自适应协方差矩阵调整演化策略（CMA-ES）算法进阶题

我将为你详细讲解自适应协方差矩阵调整演化策略（CMA-ES）及其在复杂非线性规划问题中的应用。这是一个基于种群的进化优化算法，尤其适合处理非凸、多模态、高维且梯度信息难以获取的问题。

题目描述

考虑一个具有挑战性的非线性规划问题：

最小化 f(x) = ∑_{i=1}^{n} (x_i^4 - 16x_i^2 + 5x_i) / 2 + 100 * sin(∑_{i=1}^{n} x_i)^2
约束条件： ∑_{i=1}^{n} x_i^2 ≤ 100， -5 ≤ x_i ≤ 5 (i=1,...,n)
其中 n=20（高维情况）

目标函数是经典的Styblinski-Tang函数加上一个强非线性振荡项，具有多个局部极小值。约束包括一个球约束和边界约束。

算法原理概述

CMA-ES是一种基于种群的随机优化算法，通过自适应调整搜索分布的协方差矩阵来有效探索高维空间。核心思想是：通过一个多元正态分布生成候选解，并根据这些解在目标函数上的表现，迭代更新分布的均值（定位最优区域）、步长（控制搜索范围）和协方差矩阵（描述变量间的依赖关系和缩放）。

详细解题步骤

步骤1：算法初始化

1. 设置初始点：通常选择可行域中心或根据先验知识选择。这里设初始均值 m⁽⁰⁾ = 0（向量）。
2. 初始步长 σ⁽⁰⁾：设为可行域大小的1/3，例如 σ⁽⁰⁾=3。
3. 初始协方差矩阵 C⁽⁰⁾：设为单位矩阵 I，表示初始时各变量独立且方差相同。
4. 种群大小 λ：根据维度n选择，通常 λ = 4 + ⌊3 ln n⌋ ≈ 4+⌊3*ln(20)⌋ ≈ 4+9=13。
5. 选择数量 μ：通常 μ = ⌊λ/2⌋ = 6，即每次迭代选择最好的6个解用于更新。
6. 设置算法参数：
   • 均值更新权重 w_i ∝ (μ-i+1)，归一化使 ∑w_i=1
   • 时间常数：用于更新演化路径
     • τ_c = 1/∑w_i² ≈ 0.6
     • τ_σ = 1/∑w_i² ≈ 0.6
     • τ_cov ≈ 2/(n²+6) ≈ 0.004

步骤2：生成候选解（采样阶段）

在每次迭代g中，从当前多元正态分布中采样λ个候选解：

x_k⁽ᵍ⁾ ~ N(m⁽ᵍ⁾, (σ⁽ᵍ⁾)² C⁽ᵍ⁾)， k=1,...,λ

具体实现：

1. 对协方差矩阵C进行Cholesky分解：C = AᵀA
2. 生成标准正态随机向量 z_k ~ N(0, I)
3. 计算：x_k = m + σ * (Aᵀ z_k)

