对称矩阵三对角化的Givens旋转方法

字数 3687 2025-12-11 03:26:38

对称矩阵三对角化的Givens旋转方法

题目描述：
对于给定的n×n实对称矩阵A，我们需要将其通过正交相似变换化为对称三对角矩阵T，即找到正交矩阵Q使得 \(Q^T A Q = T\)，其中T仅在主对角线及其相邻的两条次对角线上有非零元素。本题目要求使用Givens旋转这一数值稳定的方法实现这一过程，并详细解释其逐步消元的思想。

解题过程：

1. 目标与基本思想
对称矩阵的三对角化是许多特征值算法（如QR算法、分治法）的关键预处理步骤。我们希望通过一系列正交变换（这里用Givens旋转）逐步将A化为三对角形式。由于A对称，我们只需关注上三角部分（包括对角线）的非零元素的消除。核心思路是：从第一列开始，逐列消去该列中位于次对角线以下更远位置的非零元，每次消除一个元素，同时保持矩阵的对称性。

2. Givens旋转矩阵回顾
一个Givens旋转矩阵 \(G(i,j,\theta)\) 是一个单位正交矩阵，它仅在(i,i), (i,j), (j,i), (j,j)四个位置与单位矩阵不同，构成一个2x2的旋转子矩阵：

\[\begin{bmatrix} c & s \\ -s & c \end{bmatrix} \]

其中 \(c = \cos\theta, s = \sin\theta\)，满足 \(c^2 + s^2 = 1\)。左乘 \(G^T\) 作用于矩阵的行i和行j，右乘 \(G\) 作用于列i和列j。对于向量 \([x, y]^T\)，可以通过选择 \(c, s\) 使得旋转后第二个分量变为0。

3. 消元过程的步骤分解
假设A是5x5对称矩阵。过程按列进行，从第1列到第n-2列（最后两列不需要再消元，因为三对角形式只允许次对角线非零）。

第1列的处理（消去a_{31}, a_{41}, a_{51}）：
- 目标：将第1列中行下标≥3的元素（即a_{31}, a_{41}, a_{51}）变为0。由于对称性，相应的第一行这些位置也会变为0。
- 步骤：
  1. 先消去a_{51}。构造Givens旋转 \(G_{45}\) (作用在行4和行5)，选择c, s使得作用于向量[A(4,1), A(5,1)]^T时，将第二个分量（即A(5,1)）变为0。记更新：\(A \leftarrow G_{45}^T A\)。由于我们只关心结构，假设A(5,1)现在为0。
  2. 为了保持相似变换（保证特征值不变），我们需要同时右乘 \(G_{45}\)：\(A \leftarrow A G_{45}\)。右乘只会影响列4和列5。
  3. 由于A原本对称且第一步左乘保持了对称性（因为G_{45}是正交的），右乘后矩阵仍然对称。现在A(5,1)和A(1,5)均为0。
  4. 接下来消去a_{41}。构造Givens旋转 \(G_{34}\) (作用在行3和行4)，将当前A(4,1)变为0。更新：\(A \leftarrow G_{34}^T A\)，然后 \(A \leftarrow A G_{34}\)。
  5. 最后消去a_{31}。构造Givens旋转 \(G_{23}\) (作用在行2和行3)，将当前A(3,1)变为0。更新：\(A \leftarrow G_{23}^T A\)，然后 \(A \leftarrow A G_{23}\)。
- 完成后：第1列只有前两个元素（即a_{11}和a_{21}）非零，且由于对称性，第1行也只有前两个元素非零。矩阵形式变为：

\[ \begin{bmatrix} \times & \times & 0 & 0 & 0 \\ \times & \times & \times & \times & \times \\ 0 & \times & \times & \times & \times \\ 0 & \times & \times & \times & \times \\ 0 & \times & \times & \times & \times \end{bmatrix} \]

