带振荡衰减函数积分的有理变换与高斯-切比雪夫求积的混合方法
题目描述
计算积分
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(50x)}{(x^2 + 0.01)^{1/4}} e^{-x^2} \, dx \]
被积函数在区间 \([-1,1]\) 上具有高频振荡（由 \(\cos(50x)\) 引起）、衰减（由 \(e^{-x^2}\) 引起）以及一个弱奇异因子 \((x^2 + 0.01)^{-1/4}\)（在 \(x=0\) 附近行为类似 \(|x|^{-1/2}\)，但因常数项而可积）。目标：设计一种结合有理变换与高斯-切比雪夫求积的混合数值方法，以高效、精确地计算该积分。
解题过程
1. 问题分析
积分难点来自三方面：
- 高频振荡：\(\cos(50x)\) 导致被积函数在区间内快速震荡，若直接用等距节点求积（如牛顿-柯特斯），需极多节点才能捕捉振荡，效率低下。
- 衰减与边界行为：\(e^{-x^2}\) 在端点衰减，但端点本身无奇异性，而奇异因子 \((x^2+0.01)^{-1/4}\) 在 \(x=0\) 附近有峰值（类似弱奇异），使得被积函数在中心区域变化剧烈。
- 传统高斯求积的局限性：标准高斯-勒让德求积对振荡函数效果差；高斯-切比雪夫求积（权函数 \((1-x^2)^{-1/2}\)）可处理端点奇异，但无法直接匹配本被积函数的振荡与中心峰值。
思路：将积分分解为“振荡部分”与“平滑部分”处理。先通过有理变换将奇异因子吸收到权函数中，转化为高斯-切比雪夫求积可处理的形式，再结合振荡函数的特殊处理技巧。
2. 构造有理变换以吸收奇异因子
观察奇异因子 \((x^2 + 0.01)^{-1/4}\)。引入变量替换：
\[x = \frac{t}{\sqrt{1 + a t^2}}, \quad a > 0 \]
此变换可将原点附近的奇异行为映射到新变量 \(t\) 的权函数中。具体地，取 \(a = 100\)（因分母中0.01对应 \(a=1/0.01=100\)），则：
\[x^2 + 0.01 = \frac{t^2}{1 + 100 t^2} + 0.01 = \frac{t^2 + 0.01(1+100t^2)}{1+100t^2} = \frac{0.01 + 1.01 t^2}{1+100t^2} \]
从而
\[(x^2+0.01)^{-1/4} = \left( \frac{1+100t^2}{0.01 + 1.01 t^2} \right)^{1/4} \]
同时，微分：
\[dx = \frac{1}{(1+100t^2)^{3/2}} \, dt \]
代入原积分，得：
\[I = \int_{t=-T}^{T} \cos\left(50 \frac{t}{\sqrt{1+100t^2}}\right) e^{- \frac{t^2}{1+100t^2}} \left( \frac{1}{0.01 + 1.01 t^2} \right)^{1/4} \frac{dt}{(1+100t^2)^{5/4}} \]
其中积分限 \(T\) 由 \(x=\pm 1\) 解出：\(t = \pm 1/\sqrt{1-1/100} \approx \pm 1.005\)。为简化，近似取 \(T=1\)（误差可忽略，因被积函数在端点已小）。
变换后，奇异因子被吸收到新核中，新被积函数形式为：
\[I = \int_{-1}^{1} f(t) \, dt, \quad f(t) = \cos\left(50 \frac{t}{\sqrt{1+100t^2}}\right) e^{- \frac{t^2}{1+100t^2}} \cdot \frac{1}{(0.01 + 1.01 t^2)^{1/4} (1+100t^2)^{5/4}} \]
此时 \(f(t)\) 在 \(t=0\) 附近已无非积奇异，但仍有振荡。
3. 应用高斯-切比雪夫求积处理振荡
高斯-切比雪夫求积（第一类）针对权函数 \(w(t) = 1/\sqrt{1-t^2}\) 的积分：
\[\int_{-1}^{1} g(t) \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \approx \sum_{k=1}^{n} w_k g(t_k) \]
其中节点 \(t_k = \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)\)，权重 \(w_k = \frac{\pi}{n}\)。
为利用此公式，将 \(f(t)\) 写成 \(g(t)/\sqrt{1-t^2}\) 形式。即令：
\[g(t) = f(t) \sqrt{1-t^2} \]
则积分变为：
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{g(t)}{\sqrt{1-t^2}} \, dt \]
于是可直接应用 \(n\) 点高斯-切比雪夫求积：
\[I_n = \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} g(t_k) = \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f(t_k) \sqrt{1-t_k^2} \]
这里 \(f(t_k)\) 由步骤2中表达式计算。
4. 误差控制与节点数选择
高斯-切比雪夫求积误差：对 \(g(t) \in C^{2n}[-1,1]\)，误差按 \(O(1/2^{2n})\) 衰减。但此处 \(g(t)\) 含振荡，收敛速度受振荡频率影响。
策略：
- 先测试较小 \(n\)（如 \(n=50\)），计算近似值 \(I_n\)。
- 加倍节点数至 \(2n\)，得 \(I_{2n}\)。
- 检查相对误差 \(|I_{2n} - I_n| / |I_{2n}|\)，若小于预定容差（如 \(10^{-10}\)），则接受 \(I_{2n}\)；否则继续加倍 \(n\)。
因振荡频率为50，经验上 \(n\) 需大于频率数倍，通常取 \(n \approx 100 \sim 200\) 可达到高精度。
5. 数值实现步骤
- 设定初始节点数 \(n=100\)，容差 \(\epsilon = 10^{-10}\)。
- 对 \(k=1,\dots,n\)，计算：
- 节点 \(t_k = \cos((2k-1)\pi/(2n))\)
- 计算 \(f(t_k)\)：
\[ A = t_k / \sqrt{1+100 t_k^2}, \quad B = e^{-A^2}, \quad C = (0.01 + 1.01 t_k^2)^{-1/4} (1+100 t_k^2)^{-5/4} \]
\[ f(t_k) = \cos(50 A) \cdot B \cdot C \]
- 计算 \(g(t_k) = f(t_k) \sqrt{1 - t_k^2}\)
- 求和：\(I_n = (\pi/n) \sum_{k=1}^{n} g(t_k)\)
- 加倍 \(n\) 为 \(2n\)，重复步骤2-3得 \(I_{2n}\)
- 若 \(|I_{2n} - I_n|/|I_{2n}| < \epsilon\)，停止并输出 \(I_{2n}\)；否则令 \(n := 2n\) 返回步骤2
6. 方法优势
- 有理变换将原奇异因子吸收，避免了中心区域峰值对求积精度的影响。
- 高斯-切比雪夫求积的节点在端点密集，正好匹配被积函数在端点因 \(e^{-x^2}\) 衰减而平滑的特性，同时其权重简单，计算稳定。
- 对振荡部分，\(\cos(50x)\) 在高斯-切比雪夫节点上可精确求值，无需特殊逼近。
- 混合方法只需中等节点数（通常100-200点）即可达到高精度，远少于直接使用复合求积公式（可能需要成千上万个节点）。
总结
本题展示了对同时含振荡、衰减和弱奇异因子的积分，通过有理变换化简奇异结构，再结合高斯-切比雪夫求积处理振荡与边界行为，是一种高效、精确的混合数值积分策略。关键是将被积函数变形以匹配已知的高精度求积公式权函数，从而利用其代数精度与节点分布优势。