基于线性规划的图边着色问题求解示例

我将为您讲解图边着色问题的线性规划建模与求解方法，这是一个经典的图论优化问题。

一、问题描述

图边着色问题（Edge Coloring Problem）要求用最少的颜色给无向图G=(V,E)的所有边着色，使得任何两条相邻边（即共享同一个顶点的边）颜色不同。

问题定义

• 输入：无向图G=(V,E)，|V|=n，|E|=m
• 输出：边着色方案，使用颜色数最小
• 约束：相邻边必须颜色不同
• 目标：最小化使用颜色总数

重要性质：

1. 最少颜色数至少等于图中最大度数Δ(G)
2. Vizing定理：简单图（无自环、无重边）的边着色数要么是Δ(G)，要么是Δ(G)+1
3. 该问题是NP-hard问题，但对于某些特殊图类有多项式时间算法

二、整数线性规划模型构建

2.1 变量定义

设总颜色数上界为K（可初始设为Δ(G)+1）

定义二元决策变量：

• x_{e,k} = 1，表示边e被着色为颜色k；=0，表示边e未被着色为颜色k
  其中 e ∈ E, k = 1,...,K

2.2 约束条件

约束1：每条边必须且只能使用一种颜色

对于每条边e ∈ E：

\[\sum_{k=1}^{K} x_{e,k} = 1 \]

约束2：相邻边不能使用相同颜色

对于每个顶点v ∈ V和每种颜色k：
对于所有与v关联的边e_1, e_2（e_1 ≠ e_2且e_1, e_2 ∈ δ(v)）：
实际上更高效的建模方式是：
对于每个顶点v ∈ V和每种颜色k：

\[\sum_{e \in δ(v)} x_{e,k} \leq 1 \]

其中δ(v)表示与顶点v关联的边集

约束3：二元约束

对于所有e ∈ E, k = 1,...,K：

\[x_{e,k} \in \{0,1\} \]

2.3 目标函数

我们要最小化实际使用的颜色数。

定义辅助变量：

• y_k = 1，表示颜色k被至少一条边使用；=0，表示颜色k未被使用

那么对于每种颜色k：

\[y_k \geq x_{e,k} \quad \text{对于所有} e \in E \]

\[ y_k \leq \sum_{e \in E} x_{e,k} \]

目标函数：

\[\text{minimize} \quad \sum_{k=1}^{K} y_k \]

完整整数线性规划模型：

\[\begin{aligned} \min & \sum_{k=1}^{K} y_k \\ \text{s.t.} & \sum_{k=1}^{K} x_{e,k} = 1, \quad \forall e \in E \\ & \sum_{e \in \delta(v)} x_{e,k} \leq 1, \quad \forall v \in V, k = 1,...,K \\ & y_k \geq x_{e,k}, \quad \forall e \in E, k = 1,...,K \\ & y_k \leq \sum_{e \in E} x_{e,k}, \quad \forall k = 1,...,K \\ & x_{e,k} \in \{0,1\}, \quad \forall e \in E, k = 1,...,K \\ & y_k \in \{0,1\}, \quad \forall k = 1,...,K \end{aligned} \]

三、模型简化与线性规划松弛

3.1 简化模型

由于y_k可以通过x_{e,k}隐含定义，我们可以简化模型：

\[\begin{aligned} \min & \quad \text{(最小颜色数)} \\ \text{s.t.} & \sum_{k=1}^{K} x_{e,k} = 1, \quad \forall e \in E \\ & \sum_{e \in \delta(v)} x_{e,k} \leq 1, \quad \forall v \in V, k = 1,...,K \\ & x_{e,k} \in \{0,1\}, \quad \forall e \in E, k = 1,...,K \end{aligned} \]

这个模型没有显式的目标函数。实际求解时，我们可以：

1. 使用二分搜索法：检验给定的K是否可行
2. 或者添加变量表示是否使用颜色k，如上节所示

3.2 线性规划松弛

将整数约束松弛为连续约束：

\[x_{e,k} \geq 0 \]

