取等号：\(x_u + x_v = 1\)。

算法步骤详解

步骤1：初始化

  • 设置所有对偶变量 \(y_e = 0\)（\(e \in E\)）。
  • 计算每个顶点 \(v\) 的对偶约束松弛量 \(s_v = w_v - \sum_{e \in \delta(v)} y_e\)，初始 \(s_v = w_v\)。

步骤2：迭代提升对偶变量

  • 只要存在顶点 \(v\) 满足 \(s_v > 0\)（即对偶约束未满足），则进行迭代。
  • 在每次迭代中，选择一个未满足约束的顶点 \(v\)（即 \(s_v > 0\)）。
  • 增加与其关联的所有边 \(e \in \delta(v)\) 的对偶变量 \(y_e\)，增加量 \(\Delta = s_v / |\delta(v)|\)。
  • 更新相关顶点的松弛量：
    • 对于顶点 \(v\) 本身，更新后 \(s_v\) 变为 0（因为增加了 \(|\delta(v)| \cdot \Delta = s_v\)）。
    • 对于 \(v\) 的每个邻居 \(u\)，由于共享边 \((u,v)\) 的 \(y_e\) 增加，\(s_u\) 减少 \(\Delta\)（因为 \(s_u = w_u - \sum_{e \in \delta(u)} y_e\)，其中包含边 \((u,v)\) 的贡献）。
  • 重复此过程，直到所有 \(s_v \leq 0\)，即所有对偶约束满足。

步骤3：构造原问题可行解

根据互补松弛条件，我们可以从对偶解构造原问题可行解：

  • 若顶点 \(v\) 的对偶约束取等号（即 \(s_v = 0\)），且 \(v\) 的所有邻接顶点 \(u\) 都满足 \(x_u = 0\)，则设置 \(x_v = 1\)。
  • 实际上，对偶上升算法自然导出一个贪心选择策略：在迭代过程中，当一个顶点 \(v\) 的 \(s_v\) 降为 0 时，将 \(v\) 加入独立集，并将其所有邻居排除。
  • 更系统的方法是：算法结束后，选择所有对偶约束紧（\(s_v = 0\)）且互不相邻的顶点作为独立集。

步骤4：计算目标值

  • 对偶目标值：\(\sum_{e \in E} y_e\)。
  • 原问题可行解目标值：\(\sum_{v \in I} w_v\)。
    由于弱对偶性，对偶目标值 ≥ 原问题最优值（因为原问题是最大化，对偶目标提供上界）。然而，我们构造的独立集不一定是最优的，但其权重给出了一个下界。

实例演示

考虑前述图：顶点集 \(V = \{1,2,3\}\)，边 \(E = \{(1,2), (2,3)\}\)，权重 \(w_1=3, w_2=2, w_3=2\)。

初始化

  • \(y_{12} = 0, y_{23} = 0\)。
  • \(s_1 = 3, s_2 = 2, s_3 = 2\)。

迭代1

选择顶点 1（\(s_1=3>0\)）。其关联边只有 \(e=(1,2)\)，\(|\delta(1)|=1\)。增加 \(\Delta = 3/1 = 3\)：

  • \(y_{12}\) 增加 3 → \(y_{12}=3\)。
  • 更新松弛量：
    • \(s_1\) 减少 3 → \(s_1=0\)。
    • 邻居顶点 2：\(s_2\) 减少 3 → \(s_2 = 2-3 = -1\)（约束已过满足）。
  • 此时 \(s_1=0, s_2=-1, s_3=2\)。

迭代2

选择顶点 3（\(s_3=2>0\)）。其关联边只有 \(e=(2,3)\)，\(|\delta(3)|=1\)。增加 \(\Delta = 2/1 = 2\)：

  • \(y_{23}\) 增加 2 → \(y_{23}=2\)。
  • 更新松弛量：
    • \(s_3\) 减少 2 → \(s_3=0\)。
    • 邻居顶点 2：\(s_2\) 减少 2 → \(s_2 = -1-2 = -3\)。
  • 所有 \(s_v \leq 0\)，算法停止。