    其中×表示非零元。注意，在消去过程中，右乘操作可能会在已清零的区域（如列4和列5的行1位置）重新引入非零元吗？不会。因为右乘 $ G_{45} $ 只混合列4和列5，而第一行在这些列原本是0（初始时第一行只有前两列非零，后续消元时第一行在前两列之外的位置一直保持为0），所以混合后第一行在列4和列5仍然是0。同理，后续右乘也不会破坏第一列已得到的零元。

第2列的处理（消去a_{42}, a_{52}）：
- 目标：在第2列中，现在需要关注行下标≥4的元素（即a_{42}, a_{52}）。注意a_{32}是次对角线元素，应保留。
- 步骤：
  1. 从最下方开始，先消去a_{52}。构造Givens旋转 \(G_{45}\) (注意这里下标是针对当前活跃的行，即行4和行5)，作用于当前A的第2列的行4和行5元素，将A(5,2)变为0。更新：\(A \leftarrow G_{45}^T A\)，然后 \(A \leftarrow A G_{45}\)。
  2. 然后消去a_{42}。构造Givens旋转 \(G_{34}\) (作用在行3和行4)，将A(4,2)变为0。更新：\(A \leftarrow G_{34}^T A\)，然后 \(A \leftarrow A G_{34}\)。
- 完成后：第2列只有前三个元素（a_{12}, a_{22}, a_{32}）非零。由于对称性，第2行也只有前三个元素非零。矩阵变为：

\[ \begin{bmatrix} \times & \times & 0 & 0 & 0 \\ \times & \times & \times & 0 & 0 \\ 0 & \times & \times & \times & \times \\ 0 & 0 & \times & \times & \times \\ 0 & 0 & \times & \times & \times \end{bmatrix} \]

第3列的处理（消去a_{53}）：
- 目标：在第3列中，消去行下标≥5的元素，即a_{53}。
- 步骤：构造Givens旋转 \(G_{45}\) (作用在行4和行5)，将A(5,3)变为0。更新：\(A \leftarrow G_{45}^T A\)，然后 \(A \leftarrow A G_{45}\)。
- 完成后：矩阵达到三对角形式T：

\[ T = \begin{bmatrix} \times & \times & 0 & 0 & 0 \\ \times & \times & \times & 0 & 0 \\ 0 & \times & \times & \times & 0 \\ 0 & 0 & \times & \times & \times \\ 0 & 0 & 0 & \times & \times \end{bmatrix} \]

4. 正交矩阵Q的累积
整个变换由一系列Givens旋转的乘积实现：\(Q = G_1 G_2 ... G_m\)，其中每个 \(G_k\) 是上述步骤中的一个Givens旋转矩阵。我们可以初始化 \(Q = I\)，然后在每次进行右乘更新 \(A \leftarrow A G\) 时，也同步更新 \(Q \leftarrow Q G\)。最终得到的Q满足 \(Q^T A_{原始} Q = T\)。

5. 算法总结与特点

输入：n×n实对称矩阵A。
输出：三对角矩阵T（通常就存放在A的对应位置），以及正交变换矩阵Q（如果需要）。
循环：对于列 \(j = 1\) 到 \(n-2\)：
- 对于行 \(i = n\) 下降到 \(j+2\)：
  1. 计算Givens旋转参数c, s，使得作用于A(i-1:i, j)时零化第二个元素。
  2. 应用旋转：\(A \leftarrow G^T A\)（只更新行i-1和i）。
  3. 应用旋转：\(A \leftarrow A G\)（只更新列i-1和i）。
  4. 若需累积Q，则更新 \(Q \leftarrow Q G\)。
特点：Givens旋转特别适合于稀疏矩阵或需要零化特定元素的情况，数值稳定性很好，但运算量通常比Householder变换略大（约多50%）。对于稠密对称矩阵，Householder变换更高效；但对于带状或已有大量零元的矩阵，Givens旋转可以避免不必要的操作。