（由于有约束∑{k} x{e,k} = 1，自动有x_{e,k} ≤ 1）

松弛后的线性规划模型：

\[\begin{aligned} \min & \sum_{k=1}^{K} y_k \\ \text{s.t.} & \sum_{k=1}^{K} x_{e,k} = 1, \quad \forall e \in E \\ & \sum_{e \in \delta(v)} x_{e,k} \leq 1, \quad \forall v \in V, k = 1,...,K \\ & y_k \geq x_{e,k}, \quad \forall e \in E, k = 1,...,K \\ & y_k \leq \sum_{e \in E} x_{e,k}, \quad \forall k = 1,...,K \\ & 0 \leq x_{e,k} \leq 1, \quad \forall e \in E, k = 1,...,K \\ & 0 \leq y_k \leq 1, \quad \forall k = 1,...,K \end{aligned} \]

四、对偶问题分析

为了深入理解问题结构，我们分析线性规划松弛的对偶问题。

设原问题变量：

• x_{e,k}：边e使用颜色k的比例（松弛后）
• y_k：颜色k的使用指标

原问题约束对应的对偶变量：

1. 约束∑{k} x{e,k} = 1 对应 α_e（无符号限制）
2. 约束∑{e∈δ(v)} x{e,k} ≤ 1 对应 β_{v,k} ≥ 0
3. 约束y_k ≥ x_{e,k} 对应 γ_{e,k} ≥ 0
4. 约束y_k ≤ ∑{e} x{e,k} 对应 δ_k ≥ 0

对偶问题：

\[\begin{aligned} \max & \sum_{e \in E} \alpha_e - \sum_{v \in V} \sum_{k=1}^{K} \beta_{v,k} - \sum_{k=1}^{K} \delta_k \\ \text{s.t.} & \alpha_e - \sum_{v \in e} \beta_{v,k} - \gamma_{e,k} + \delta_k \leq 0, \quad \forall e \in E, k = 1,...,K \\ & \sum_{e \in E} \gamma_{e,k} - \delta_k \leq 1, \quad \forall k = 1,...,K \\ & \beta_{v,k} \geq 0, \gamma_{e,k} \geq 0, \delta_k \geq 0 \end{aligned} \]

五、求解方法与舍入算法

5.1 精确求解方法

对于小型图，可以直接使用整数线性规划求解器：

# 伪代码：精确求解边着色问题
输入：图G=(V,E)
1. 计算最大度数Δ = max(deg(v)) for v in V
2. 设置颜色数上界K = Δ + 1
3. 构建上述整数线性规划模型
4. 使用分支定界法或割平面法求解
5. 返回最优解（最小颜色数和着色方案）

5.2 近似算法：基于线性规划松弛的舍入方法

我们可以设计一个基于线性规划松弛的随机舍入算法：

算法步骤：

1. 求解线性规划松弛，得到分数解x*_{e,k}
2. 对于每条边e，x*_{e,k}定义了在颜色k上的概率分布
3. 独立地为每条边随机选择一种颜色，选择颜色k的概率为x*_{e,k}
4. 处理冲突：如果相邻边被分配了相同颜色，重新分配颜色

更系统的舍入算法：

Algorithm EdgeColoringRounding:
输入：图G=(V,E)，线性规划松弛解{x*_{e,k}}
输出：边着色方案

1. 初始化：所有边未着色
2. 对于每种颜色k=1到K：
   a. 构建二分图H_k = (V, E_k)，其中E_k包含边e当且仅当x*_{e,k} > 0
   b. 为H_k中的每条边e赋予权重w_e = x*_{e,k}
   c. 在H_k中找最大权匹配M_k（每个顶点最多关联一条边）
   d. 将匹配M_k中的边着色为颜色k
   e. 从原问题中移除已着色的边
3. 如果还有未着色的边，使用新颜色单独着色

5.3 理论保证

这个算法能保证：

1. 使用的颜色数不超过Δ+O(√Δ)（对于一般图）
2. 对于二分图，能使用Δ种颜色完美着色（Kőnig定理）
3. 对于简单图，最多使用Δ+1种颜色（Vizing定理）

