带限制的最大子矩阵和（限制子矩阵面积至少为S）

问题描述

给定一个 m × n 的整数矩阵 matrix 和一个整数 S，要求找出一个子矩阵，使得该子矩阵内所有元素的和最大，并且子矩阵的面积（即行数乘以列数）至少为 S。返回该最大和。

例如：

matrix = [
  [1, 2, -1],
  [3, 4,  5],
  [-2, 0, 2]
]
S = 4

可能的子矩阵之一是整个矩阵（面积=9，和=1+2-1+3+4+5-2+0+2=14），但题目要求面积至少为4，因此允许取部分子矩阵。其中一个满足面积至少4且和最大的子矩阵是：

[3, 4]
[-2, 0]

面积=2×2=4≥S，和=3+4+(-2)+0=5。但这是最大吗？检查所有子矩阵后，最大和是取整个矩阵的和14，因为其面积9≥4，且和14最大，所以答案是14。

实际上，当S较小时，最大和往往对应面积较大的子矩阵（因为可以包含更多正数）。但如果矩阵中有很多负数，则需要在面积约束和元素和之间权衡。

题目本质：在二维矩阵中，找一个面积至少为S的连续子矩阵，使得元素和最大。

解题思路

这是一个二维动态规划（或者更准确说是二维前缀和 + 滑动窗口/枚举优化）的问题。
直接暴力枚举所有子矩阵需要 O(m²n²) 的时间（枚举左上角、右下角），在 m,n 较大时不可接受。我们需要更高效的方法。

核心步骤：

1. 预处理二维前缀和

   • 定义 prefix[i][j] 表示原矩阵中从 (0,0) 到 (i-1,j-1) 的子矩阵和（i,j 从1开始计数）。
   • 计算：prefix[i][j] = matrix[i-1][j-1] + prefix[i-1][j] + prefix[i][j-1] - prefix[i-1][j-1]。
   • 这样可以在 O(1) 时间内得到任意子矩阵的和：
     子矩阵左上角 (r1,c1)，右下角 (r2,c2)（0-based）的和为：

     sum = prefix[r2+1][c2+1] - prefix[r1][c2+1] - prefix[r2+1][c1] + prefix[r1][c1]
     

2. 将问题转化为一维问题

   • 固定子矩阵的上下边界（行 r1 到 r2），将这一多行合并成“一维数组”：

     colSum[c] = sum_{row=r1..r2} matrix[row][c]
     

     我们可以用前缀和快速得到：colSum[c] = prefix[r2+1][c+1] - prefix[r1][c+1] - prefix[r2+1][c] + prefix[r1][c]（实际上可以直接用前缀和差值得到）。
   • 问题变为：在这个一维数组 colSum[0..n-1] 中，找一个长度至少为 L 的连续子数组，使得和最大，且 L 满足：子矩阵的列数≥ ceil(S / (r2-r1+1))（因为面积=行数×列数≥S）。

3. 在一维数组中找长度至少为L的最大和子数组

   • 设当前行数为 k = r2 - r1 + 1，则要求列数 cols ≥ ceil(S / k)。
   • 我们令 minCols = ceil(S / k)。
   • 问题：在数组 A[0..n-1]（即 colSum）中，找长度至少为 minCols 的连续子数组的最大和。
   • 这可以用 前缀和 + 维护最小前缀和 的方法解决：
     1. 计算前缀和 pref[j] = sum(A[0..j-1])，pref[0]=0。
     2. 遍历 j 从 minCols 到 n：
        • 当前子数组结尾于 j-1，长度为 len（len ≥ minCols），其和为 pref[j] - pref[j-len]。
        • 对所有可能的 len≥minCols，我们只需维护 pref[j-minCols] 之前的最小前缀和 minPref（包括 pref[0..j-minCols]），那么以 j 结尾的满足长度≥minCols 的最大子数组和为 pref[j] - minPref。
        • 更新 minPref = min(minPref, pref[j-minCols+1]) 注意下标。
          正确实现时，我们让 j 从 minCols 到 n，维护 minPref = min(minPref, pref[j-minCols]) 即可。

4. 枚举行边界并求最大值

   • 枚举所有可能的 r1 和 r2（O(m²)），对每一对行，用 O(n) 时间求一维问题的解。
   • 总复杂度 O(m² × n)，在 m 和 n 约 200 时可行。
   • 若 m>n，可以转置矩阵，保证 O(min(m,n)² × max(m,n))。