对偶解

  • \(y_{12}=3, y_{23}=2\)。
  • 对偶目标值：\(3+2=5\)。

构造独立集

  • 顶点 1：\(s_1=0\)，且其唯一邻居 2 未选（目前未决定），可考虑选 1。
  • 顶点 3：\(s_3=0\)，且其唯一邻居 2 未选，可考虑选 3。
  • 顶点 2：\(s_2<0\)，根据互补松弛，\(x_2=0\)。
    由于顶点 1 和 3 不相邻，可同时选择。因此独立集 \(I = \{1,3\}\)，权重和 \(3+2=5\)。

结果分析

  • 对偶目标值 = 5。
  • 构造的独立集权重 = 5。
  • 因此，该解是最优的（因为对偶值等于原始可行解值，强对偶成立）。

算法性能与扩展

  • 该算法在线性规划松弛意义下是精确的，且运行时间与图规模成线性关系。
  • 对于一般图，线性规划松弛可能不是整数解（即存在分数解），因此构造的独立集不一定是最优的，但提供了近似解（例如，通过随机舍入或其他技巧可得到近似算法）。
  • 对偶上升算法易于实现，且可并行化处理。
  • 它也可用于分支定界法中快速计算上界。

总结

您已经了解了最大权独立集问题的线性规划建模、对偶形式、对偶上升算法的逐步迭代过程以及解构造方法。该算法展示了如何通过对偶视角获得原问题的界和可行解，是处理组合优化问题的有力工具。

