基于Krylov子空间的DMRG算法在求解一维量子多体系统基态中的应用
字数 3262 2025-12-11 03:04:05

基于Krylov子空间的DMRG算法在求解一维量子多体系统基态中的应用

题目描述

考虑一个一维量子多体系统（如一维自旋链），其哈密顿量 \(H\) 是一个大型稀疏厄米矩阵（维度随系统尺寸指数增长）。目标是计算该系统的基态（能量最低的本征态）及其能量。由于全希尔伯特空间维度巨大，直接对角化不可行。密度矩阵重整化群（DMRG）是一种基于变分原理的数值方法，通过迭代优化矩阵乘积态（MPS）来逼近基态。其中，在每一局部优化步骤中，需要求解一个有效哈密顿量的最小本征值问题，这通常通过基于Krylov子空间的算法（如Lanczos方法）高效完成。本题将详细讲解如何将Krylov子空间方法嵌入DMRG框架，用于求解一维量子多体系统的基态。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：理解问题背景与DMRG基本思想

  • 物理系统：一维链上有 \(L\) 个局域量子位（如自旋-1/2），每个位有 \(d\) 个状态（如 \(d=2\)）。整个系统的希尔伯特空间维度为 \(d^L\)，即使 \(L=20\) 时维度已超百万，直接存储或对角化 \(H\) 不可能。
  • DMRG核心思想：用矩阵乘积态（MPS） 近似表示量子态。MPS将高维张量分解为一系列局部矩阵的乘积，通过控制矩阵的截断维数 \(\chi\)（称为“键维数”）来压缩表示，从而大幅降低参数数量。
  • 变分优化：DMRG通过交替最小化逐个优化MPS中的每个局部矩阵，每次只优化一个或两个相邻位点的矩阵，而固定其他部分。

步骤2：DMRG的单点优化步骤与有效哈密顿量

假设我们已经有一个MPS表示，现在要优化第 \(k\) 个位点对应的矩阵 \(M_k\)（其元素为 \(M_k^{s_k}\)，\(s_k\) 是物理指标）。

  1. 构造有效哈密顿量：
    • 将整个系统划分为左块（位点1到 \(k-1\)）、当前位点 \(k\)、右块（位点 \(k+1\) 到 \(L\)）。
    • 固定左右块的张量，将全局哈密顿量 \(H\) 投影到当前位点的物理空间上，得到一个有效哈密顿量 \(H_{\text{eff}}\)，它作用在 \(M_k\) 上（将 \(M_k\) 视为向量）。
    • 数学上，\(H_{\text{eff}}\) 的维度为 \(d \chi^2 \times d \chi^2\)，通常远小于原 \(H\) 的维度。
  2. 优化目标：求解 \(H_{\text{eff}}\) 的最小本征值 \(E_0\) 及对应的本征向量 \(v_{\text{opt}}\)，然后更新 \(M_k = \text{reshape}(v_{\text{opt}})\)。

步骤3：引入Krylov子空间方法求解最小本征问题

对于 \(H_{\text{eff}}\)（大型稀疏厄米矩阵），我们采用Lanczos算法（一种基于Krylov子空间的迭代法）来求解其最小本征对。

  • Krylov子空间：给定初始向量 \(v_0\)（通常取当前 \(M_k\) 的向量化），构造子空间

\[ \mathcal{K}_m = \text{span}\{ v_0, H_{\text{eff}} v_0, H_{\text{eff}}^2 v_0, \dots, H_{\text{eff}}^{m-1} v_0 \}, \]

其中 \(m \ll \text{dim}(H_{\text{eff}})\)。

  • Lanczos过程：通过三项递推公式，生成一组标准正交基 \(q_1, q_2, \dots, q_m\) 和一个三对角矩阵 \(T_m\)，使得

\[ H_{\text{eff}} Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_{m+1} e_m^T, \]

其中 \(Q_m = [q_1, \dots, q_m]\)，\(T_m\) 是 \(m \times m\) 的实对称三对角矩阵。

  • 求解投影问题：计算 \(T_m\) 的最小本征值 \(\theta_{\min}\) 及对应本征向量 \(y_{\min}\)（通过快速三对角矩阵特征值算法，如QR迭代）。
  • 近似解：得到近似最小本征向量 \(v_{\text{approx}} = Q_m y_{\min}\)，对应的能量近似为 \(\theta_{\min}\)。

步骤4：在DMRG迭代中整合Lanczos步骤

DMRG的一次完整迭代（扫掠）包括从左到右、再从右到左优化每个位点：

  1. 初始化：随机生成或从之前迭代获得MPS，设定键维数 \(\chi\) 和Lanczos迭代步数 \(m\)（通常 \(m \sim 20-100\)）。
  2. 从左向右扫掠：
    • 对于每个位点 \(k = 1\) 到 \(L-1\)：
      a. 构造 \(H_{\text{eff}}\) 作用于当前位点（利用左、右环境张量的收缩）。
      b. 以当前 \(M_k\) 的向量化为初始向量，运行Lanczos算法，得到优化后的向量 \(v_{\text{opt}}\)。
      c. 将 \(v_{\text{opt}}\) 重塑为矩阵 \(M_k\)（维度 \(\chi_{k-1} \times d \times \chi_k\)），并利用奇异值分解（SVD）进行规范化和截断，更新 \(M_k\) 和 \(M_{k+1}\)。
      d. 更新左环境张量（用于下一个位点）。
  3. 从右向左扫掠：类似地反向进行。
  4. 收敛判断：重复扫掠，直至基态能量 \(E_0\) 的变化小于设定阈值（如 \(10^{-10}\)）。