约束处理：对于越界的解，采用修复策略：

• 对于边界约束：将越界分量投影到边界上
• 对于球约束：将解投影到球面上：x ← min(1, 10/||x||) * x

步骤3：评估与排序

1. 计算所有候选解的目标函数值 f(x_k)
2. 考虑约束违反度：对每个解计算约束违反量

   violation = max(0, ∑x_i² - 100) + ∑max(0, |x_i|-5)²
   

3. 使用可行优先准则排序：
   • 首先比较约束违反度（违反度小的更好）
   • 如果违反度相同，比较目标函数值
4. 选择前μ个最优解用于更新分布参数

步骤4：更新分布均值

均值向所选解的重心移动：

m⁽ᵍ⁺¹⁾ = ∑_{i=1}^{μ} w_i x_i:λ⁽ᵍ⁾

其中 x_i:λ 表示第i个最好的解，w_i 是正的权重系数。

步骤5：更新演化路径

演化路径记录均值的连续移动方向，用于调整步长和协方差矩阵。

1. 各向同性演化路径（步长控制）：

   p_σ⁽ᵍ⁺¹⁾ = (1-τ_σ)p_σ⁽ᵍ⁾ + √(τ_σ(2-τ_σ)μ_eff) * (m⁽ᵍ⁺¹⁾ - m⁽ᵍ⁾)/σ⁽ᵍ⁾
   

   其中 μ_eff = 1/∑w_i² 是方差有效选择量。

2. 各向异性演化路径（协方差矩阵更新）：

   p_c⁽ᵍ⁺¹⁾ = (1-τ_c)p_c⁽ᵍ⁾ + h_σ√(τ_c(2-τ_c)μ_eff) * (m⁽ᵍ⁺¹⁾ - m⁽ᵍ⁾)/σ⁽ᵍ⁾
   

   其中 h_σ 是启发式函数，当演化路径足够长时取1，否则取0。

步骤6：更新协方差矩阵

协方差矩阵更新结合了秩1更新和秩μ更新：

C⁽ᵍ⁺¹⁾ = (1 - c₁ - c_μ)C⁽ᵍ⁾ + c₁ * p_c⁽ᵍ⁺¹⁾(p_c⁽ᵍ⁺¹⁾)ᵀ + c_μ * ∑_{i=1}^{μ} w_i y_i:λ(y_i:λ)ᵀ

其中：

• y_i:λ = (x_i:λ - m⁽ᵍ⁾)/σ⁽ᵍ⁾
• c₁ ≈ 2/(n²) ≈ 0.005（秩1更新学习率）
• c_μ ≈ min(1-c₁, 2(μ_eff-1)/(n²+μ_eff)) ≈ 0.1（秩μ更新学习率）

秩1更新利用演化路径的方向信息，秩μ更新利用当前种群的信息。

步骤7：更新步长（自适应步长控制）

步长σ根据演化路径的长度自适应调整：

σ⁽ᵍ⁺¹⁾ = σ⁽ᵍ⁾ * exp((τ_σ/d_σ) * (||p_σ⁽ᵍ⁺¹⁾||/E||N(0,I)|| - 1))

其中：

• d_σ ≈ 1 + n/(2μ_eff) 是阻尼系数
• E||N(0,I)|| ≈ √n * (1 - 1/(4n) + 1/(21n²)) 是标准正态分布向量的期望长度

原理：如果演化路径长度大于随机期望长度，说明连续移动方向一致，应增大步长以加速；反之应减小步长以精细搜索。

步骤8：数值稳定性处理

1. 协方差矩阵的条件数控制：防止矩阵病态

   如果 cond(C) > 10¹⁴，则重新初始化C = I
   

2. 特征值分解：每约 n/10 次迭代进行一次特征值分解，确保数值稳定性：

   C = BDBᵀ
   

   其中B是特征向量矩阵，D是对角特征值矩阵。

步骤9：迭代与收敛判断

重复步骤2-8，直到满足以下任一收敛条件：

1. 目标函数改进：最近10次迭代的最佳值改进小于 ε_f = 10⁻⁸
2. 步长收敛：σ < 10⁻¹⁵
3. 解的变化：||m⁽ᵍ⁺¹⁾ - m⁽ᵍ⁾|| < 10⁻⁸
4. 最大迭代次数：达到预设的1000n次函数评估

算法特点与优势

1. 自适应特性：无需手动调整步长等参数
2. 旋转不变性：对坐标系旋转具有不变性，适合各向异性问题
3. 二次型时间复杂：O(n²)的存储和计算复杂度
4. 全局搜索能力：通过种群多样性避免陷入局部最优

应用到本题的注意事项

1. 高维问题（n=20）需要适当增大种群规模
2. 约束处理采用修复策略，简单有效
3. 振荡项 sin(∑x_i)² 使目标函数非凸，CMA-ES的全局搜索能力特别适合
4. 初始步长不宜过大，以免过早违反约束

预期结果

对于n=20的问题，CMA-ES通常能在约5000-10000次函数评估内找到接近全局最优的解。最终解大致在 x_i ≈ -2.9 附近（Styblinski-Tang函数的全局极小点），满足所有约束条件。

这个算法展示了如何通过自适应调整搜索分布来有效探索高维复杂空间，是处理无梯度或梯度难以计算的非线性规划问题的强大工具。