基于线性规划的图最大权独立集问题的对偶上升算法求解示例 我将为您讲解图论中一个经典问题——最大权独立集问题（Maximum Weight Independent Set, MWIS）的线性规划建模及其对偶上升算法求解过程。这是一个NP难问题，通过对偶上升算法可以高效求解其线性规划松弛，并可用于设计近似算法或作为精确算法的下界。 问题描述 给定一个无向图 \( G = (V, E) \)，其中每个顶点 \( v \in V \) 有一个非负权重 \( w_ v \geq 0 \)。独立集是指顶点集合的一个子集，使得其中任意两个顶点在图中都不相邻（即没有边直接连接）。最大权独立集问题的目标是找到一个独立集 \( I \subseteq V \)，使得其总权重 \( \sum_ {v \in I} w_ v \) 最大化。 举例说明 考虑一个简单图：顶点集 \( V = \{1, 2, 3\} \)，边集 \( E = \{(1,2), (2,3)\} \)，权重分别为 \( w_ 1 = 3, w_ 2 = 2, w_ 3 = 2 \)。独立集可以是：空集（权重0）、\{1\}（权重3）、\{2\}（权重2）、\{3\}（权重2）、\{1,3\}（权重5）。由于顶点1和3不相邻，\{1,3\}是最大权独立集，权重和为5。 线性规划建模 整数规划模型 对每个顶点 \( v \)，定义二进制变量 \( x_ v \in \{0,1\} \)，其中 \( x_ v = 1 \) 表示顶点 \( v \) 被选入独立集。约束条件要求每条边 \( (u,v) \in E \) 的两个顶点不能同时被选（即 \( x_ u + x_ v \leq 1 \)）。目标函数为最大化总权重： \[ \begin{aligned} \max \quad & \sum_ {v \in V} w_ v x_ v \\ \text{s.t.} \quad & x_ u + x_ v \leq 1, \quad \forall (u,v) \in E, \\ & x_ v \in \{0,1\}, \quad \forall v \in V. \end{aligned} \] 这是一个整数规划问题。 线性规划松弛 将整数约束 \( x_ v \in \{0,1\} \) 松弛为 \( 0 \leq x_ v \leq 1 \)，得到线性规划松弛模型（LPR）： \[ \begin{aligned} \max \quad & \sum_ {v \in V} w_ v x_ v \\ \text{s.t.} \quad & x_ u + x_ v \leq 1, \quad \forall (u,v) \in E, \\ & 0 \leq x_ v \leq 1, \quad \forall v \in V. \end{aligned} \] 由于 \( x_ v \leq 1 \) 已隐含在边约束中（当邻接顶点权重足够大时），可简化为： \[ \begin{aligned} \max \quad & \sum_ {v \in V} w_ v x_ v \\ \text{s.t.} \quad & x_ u + x_ v \leq 1, \quad \forall (u,v) \in E, \\ & x_ v \geq 0, \quad \forall v \in V. \end{aligned} \] 该线性规划的最优值提供了原整数规划最优值的上界。 对偶问题 为应用对偶上升算法，我们考虑上述线性规划的对偶问题。每条边约束 \( x_ u + x_ v \leq 1 \) 对应一个对偶变量 \( y_ {uv} \geq 0 \)。目标函数 \( \sum_ v w_ v x_ v \) 中的每个系数 \( w_ v \) 对应对偶约束：对每个顶点 \( v \)，与其关联的所有边 \( e \in \delta(v) \) 的对偶变量之和不超过 \( w_ v \)。对偶问题为： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {e \in E} y_ e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {e \in \delta(v)} y_ e \geq w_ v, \quad \forall v \in V, \\ & y_ e \geq 0, \quad \forall e \in E. \end{aligned} \] 其中 \( \delta(v) \) 表示与顶点 \( v \) 关联的边集。 对偶上升算法原理 对偶上升算法是一种迭代方法，用于求解上述对偶问题。其核心思想是：从对偶变量 \( y = 0 \) 开始，逐步增加 \( y_ e \) 的值，直到所有对偶约束 \( \sum_ {e \in \delta(v)} y_ e \geq w_ v \) 被满足，同时保持目标函数 \( \sum y_ e \) 尽可能小。算法结束时，对偶解是可行的（即满足所有约束），且目标值提供一个原问题最优值的下界（由于弱对偶性，原问题最优值 ≤ 对偶问题最优值，但这里是最大化原问题，对偶提供上界；实际上，在标准形式下，对偶上升得到对偶可行解，其目标值是原问题的一个下界）。 互补松弛条件 根据线性规划对偶理论，原问题和对偶问题的最优解满足互补松弛条件： 若 \( x_ v > 0 \)，则对应对偶约束取等号：\( \sum_ {e \in \delta(v)} y_ e = w_ v \)。 