步骤5：关键细节与优化

  • 稀疏矩阵向量乘法（MVM）：Lanczos中计算 \(H_{\text{eff}} v\) 是关键。\(H_{\text{eff}}\) 通常表示为多个张量网络收缩的和，需高效实现MVM而不显式构造 \(H_{\text{eff}}\) 的矩阵。
  • 初始向量：每次优化使用当前 \(M_k\) 作为初始向量，可加速Lanczos收敛。
  • 截断策略：SVD截断保留前 \(\chi\) 个奇异值，控制MPS的精度与计算量平衡。
  • 并行化：张量收缩和Lanczos迭代可并行，以处理更大系统。

步骤6：总结算法流程

  1. 输入：哈密顿量 \(H\)（作为矩阵乘积算子MPO）、链长 \(L\)、键维数 \(\chi\)、Lanczos步数 \(m\)、收敛阈值 \(\epsilon\)。
  2. 初始化MPS（如随机）并计算左右环境张量。
  3. 执行左右扫掠：
    • 在每个位点构造 \(H_{\text{eff}}\)。
    • 用Lanczos求解 \(H_{\text{eff}}\) 的最小本征对。
    • 更新MPS并截断。
  4. 计算全局能量 \(E = \langle \psi | H | \psi \rangle\)，若相邻两次扫掠 \(|\Delta E| < \epsilon\)，停止；否则返回步骤3。

为什么这样有效？

  • Krylov子空间 能高效捕捉最低本征态，尤其对于稀疏厄米矩阵，Lanczos只需少数迭代即可达到高精度。
  • DMRG的局部优化 将全局高维问题分解为一系列低维子问题，每个子问题可通过Krylov方法快速求解。
  • MPS表示 自然契合一维系统的纠缠结构，使算法在多项式时间内逼近基态。

