最小成本最大流问题的网络单纯形算法
字数 3073 2025-12-11 00:36:50

最小成本最大流问题的网络单纯形算法

题目描述

给定一个有向图 \(G = (V, E)\)，每条边有容量 \(u(e)\) 和非负成本 \(c(e)\)，以及源点 \(s\) 和汇点 \(t\)。目标是找到从 \(s\) 到 \(t\) 的最大流，并且在所有最大流中，总成本最小。这就是最小成本最大流问题。本题目要求用网络单纯形算法求解，这是一种基于线性规划单纯形法思想的专用算法，比通用线性规划求解器更高效。

1. 算法思想

网络单纯形算法将最小成本最大流问题建模为线性规划问题，但利用图的特殊结构进行优化：

  • 将流量分配表示为生成树结构（称为树解）。
  • 通过交换边（进基边与离基边）逐步改进解，直到满足最优性条件。
  • 核心是避免维护完整的单纯形表，而是直接在图上操作，利用树结构的性质快速计算。

2. 问题建模

设决策变量 \(f(e)\) 表示边 \(e\) 上的流量，则线性规划模型为：

\[\text{最小化} \quad \sum_{e \in E} c(e) f(e) \]

约束：

  1. 容量约束：\(0 \le f(e) \le u(e)\)。
  2. 流量守恒（除 \(s, t\) 外）：\(\sum_{e \in \text{in}(v)} f(e) = \sum_{e \in \text{out}(v)} f(e)\)。
  3. 最大流目标：从 \(s\) 流出的总量等于最大流值 \(F^*\)（可先求最大流，或作为算法结果）。

网络单纯形法通常先找一个可行树解，然后迭代优化。

3. 初始可行树解

我们需要一个生成树，包含所有顶点，且树边对应的流量满足容量约束和守恒。常用方法：

  • 加入人工边：从汇点 \(t\) 到源点 \(s\) 加一条无限容量、零成本的边，形成一个循环。
  • 初始树：选择所有顶点与“根”（通常为 \(t\) ）通过人工边或虚拟边连接，形成一棵树，并设初始流量为0（或可行流）。
  • 更实用的方法：先用最大流算法求一个最大流（忽略成本），再用树重构得到初始树解。

4. 树解的结构

  • 树 \(T\) 是图的生成树，非树边集合为 \(L\)（下边）和 \(U\)（上边）。
  • 每条非树边 \(e\) 的流量要么是 0（如果 \(e \in L\)），要么是 \(u(e)\)（如果 \(e \in U\)）。
  • 树边流量可通过守恒唯一确定（因为树有 \(|V|-1\) 条边，对应 \(|V|-1\) 个独立方程）。
  • 为方便，常引入一个根节点（root），并定义每个节点的势（potential）\(\pi(v)\)，满足：对每条树边 \((i,j)\)，有 \(\pi(j) = \pi(i) - c(i,j)\)（假设树边方向朝向根时调整符号）。

5. 最优性条件

定义边 \((i,j)\) 的简化成本（reduced cost）为：

\[\bar{c}_{ij} = c_{ij} - \pi(i) + \pi(j) \]

在树解中：

  • 对所有树边，简化成本为 0（由势的定义保证）。
  • 最优条件为：对每条非树边 \(e\)：
    • 如果 \(f(e) = 0\)（在 \(L\) 中），则 \(\bar{c}_e \ge 0\)。
    • 如果 \(f(e) = u(e)\)（在 \(U\) 中），则 \(\bar{c}_e \le 0\)。
      若某边不满足，则可通过将其加入树（进基）来改进。

6. 迭代步骤

步骤1：检查最优条件

  • 计算势 \(\pi\)：从根开始，按树边递推（根势设为0）。
  • 计算所有非树边的简化成本 \(\bar{c}_e\)。
  • 找一条违反最优条件的边：
    • 若 \(f(e)=0\) 但 \(\bar{c}_e < 0\)，则 \(e\) 可进基以增加流量（减少成本）。
    • 若 \(f(e)=u(e)\) 但 \(\bar{c}_e > 0\)，则 \(e\) 可进基以减少流量（减少成本）。
  • 若无违反，当前解即最优，结束。

步骤2：进基与离基选择

  • 设违反边为 \(e^* = (p,q)\)。将 \(e^*\) 加入树，形成一个圈（cycle）。
  • 沿圈调整流量：若 \(e^*\) 原来流量为0，则沿圈增加流量；若原来满容量，则减少流量。
  • 调整量 \(\delta\) 受限于圈上边的容量：
    • 若增加流量，则顺向边不能超容量，逆向边不能为负。
    • 若减少流量，则顺向边不能为负，逆向边不能超容量。
  • 确定 \(\delta\) 后，圈上某条边会达到边界（0 或容量），该边即为离基边（从树中移除）。