详细算法步骤

1. 输入矩阵 matrix（m 行 n 列）和整数 S。
2. 计算二维前缀和 prefix，大小为 (m+1)×(n+1)。
3. 初始化答案 ans = -inf。
4. 枚举上边界 r1 从 0 到 m-1：
   • 枚举下边界 r2 从 r1 到 m-1：
     • 行数 k = r2 - r1 + 1。
     • 最小所需列数 minCols = ceil(S / k)。若 minCols > n，则此 k 不可能满足面积≥S，跳过。
     • 构造一维数组 colSum[0..n-1]，其中 colSum[c] = 从 r1 到 r2 行第 c 列的和，用二维前缀和公式快速计算。
     • 计算一维数组 colSum 的前缀和 pref[0..n]，pref[0]=0。
     • 初始化 minPref = pref[0]。
     • 对于 j 从 minCols 到 n：
       • currentSum = pref[j] - minPref。
       • 更新 ans = max(ans, currentSum)。
       • 更新 minPref = min(minPref, pref[j-minCols+1])（注意：j-minCols+1 可能会超出范围吗？不，因为 j≥minCols，j-minCols+1≥1，且 j-minCols+1 ≤ n-minCols+1 ≤ n，但 pref 长度 n+1，所以安全）。
     • 注意：当 minCols=0 时（S=0 时可能），但面积至少 S，S=0 相当于无面积限制，我们直接求最大子矩阵和即可（此时 minCols=0，一维问题退化为普通最大子数组和，用 Kadane 算法）。
5. 返回 ans。

例子演示

例：

matrix = [[2, 1, -3],
          [0, 6,  5]]
S = 3

1. 前缀和：

prefix:
0 0 0 0
0 2 3 0
0 2 9 11

2. 枚举：

• r1=0, r2=0: k=1, minCols=ceil(3/1)=3。
  一维数组 colSum = [2, 1, -3]。
  pref = [0, 2, 3, 0]。
  j=3: currentSum=pref[3]-minPref=0-min(0,2,3)=0-0=0。
  ans=0。
  但长度刚好3，其实列数=3≥3，和=2+1-3=0。
• r1=0, r2=1: k=2, minCols=ceil(3/2)=2。
  colSum = 第一列:2+0=2；第二列:1+6=7；第三列:-3+5=2 → [2,7,2]。
  pref=[0,2,9,11]。
  minPref=pref[0]=0。
  j=2: currentSum=pref[2]-0=9，更新 ans=9。
  minPref=min(0, pref[0])=0（j-minCols+1=2-2+1=1，pref[1]=2，但 minPref 还是 0）。
  j=3: currentSum=pref[3]-0=11，更新 ans=11。
  所以得到子矩阵是整个矩阵，面积=2×3=6≥3，和=11。
• r1=1, r2=1: k=1, minCols=3>n=3? 不，minCols=3==n=3，可以。
  colSum=[0,6,5]，pref=[0,0,6,11]。
  minPref=0。
  j=3: currentSum=11-0=11，更新 ans=11。
  最终 ans=11。

复杂度分析

• 预处理前缀和：O(mn)。
• 枚举行对：O(m²)。
• 对每个行对，O(n) 时间求解一维问题。
• 总复杂度 O(m²n) 或 O(mn²)（通过转置保证 m≤n）。
• 空间复杂度 O(mn) 用于前缀和。

边界情况与注意事项

1. S 可能为 0：此时面积至少 0 相当于无限制，就是经典的最大子矩阵和问题（可用 Kadane 思想在 O(m²n) 解决）。
2. S 可能很大（如大于 m×n）：此时无解（但题目通常保证有解，因为至少可以取整个矩阵）。
3. 矩阵元素可能有负数，所以初始 ans 要设为 -inf。
4. 一维问题中，minCols 可能为 0（当 S=0），此时需单独处理，或者用 Kadane 算法求最大子数组和（无长度限制）。
5. 若 minCols>n，则该行数不可能满足面积≥S，直接跳过。

代码框架（Python）

import math

def maxSubmatrixSum(matrix, S):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    # 1. 二维前缀和
    prefix = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            prefix[i][j] = matrix[i-1][j-1] + prefix[i-1][j] + prefix[i][j-1] - prefix[i-1][j-1]
    
    ans = float('-inf')
    # 2. 枚举上下行
    for r1 in range(m):
        for r2 in range(r1, m):
            k = r2 - r1 + 1
            minCols = (S + k - 1) // k  # ceil(S/k)
            if minCols > n:
                continue
            # 构建一维数组 colSum
            colSum = [0]*n
            for c in range(n):
                # sum of rows r1..r2 in column c
                colSum[c] = prefix[r2+1][c+1] - prefix[r1][c+1] - prefix[r2+1][c] + prefix[r1][c]
            # 一维问题：长度至少 minCols 的最大和子数组
            # 方法：前缀和+维护最小前缀和
            pref = [0]*(n+1)
            for c in range(1, n+1):
                pref[c] = pref[c-1] + colSum[c-1]
            minPref = pref[0]
            for j in range(minCols, n+1):
                current = pref[j] - minPref
                if current > ans:
                    ans = current
                # 更新 minPref 为 pref[j-minCols+1] 之前的最小值
                # 实际上我们维护的是 pref[0..j-minCols] 的最小值
                minPref = min(minPref, pref[j-minCols+1])
    return ans

总结

这道题结合了二维前缀和、枚举优化和带长度限制的一维最大子数组和三个知识点。通过固定行边界将二维问题降为一维，再巧妙利用前缀和与最小前缀和来满足长度约束，最终在合理时间复杂度内求解。掌握这个套路，可以解决很多类似“带限制的子矩阵”问题。