通过以上循序渐进的消元，我们使用Givens旋转将对称矩阵A正交相似约化为对称三对角矩阵T，为后续的特征值计算奠定了基础。

对称矩阵三对角化的Givens旋转方法题目描述：对于给定的n×n实对称矩阵A，我们需要将其通过正交相似变换化为对称三对角矩阵T，即找到正交矩阵Q使得 \( Q^T A Q = T \)，其中T仅在主对角线及其相邻的两条次对角线上有非零元素。本题目要求使用Givens旋转这一数值稳定的方法实现这一过程，并详细解释其逐步消元的思想。解题过程： 1. 目标与基本思想对称矩阵的三对角化是许多特征值算法（如QR算法、分治法）的关键预处理步骤。我们希望通过一系列正交变换（这里用Givens旋转）逐步将A化为三对角形式。由于A对称，我们只需关注上三角部分（包括对角线）的非零元素的消除。核心思路是：从第一列开始，逐列消去该列中位于次对角线以下更远位置的非零元，每次消除一个元素，同时保持矩阵的对称性。 2. Givens旋转矩阵回顾一个Givens旋转矩阵 \( G(i,j,\theta) \) 是一个单位正交矩阵，它仅在(i,i), (i,j), (j,i), (j,j)四个位置与单位矩阵不同，构成一个2x2的旋转子矩阵： \[ \begin{bmatrix} c & s \\ -s & c \end{bmatrix} \] 其中 \( c = \cos\theta, s = \sin\theta \)，满足 \( c^2 + s^2 = 1 \)。左乘 \( G^T \) 作用于矩阵的行i和行j，右乘 \( G \) 作用于列i和列j。对于向量 \( [ x, y ]^T \)，可以通过选择 \( c, s \) 使得旋转后第二个分量变为0。 3. 消元过程的步骤分解假设A是5x5对称矩阵。过程按列进行，从第1列到第n-2列（最后两列不需要再消元，因为三对角形式只允许次对角线非零）。第1列的处理（消去a_ {31}, a_ {41}, a_ {51}）：目标：将第1列中行下标≥3的元素（即a_ {31}, a_ {41}, a_ {51}）变为0。由于对称性，相应的第一行这些位置也会变为0。步骤：先消去a_ {51}。构造Givens旋转 \( G_ {45} \) (作用在行4和行5)，选择c, s使得作用于向量[ A(4,1), A(5,1)]^T时，将第二个分量（即A(5,1)）变为0。记更新：\( A \leftarrow G_ {45}^T A \)。由于我们只关心结构，假设A(5,1)现在为0。为了保持相似变换（保证特征值不变），我们需要同时右乘 \( G_ {45} \)：\( A \leftarrow A G_ {45} \)。右乘只会影响列4和列5。由于A原本对称且第一步左乘保持了对称性（因为G_ {45}是正交的），右乘后矩阵仍然对称。现在A(5,1)和A(1,5)均为0。接下来消去a_ {41}。构造Givens旋转 \( G_ {34} \) (作用在行3和行4)，将当前A(4,1)变为0。更新：\( A \leftarrow G_ {34}^T A \)，然后 \( A \leftarrow A G_ {34} \)。最后消去a_ {31}。构造Givens旋转 \( G_ {23} \) (作用在行2和行3)，将当前A(3,1)变为0。更新：\( A \leftarrow G_ {23}^T A \)，然后 \( A \leftarrow A G_ {23} \)。完成后：第1列只有前两个元素（即a_ {11}和a_ {21}）非零，且由于对称性，第1行也只有前两个元素非零。矩阵形式变为： \[ \begin{bmatrix} \times & \times & 0 & 0 & 0 \\ \times & \times & \times & \times & \times \\ 0 & \times & \times & \times & \times \\ 0 & \times & \times & \times & \times \\ 0 & \times & \times & \times & \times \end{bmatrix} \] 其中×表示非零元。注意，在消去过程中，右乘操作可能会在已清零的区域（如列4和列5的行1位置）重新引入非零元吗？不会。