若 \( y_ e > 0 \)，则对应原约束取等号：\( x_ u + x_ v = 1 \)。 算法步骤详解 步骤1：初始化 设置所有对偶变量 \( y_ e = 0 \)（\( e \in E \)）。 计算每个顶点 \( v \) 的对偶约束松弛量 \( s_ v = w_ v - \sum_ {e \in \delta(v)} y_ e \)，初始 \( s_ v = w_ v \)。 步骤2：迭代提升对偶变量 只要存在顶点 \( v \) 满足 \( s_ v > 0 \)（即对偶约束未满足），则进行迭代。 在每次迭代中，选择一个未满足约束的顶点 \( v \)（即 \( s_ v > 0 \)）。 增加与其关联的所有边 \( e \in \delta(v) \) 的对偶变量 \( y_ e \)，增加量 \( \Delta = s_ v / |\delta(v)| \)。 更新相关顶点的松弛量： 对于顶点 \( v \) 本身，更新后 \( s_ v \) 变为 0（因为增加了 \( |\delta(v)| \cdot \Delta = s_ v \)）。 对于 \( v \) 的每个邻居 \( u \)，由于共享边 \( (u,v) \) 的 \( y_ e \) 增加，\( s_ u \) 减少 \( \Delta \)（因为 \( s_ u = w_ u - \sum_ {e \in \delta(u)} y_ e \)，其中包含边 \( (u,v) \) 的贡献）。 重复此过程，直到所有 \( s_ v \leq 0 \)，即所有对偶约束满足。 步骤3：构造原问题可行解 根据互补松弛条件，我们可以从对偶解构造原问题可行解： 若顶点 \( v \) 的对偶约束取等号（即 \( s_ v = 0 \)），且 \( v \) 的所有邻接顶点 \( u \) 都满足 \( x_ u = 0 \)，则设置 \( x_ v = 1 \)。 实际上，对偶上升算法自然导出一个贪心选择策略：在迭代过程中，当一个顶点 \( v \) 的 \( s_ v \) 降为 0 时，将 \( v \) 加入独立集，并将其所有邻居排除。 更系统的方法是：算法结束后，选择所有对偶约束紧（\( s_ v = 0 \)）且互不相邻的顶点作为独立集。 步骤4：计算目标值 对偶目标值：\( \sum_ {e \in E} y_ e \)。 原问题可行解目标值：\( \sum_ {v \in I} w_ v \)。 由于弱对偶性，对偶目标值 ≥ 原问题最优值（因为原问题是最大化，对偶目标提供上界）。然而，我们构造的独立集不一定是最优的，但其权重给出了一个下界。 实例演示 考虑前述图：顶点集 \( V = \{1,2,3\} \)，边 \( E = \{(1,2), (2,3)\} \)，权重 \( w_ 1=3, w_ 2=2, w_ 3=2 \)。 初始化 \( y_ {12} = 0, y_ {23} = 0 \)。 \( s_ 1 = 3, s_ 2 = 2, s_ 3 = 2 \)。 迭代1 选择顶点 1（\( s_ 1=3>0 \)）。其关联边只有 \( e=(1,2) \)，\( |\delta(1)|=1 \)。增加 \( \Delta = 3/1 = 3 \)： \( y_ {12} \) 增加 3 → \( y_ {12}=3 \)。 更新松弛量： \( s_ 1 \) 减少 3 → \( s_ 1=0 \)。 邻居顶点 2：\( s_ 2 \) 减少 3 → \( s_ 2 = 2-3 = -1 \)（约束已过满足）。 此时 \( s_ 1=0, s_ 2=-1, s_ 3=2 \)。 迭代2 选择顶点 3（\( s_ 3=2>0 \)）。其关联边只有 \( e=(2,3) \)，\( |\delta(3)|=1 \)。增加 \( \Delta = 2/1 = 2 \)： \( y_ {23} \) 增加 2 → \( y_ {23}=2 \)。 更新松弛量： \( s_ 3 \) 减少 2 → \( s_ 3=0 \)。 邻居顶点 2：\( s_ 2 \) 减少 2 → \( s_ 2 = -1-2 = -3 \)。 所有 \( s_ v \leq 0 \)，算法停止。 对偶解 \( y_ {12}=3, y_ {23}=2 \)。 对偶目标值：\( 3+2=5 \)。 构造独立集 顶点 1：\( s_ 1=0 \)，且其唯一邻居 2 未选（目前未决定），可考虑选 1。 顶点 3：\( s_ 3=0 \)，且其唯一邻居 2 未选，可考虑选 3。 顶点 2：\( s_ 2<0 \)，根据互补松弛，\( x_ 2=0 \)。 由于顶点 1 和 3 不相邻，可同时选择。因此独立集 \( I = \{1,3\} \)，权重和 \( 3+2=5 \)。 结果分析 对偶目标值 = 5。 构造的独立集权重 = 5。 因此，该解是最优的（因为对偶值等于原始可行解值，强对偶成立）。 算法性能与扩展 该算法在线性规划松弛意义下是精确的，且运行时间与图规模成线性关系。 对于一般图，线性规划松弛可能不是整数解（即存在分数解），因此构造的独立集不一定是最优的，但提供了近似解（例如，通过随机舍入或其他技巧可得到近似算法）。 对偶上升算法易于实现，且可并行化处理。 它也可用于分支定界法中快速计算上界。 总结 您已经了解了最大权独立集问题的线性规划建模、对偶形式、对偶上升算法的逐步迭代过程以及解构造方法。该算法展示了如何通过对偶视角获得原问题的界和可行解，是处理组合优化问题的有力工具。