通过结合Krylov子空间的快速本征求解与DMRG的变分压缩，该算法成为一维量子多体系统基态计算的基准方法。

基于Krylov子空间的DMRG算法在求解一维量子多体系统基态中的应用 题目描述 考虑一个一维量子多体系统（如一维自旋链），其哈密顿量 \( H \) 是一个大型稀疏厄米矩阵（维度随系统尺寸指数增长）。目标是计算该系统的基态（能量最低的本征态）及其能量。由于全希尔伯特空间维度巨大，直接对角化不可行。密度矩阵重整化群（DMRG）是一种基于变分原理的数值方法，通过迭代优化矩阵乘积态（MPS）来逼近基态。其中，在每一局部优化步骤中，需要求解一个有效哈密顿量的最小本征值问题，这通常通过基于Krylov子空间的算法（如Lanczos方法）高效完成。本题将详细讲解 如何将Krylov子空间方法嵌入DMRG框架，用于求解一维量子多体系统的基态 。 解题过程循序渐进讲解 步骤1：理解问题背景与DMRG基本思想 物理系统 ：一维链上有 \( L \) 个局域量子位（如自旋-1/2），每个位有 \( d \) 个状态（如 \( d=2 \)）。整个系统的希尔伯特空间维度为 \( d^L \)，即使 \( L=20 \) 时维度已超百万，直接存储或对角化 \( H \) 不可能。 DMRG核心思想 ：用 矩阵乘积态（MPS） 近似表示量子态。MPS将高维张量分解为一系列局部矩阵的乘积，通过控制矩阵的截断维数 \( \chi \)（称为“键维数”）来压缩表示，从而大幅降低参数数量。 变分优化 ：DMRG通过 交替最小化 逐个优化MPS中的每个局部矩阵，每次只优化一个或两个相邻位点的矩阵，而固定其他部分。 步骤2：DMRG的单点优化步骤与有效哈密顿量 假设我们已经有一个MPS表示，现在要优化第 \( k \) 个位点对应的矩阵 \( M_ k \)（其元素为 \( M_ k^{s_ k} \)，\( s_ k \) 是物理指标）。 构造有效哈密顿量 ： 将整个系统划分为左块（位点1到 \( k-1 \)）、当前位点 \( k \)、右块（位点 \( k+1 \) 到 \( L \)）。 固定左右块的张量，将全局哈密顿量 \( H \) 投影到当前位点的物理空间上，得到一个 有效哈密顿量 \( H_ {\text{eff}} \) ，它作用在 \( M_ k \) 上（将 \( M_ k \) 视为向量）。 数学上，\( H_ {\text{eff}} \) 的维度为 \( d \chi^2 \times d \chi^2 \)，通常远小于原 \( H \) 的维度。 优化目标 ：求解 \( H_ {\text{eff}} \) 的 最小本征值 \( E_ 0 \) 及对应的本征向量 \( v_ {\text{opt}} \)，然后更新 \( M_ k = \text{reshape}(v_ {\text{opt}}) \)。 步骤3：引入Krylov子空间方法求解最小本征问题 对于 \( H_ {\text{eff}} \)（大型稀疏厄米矩阵），我们采用 Lanczos算法 （一种基于Krylov子空间的迭代法）来求解其最小本征对。 Krylov子空间 ：给定初始向量 \( v_ 0 \)（通常取当前 \( M_ k \) 的向量化），构造子空间 \[ \mathcal{K} m = \text{span}\{ v_ 0, H {\text{eff}} v_ 0, H_ {\text{eff}}^2 v_ 0, \dots, H_ {\text{eff}}^{m-1} v_ 0 \}, \] 其中 \( m \ll \text{dim}(H_ {\text{eff}}) \)。 Lanczos过程 ：通过三项递推公式，生成一组标准正交基 \( q_ 1, q_ 2, \dots, q_ m \) 和一个三对角矩阵 \( T_ m \)，使得 \[ H_ {\text{eff}} Q_ m = Q_ m T_ m + \beta_ m q_ {m+1} e_ m^T, \] 其中 \( Q_ m = [ q_ 1, \dots, q_ m] \)，\( T_ m \) 是 \( m \times m \) 的实对称三对角矩阵。 求解投影问题 ：计算 \( T_ m \) 的最小本征值 \( \theta_ {\min} \) 及对应本征向量 \( y_ {\min} \)（通过快速三对角矩阵特征值算法，如QR迭代）。 近似解 ：得到近似最小本征向量 \( v_ {\text{approx}} = Q_ m y_ {\min} \)，对应的能量近似为 \( \theta_ {\min} \)。 步骤4：在DMRG迭代中整合Lanczos步骤 DMRG的一次完整迭代（扫掠）包括从左到右、再从右到左优化每个位点： 初始化 ：随机生成或从之前迭代获得MPS，设定键维数 \( \chi \) 和Lanczos迭代步数 \( m \)（通常 \( m \sim 20-100 \)）。 从左向右扫掠 ： 对于每个位点 \( k = 1 \) 到 \( L-1 \)： a. 构造 \( H_ {\text{eff}} \) 作用于当前位点（利用左、右环境张量的收缩）。 b. 以当前 \( M_ k \) 的向量化为初始向量，运行Lanczos算法，得到优化后的向量 \( v_ {\text{opt}} \)。 c. 将 \( v_ {\text{opt}} \) 重塑为矩阵 \( M_ k \)（维度 \( \chi_ {k-1} \times d \times \chi_ k \)），并利用奇异值分解（SVD）进行规范化和截断，更新 \( M_ k \) 和 \( M_ {k+1} \)。 d. 更新左环境张量（用于下一个位点）。 从右向左扫掠 ：类似地反向进行。 收敛判断 ：重复扫掠，直至基态能量 \( E_ 0 \) 的变化小于设定阈值（如 \( 10^{-10} \)）。 步骤5：关键细节与优化 稀疏矩阵向量乘法（MVM） ：Lanczos中计算 \( H_ {\text{eff}} v \) 是关键。\( H_ {\text{eff}} \) 通常表示为多个张量网络收缩的和，需高效实现MVM而不显式构造 \( H_ {\text{eff}} \) 的矩阵。 初始向量 ：每次优化使用当前 \( M_ k \) 作为初始向量，可加速Lanczos收敛。 截断策略 ：SVD截断保留前 \( \chi \) 个奇异值，控制MPS的精度与计算量平衡。 并行化 ：张量收缩和Lanczos迭代可并行，以处理更大系统。 步骤6：总结算法流程 输入：哈密顿量 \( H \)（作为矩阵乘积算子MPO）、链长 \( L \)、键维数 \( \chi \)、Lanczos步数 \( m \)、收敛阈值 \( \epsilon \)。 初始化MPS（如随机）并计算左右环境张量。 执行左右扫掠： 在每个位点构造 \( H_ {\text{eff}} \)。 用Lanczos求解 \( H_ {\text{eff}} \) 的最小本征对。 更新MPS并截断。 计算全局能量 \( E = \langle \psi | H | \psi \rangle \)，若相邻两次扫掠 \( |\Delta E| < \epsilon \)，停止；否则返回步骤3。 为什么这样有效？ Krylov子空间 能高效捕捉最低本征态，尤其对于稀疏厄米矩阵，Lanczos只需少数迭代即可达到高精度。 DMRG的局部优化 将全局高维问题分解为一系列低维子问题，每个子问题可通过Krylov方法快速求解。 MPS表示 自然契合一维系统的纠缠结构，使算法在多项式时间内逼近基态。 通过结合Krylov子空间的快速本征求解与DMRG的变分压缩，该算法成为一维量子多体系统基态计算的基准方法。