因为右乘 \( G_ {45} \) 只混合列4和列5，而第一行在这些列原本是0（初始时第一行只有前两列非零，后续消元时第一行在前两列之外的位置一直保持为0），所以混合后第一行在列4和列5仍然是0。同理，后续右乘也不会破坏第一列已得到的零元。第2列的处理（消去a_ {42}, a_ {52}）：目标：在第2列中，现在需要关注行下标≥4的元素（即a_ {42}, a_ {52}）。注意a_ {32}是次对角线元素，应保留。步骤：从最下方开始，先消去a_ {52}。构造Givens旋转 \( G_ {45} \) (注意这里下标是针对当前活跃的行，即行4和行5)，作用于当前A的第2列的行4和行5元素，将A(5,2)变为0。更新：\( A \leftarrow G_ {45}^T A \)，然后 \( A \leftarrow A G_ {45} \)。然后消去a_ {42}。构造Givens旋转 \( G_ {34} \) (作用在行3和行4)，将A(4,2)变为0。更新：\( A \leftarrow G_ {34}^T A \)，然后 \( A \leftarrow A G_ {34} \)。完成后：第2列只有前三个元素（a_ {12}, a_ {22}, a_ {32}）非零。由于对称性，第2行也只有前三个元素非零。矩阵变为： \[ \begin{bmatrix} \times & \times & 0 & 0 & 0 \\ \times & \times & \times & 0 & 0 \\ 0 & \times & \times & \times & \times \\ 0 & 0 & \times & \times & \times \\ 0 & 0 & \times & \times & \times \end{bmatrix} \] 第3列的处理（消去a_ {53}）：目标：在第3列中，消去行下标≥5的元素，即a_ {53}。步骤：构造Givens旋转 \( G_ {45} \) (作用在行4和行5)，将A(5,3)变为0。更新：\( A \leftarrow G_ {45}^T A \)，然后 \( A \leftarrow A G_ {45} \)。完成后：矩阵达到三对角形式T： \[ T = \begin{bmatrix} \times & \times & 0 & 0 & 0 \\ \times & \times & \times & 0 & 0 \\ 0 & \times & \times & \times & 0 \\ 0 & 0 & \times & \times & \times \\ 0 & 0 & 0 & \times & \times \end{bmatrix} \] 4. 正交矩阵Q的累积整个变换由一系列Givens旋转的乘积实现：\( Q = G_ 1 G_ 2 ... G_ m \)，其中每个 \( G_ k \) 是上述步骤中的一个Givens旋转矩阵。我们可以初始化 \( Q = I \)，然后在每次进行右乘更新 \( A \leftarrow A G \) 时，也同步更新 \( Q \leftarrow Q G \)。最终得到的Q满足 \( Q^T A_ {原始} Q = T \)。 5. 算法总结与特点输入：n×n实对称矩阵A。输出：三对角矩阵T（通常就存放在A的对应位置），以及正交变换矩阵Q（如果需要）。循环：对于列 \( j = 1 \) 到 \( n-2 \)：对于行 \( i = n \) 下降到 \( j+2 \)：计算Givens旋转参数c, s，使得作用于A(i-1:i, j)时零化第二个元素。应用旋转：\( A \leftarrow G^T A \)（只更新行i-1和i）。应用旋转：\( A \leftarrow A G \)（只更新列i-1和i）。若需累积Q，则更新 \( Q \leftarrow Q G \)。特点：Givens旋转特别适合于稀疏矩阵或需要零化特定元素的情况，数值稳定性很好，但运算量通常比Householder变换略大（约多50%）。对于稠密对称矩阵，Householder变换更高效；但对于带状或已有大量零元的矩阵，Givens旋转可以避免不必要的操作。通过以上循序渐进的消元，我们使用Givens旋转将对称矩阵A正交相似约化为对称三对角矩阵T，为后续的特征值计算奠定了基础。