六、实例演示

6.1 示例图

考虑一个简单图：完全图K₄（4个顶点，6条边）

顶点：{1,2,3,4}
边：{(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}

最大度数Δ=3

6.2 线性规划建模

设置颜色数K=4（因为Δ+1=4）

变量：x_{e,k}，其中e=1,...,6，k=1,...,4

约束：

1. 每条边一种颜色：对于e=1,...,6，∑{k=1}^4 x{e,k} = 1
2. 每个顶点每种颜色最多一条边：
   • 顶点1：x_{(1,2),k} + x_{(1,3),k} + x_{(1,4),k} ≤ 1，对k=1,...,4
   • 类似约束对顶点2,3,4

6.3 求解过程

最优整数解需要3种颜色（因为K₄是二分图的补图，需要Δ种颜色=3种）：

颜色1: (1,2), (3,4)
颜色2: (1,3), (2,4)
颜色3: (1,4), (2,3)

6.4 线性规划松弛解

线性规划松弛的最优解可能给出分数解，例如：

• 每条边在3种颜色上均匀分配：x_{e,k} = 1/3（对于k=1,2,3），x_{e,4}=0
• 目标函数值：3

七、算法实现与复杂度分析

7.1 算法实现框架

import pulp
import networkx as nx

def edge_coloring_lp(graph):
    """基于线性规划的边着色算法"""
    # 1. 计算最大度数
    delta = max(dict(graph.degree()).values())
    K = delta + 1  # Vizing定理上界
    
    # 2. 创建问题实例
    prob = pulp.LpProblem("Edge_Coloring", pulp.LpMinimize)
    
    # 3. 创建变量
    x_vars = {}
    for e in graph.edges():
        for k in range(K):
            x_vars[(e, k)] = pulp.LpVariable(f"x_{e}_{k}", 0, 1, pulp.LpContinuous)
    
    y_vars = {}
    for k in range(K):
        y_vars[k] = pulp.LpVariable(f"y_{k}", 0, 1, pulp.LpContinuous)
    
    # 4. 目标函数：最小化使用颜色数
    prob += pulp.lpSum(y_vars[k] for k in range(K))
    
    # 5. 约束条件
    # 每条边必须选择一种颜色
    for e in graph.edges():
        prob += pulp.lpSum(x_vars[(e, k)] for k in range(K)) == 1
    
    # 相邻边不能同色
    for v in graph.nodes():
        for k in range(K):
            incident_edges = [e for e in graph.edges() if v in e]
            prob += pulp.lpSum(x_vars[(e, k)] for e in incident_edges) <= 1
    
    # y_k约束
    for k in range(K):
        for e in graph.edges():
            prob += y_vars[k] >= x_vars[(e, k)]
        prob += y_vars[k] <= pulp.lpSum(x_vars[(e, k)] for e in graph.edges())
    
    # 6. 求解
    prob.solve()
    
    return prob, x_vars, y_vars

7.2 复杂度分析

1. 变量数：O(|E|·K) = O(|E|·Δ)
2. 约束数：O(|V|·K + |E|) = O(|V|·Δ + |E|)
3. 线性规划求解：多项式时间，但实际效率取决于图规模
4. 舍入算法：每次迭代需要求解最大权匹配，可以在O(|V|³)时间内完成

八、扩展与变体

8.1 列表边着色

每条边e有一个允许的颜色列表L(e) ⊆ {1,...,K}，约束修改为：

\[\sum_{k \in L(e)} x_{e,k} = 1 \]

8.2 加权边着色

边e着色为颜色k的成本为c_{e,k}，目标函数修改为：

\[\min \sum_{e \in E} \sum_{k=1}^{K} c_{e,k} x_{e,k} \]

8.3 调度应用

边着色问题等价于：

• 会议安排：边表示会议，顶点表示参与者，颜色表示时间段
• 任务调度：边表示需要两种资源（顶点）的任务，颜色表示时间槽

九、总结

图边着色问题的线性规划方法提供了：

1. 建模灵活性：可以轻松添加各种约束（如资源限制、优先级等）
2. 理论下界：线性规划松弛提供最优解的下界
3. 舍入算法基础：分数解可用于设计近似算法
4. 扩展性：可处理带权、带列表约束的变体问题

虽然边着色的一般问题是NP-hard，但通过线性规划方法，我们可以：

• 精确求解中等规模实例
• 设计有理论保证的近似算法
• 理解问题的组合结构
• 为实际问题提供实用的解决方案

这种方法展示了线性规划在组合优化问题中的强大建模能力和求解灵活性。