步骤3：更新树与势

  • 从树中移除离基边，加入进基边 \(e^*\)，得到新树。
  • 更新势：由于树结构改变，重新计算势（可通过遍历子树调整）。

7. 示例说明

考虑简单图：\(V=\{s,a,t\}, E=\{(s,a), (a,t), (s,t)\}\)。

  • 容量：\(u(s,a)=2,u(a,t)=2,u(s,t)=1\)。
  • 成本：\(c(s,a)=1, c(a,t)=2, c(s,t)=5\)。
    目标：最小成本最大流（最大流为3）。

初始化树：选树边为 \((s,a),(a,t)\)，非树边 \((s,t)\) 流量=1（满容量）。

  • 设根为 \(t\)，计算势：\(\pi(t)=0, \pi(a)=\pi(t)+c(a,t)=2, \pi(s)=\pi(a)+c(s,a)=3\)。
  • 检查 \((s,t)\)：\(\bar{c}_{s,t}=5-3+0=2>0\)，但流量=1（满容量），违反最优条件（应 \(\bar{c} \le 0\)）。
  • 进基：将 \((s,t)\) 加入树，形成圈 \(s \to t \to a \to s\)。
  • 调整：减少 \((s,t)\) 流量（因它满容量且 \(\bar{c}>0\)），沿圈增加其他边流量。调整量 \(\delta=1\)（受限于 \((s,t)\) 最多减1）。
  • 离基：调整后 \((s,t)\) 流量=0，离基。
  • 新树：\((s,a),(a,t)\) 不变，势重新计算，检查最优条件满足。

最终流：\(f(s,a)=2,f(a,t)=2,f(s,t)=1\)，总成本= \(2\cdot1+2\cdot2+1\cdot5=11\)。
继续迭代可进一步优化：实际上最优解为全部流走 \(s-a-t\)，总成本= \(3\cdot(1+2)=9\)。

8. 算法复杂度

  • 每次迭代：找违反边 \(O(|E|)\)，更新树和势 \(O(|V|)\)。
  • 迭代次数：最坏情况下是指数级的，但在实践中通常很快（平均多项式时间）。
  • 实际中常用强多项式的SSP或Cost Scaling，但网络单纯形在特定问题上效率很高。

9. 关键要点

  • 网络单纯形是单纯形法在流问题的特化，利用树结构避免矩阵运算。
  • 核心操作：势计算、简化成本检查、圈流调整、树更新。
  • 可处理有负成本边（但需避免负圈）。
  • 是许多商业优化软件（如CPLEX、Gurobi）中求解最小费用流的内核之一。
最小成本最大流问题的网络单纯形算法 题目描述 给定一个 有向图 \( G = (V, E) \)，每条边有容量 \( u(e) \) 和非负成本 \( c(e) \)，以及源点 \( s \) 和汇点 \( t \)。目标是找到从 \( s \) 到 \( t \) 的 最大流 ，并且在所有最大流中， 总成本最小 。这就是 最小成本最大流问题 。本题目要求用 网络单纯形算法 求解，这是一种基于线性规划单纯形法思想的专用算法，比通用线性规划求解器更高效。 1. 算法思想 网络单纯形算法将最小成本最大流问题建模为线性规划问题，但利用图的特殊结构进行优化： 将流量分配表示为 生成树结构 （称为 树解 ）。 通过 交换边 （进基边与离基边）逐步改进解，直到满足最优性条件。 核心是 避免维护完整的单纯形表 ，而是直接在图上操作，利用树结构的性质快速计算。 2. 问题建模 设决策变量 \( f(e) \) 表示边 \( e \) 上的流量，则线性规划模型为： \[ \text{最小化} \quad \sum_ {e \in E} c(e) f(e) \] 约束： 容量约束 ：\( 0 \le f(e) \le u(e) \)。 流量守恒 （除 \( s, t \) 外）：\( \sum_ {e \in \text{in}(v)} f(e) = \sum_ {e \in \text{out}(v)} f(e) \)。 最大流目标 ：从 \( s \) 流出的总量等于最大流值 \( F^* \)（可先求最大流，或作为算法结果）。 网络单纯形法通常先找一个 可行树解 ，然后迭代优化。 3. 初始可行树解 我们需要一个 生成树 ，包含所有顶点，且树边对应的流量满足容量约束和守恒。常用方法： 加入 人工边 ：从汇点 \( t \) 到源点 \( s \) 加一条无限容量、零成本的边，形成一个循环。 初始树：选择所有顶点与“根”（通常为 \( t \) ）通过人工边或虚拟边连接，形成一棵树，并设初始流量为0（或可行流）。 更实用的方法：先用 最大流算法 求一个最大流（忽略成本），再用 树重构 得到初始树解。 4. 树解的结构 树 \( T \) 是图的生成树，非树边集合为 \( L \)（下边）和 \( U \)（上边）。 每条非树边 \( e \) 的流量要么是 0（如果 \( e \in L \)），要么是 \( u(e) \)（如果 \( e \in U \)）。 树边流量可通过守恒唯一确定（因为树有 \( |V|-1 \) 条边，对应 \( |V|-1 \) 个独立方程）。 为方便，常引入一个 根节点 （root），并定义每个节点的 势 （potential）\( \pi(v) \)，满足：对每条树边 \( (i,j) \)，有 \( \pi(j) = \pi(i) - c(i,j) \)（假设树边方向朝向根时调整符号）。 5. 最优性条件 定义边 \( (i,j) \) 的 简化成本 （reduced cost）为： \[ \bar{c} {ij} = c {ij} - \pi(i) + \pi(j) \] 在树解中： 对所有树边，简化成本为 0（由势的定义保证）。 最优条件为：对每条非树边 \( e \)： 如果 \( f(e) = 0 \)（在 \( L \) 中），则 \( \bar{c}_ e \ge 0 \)。 如果 \( f(e) = u(e) \)（在 \( U \) 中），则 \( \bar{c}_ e \le 0 \)。 若某边不满足，则可通过将其加入树（进基）来改进。 6. 迭代步骤 步骤1：检查最优条件 计算势 \( \pi \)：从根开始，按树边递推（根势设为0）。 计算所有非树边的简化成本 \( \bar{c}_ e \)。 找一条 违反最优条件 的边： 若 \( f(e)=0 \) 但 \( \bar{c}_ e < 0 \)，则 \( e \) 可进基以增加流量（减少成本）。 若 \( f(e)=u(e) \) 但 \( \bar{c}_ e > 0 \)，则 \( e \) 可进基以减少流量（减少成本）。 若无违反，当前解即最优，结束。 步骤2：进基与离基选择 设违反边为 \( e^* = (p,q) \)。将 \( e^* \) 加入树，形成一个圈（cycle）。 沿圈调整流量：若 \( e^* \) 原来流量为0，则沿圈增加流量；若原来满容量，则减少流量。 调整量 \( \delta \) 受限于圈上边的容量： 若增加流量，则顺向边不能超容量，逆向边不能为负。 若减少流量，则顺向边不能为负，逆向边不能超容量。 确定 \( \delta \) 后，圈上某条边会达到边界（0 或容量），该边即为 离基边 （从树中移除）。 步骤3：更新树与势 从树中移除离基边，加入进基边 \( e^* \)，得到新树。 更新势：由于树结构改变，重新计算势（可通过遍历子树调整）。 7. 示例说明 考虑简单图：\( V=\{s,a,t\}, E=\{(s,a), (a,t), (s,t)\} \)。 容量：\( u(s,a)=2,u(a,t)=2,u(s,t)=1 \)。 成本：\( c(s,a)=1, c(a,t)=2, c(s,t)=5 \)。 目标：最小成本最大流（最大流为3）。 初始化树：选树边为 \( (s,a),(a,t) \)，非树边 \( (s,t) \) 流量=1（满容量）。 设根为 \( t \)，计算势：\( \pi(t)=0, \pi(a)=\pi(t)+c(a,t)=2, \pi(s)=\pi(a)+c(s,a)=3 \)。 检查 \( (s,t) \)：\( \bar{c}_ {s,t}=5-3+0=2>0 \)，但流量=1（满容量），违反最优条件（应 \( \bar{c} \le 0 \)）。 进基：将 \( (s,t) \) 加入树，形成圈 \( s \to t \to a \to s \)。 调整：减少 \( (s,t) \) 流量（因它满容量且 \( \bar{c}>0 \)），沿圈增加其他边流量。调整量 \( \delta=1 \)（受限于 \( (s,t) \) 最多减1）。 离基：调整后 \( (s,t) \) 流量=0，离基。 新树：\( (s,a),(a,t) \) 不变，势重新计算，检查最优条件满足。 最终流：\( f(s,a)=2,f(a,t)=2,f(s,t)=1 \)，总成本= \( 2\cdot1+2\cdot2+1\cdot5=11 \)。 继续迭代可进一步优化：实际上最优解为全部流走 \( s-a-t \)，总成本= \( 3\cdot(1+2)=9 \)。 8. 算法复杂度 每次迭代：找违反边 \( O(|E|) \)，更新树和势 \( O(|V|) \)。 迭代次数：最坏情况下是指数级的，但在实践中通常很快（平均多项式时间）。 实际中常用 强多项式 的SSP或Cost Scaling，但网络单纯形在特定问题上效率很高。 9. 关键要点 网络单纯形是单纯形法在流问题的特化，利用树结构避免矩阵运算。 核心操作：势计算、简化成本检查、圈流调整、树更新。 可处理有负成本边（但需避免负圈）。 是许多商业优化软件（如CPLEX、Gurobi）中求解最小费用流的内核之一。