最小生成树（Minimum Bottleneck Spanning Tree）问题

字数 2524 2025-12-10 12:42:51

最小生成树（Minimum Bottleneck Spanning Tree）问题

题目描述

在一个无向连通图 G=(V, E) 中，每条边 e 有一个权重 w(e)。一棵生成树 T 是包含图 G 所有顶点的一棵无环连通子图。生成树 T 的瓶颈值（bottleneck）定义为 T 中最大权重的那条边的权重。最小瓶颈生成树（Minimum Bottleneck Spanning Tree, MBST）问题是：在图 G 的所有生成树中，找到一棵瓶颈值最小的生成树。

注意：最小瓶颈生成树并不一定是最小生成树（MST），但一个著名的性质是：任何一棵最小生成树都是一棵最小瓶颈生成树（反之不一定成立）。这个题目就是要求解一棵最小瓶颈生成树，并理解其与最小生成树的关系。

解题思路

我们可以利用上述性质，以及“二分答案”+“连通性检查”的方法来解决。核心思路是：

最小瓶颈生成树的瓶颈值一定是图中某条边的权重。
我们可以猜测一个瓶颈值阈值 B，然后检查：只使用权重 ≤ B 的边，能否使图连通。如果能，说明存在一棵瓶颈值 ≤ B 的生成树。
通过二分搜索，找到满足条件的最小 B，这个 B 就是最小瓶颈值。对应这组边构成的任意一棵生成树（比如用 BFS/DFS 或并查集找出的生成树）就是一棵最小瓶颈生成树。

另一种更直接的方法：直接求一棵最小生成树（MST），它就是一棵最小瓶颈生成树。这是由上述性质保证的。所以，我们可以用任意 MST 算法（如 Kruskal 或 Prim）来得到答案。

这里，为了深入理解，我们先讲解“二分+连通性检查”的算法，再说明与 MST 的关系。

步骤详解

步骤 1：理解问题与性质

输入：无向连通图，n 个顶点，m 条边，边有权重。
输出：一棵生成树，使得这棵树上最大权重的边尽可能小。
关键性质：最小生成树（MST）的瓶颈值 ≤ 任何其他生成树的瓶颈值？不对。准确性质是：MST 的瓶颈值等于最小瓶颈生成树的瓶颈值。也就是说，MST 也是最小瓶颈生成树（但最小瓶颈生成树不一定是 MST）。证明思路：假设 MST 的最大边是 e，权重 w。如果存在一棵生成树的所有边权重都 < w，那么用这棵树的边可以构造出一棵总权重更小的生成树，与 MST 最小总权重矛盾。

步骤 2：二分搜索瓶颈值

将图中所有边的权重收集起来，排序去重，得到一个有序数组 weights[]。最小瓶颈值一定在这个数组中。
设定二分搜索的边界：low = 0（最小权重索引），high = len(weights)-1。
在每一步，猜测 mid，对应的瓶颈候选值 B = weights[mid]。
检查：只使用所有权重 ≤ B 的边，能否使图连通（即包含所有顶点且连通）。
- 实现检查：用 BFS/DFS 或并查集，遍历所有边，只将权重 ≤ B 的边加入，看最终所有顶点是否在同一个连通分量中。
如果检查通过，说明可能存在瓶颈值 ≤ B 的生成树，那么尝试更小的 B：high = mid。
如果不通过，说明只使用 ≤ B 的边无法连通，必须使用更大的边：low = mid + 1。
当 low = high 时，找到最小瓶颈值 B* = weights[low]。

步骤 3：构建最小瓶颈生成树

一旦找到最小瓶颈值 B*，我们只需要用所有权重 ≤ B* 的边构造出一棵生成树即可。方法：

用 Kruskal 算法：将所有权重 ≤ B* 的边按权重排序（或不排序直接按原顺序），用并查集依次加入，直到形成生成树（加入 n-1 条边）。
或者用 BFS/DFS：从任意顶点开始，在权重 ≤ B* 的边构成的子图上做搜索，记录遍历过程中经过的边形成一棵生成树（可能需要多次 BFS/DFS 来收集边，但更简单的是用 Kruskal）。

步骤 4：算法复杂度

边权重排序去重：O(m log m)
二分搜索次数：O(log m)
每次连通性检查：O(n+m)（BFS/DFS 或并查集近似 O(m α(n))）
总复杂度：O(m log m + (n+m) log m) = O((n+m) log m)
实际上，这比直接求 MST 的 O(m log m) 或 O(m + n log n) 要慢，但展示了另一种思路。

步骤 5：与最小生成树的关系

直接求 MST（Prim 或 Kruskal）即可得到一棵最小瓶颈生成树，且总权重最小。
证明：MST 的最大边权重是全局最小的可能瓶颈值，否则可替换得到更小的 MST，矛盾。
所以，求解最小瓶颈生成树的最优方法就是求一棵最小生成树。

举例说明

假设无向连通图如下（顶点 0~3，边带权重）：
0—1 (4)
0—2 (1)
1—2 (2)
1—3 (3)
2—3 (5)

边权重集合：{1,2,3,4,5}
二分搜索：
- 猜 B=3（权重 ≤3 的边有 0-2(1),1-2(2),1-3(3)），这些边连通了所有顶点吗？顶点 0,1,2,3 都在：0-2-1-3 连通。通过。
- 猜 B=2（权重 ≤2 的边有 0-2(1),1-2(2)），顶点 3 不连通。不通过。
- 猜 B=3 是最小的能连通的，所以最小瓶颈值=3。
用权重 ≤3 的边构造生成树：例如用 Kruskal，按权重顺序加边：
(0-2,1), (1-2,2), (1-3,3) → 已连通所有顶点，生成树包含这三条边，最大权重=3。

实际上，MST 也是这三条边（总权重 1+2+3=6），最大权重=3。如果只求最小瓶颈，另一棵树 {(0-2,1),(1-2,2),(0-1,4)} 最大权重=4，不是最小瓶颈。

关键点总结

最小瓶颈生成树（MBST）关注的是生成树中最大边权重的最小化，而不在乎总权重。
任何 MST 都是 MBST，因此求 MBST 等价于求 MST。
二分+连通性检查是一种直接针对瓶颈值的方法，有助于理解问题本质，但实践中直接用 MST 算法更高效。
实际代码中，只需调用 Kruskal 或 Prim 得到 MST，其最大边权重就是答案。

最小生成树（Minimum Bottleneck Spanning Tree）问题题目描述在一个无向连通图 G=(V, E) 中，每条边 e 有一个权重 w(e)。一棵生成树 T 是包含图 G 所有顶点的一棵无环连通子图。生成树 T 的瓶颈值（bottleneck）定义为 T 中最大权重的那条边的权重。最小瓶颈生成树（Minimum Bottleneck Spanning Tree, MBST）问题是：在图 G 的所有生成树中，找到一棵瓶颈值最小的生成树。注意：最小瓶颈生成树并不一定是最小生成树（MST），但一个著名的性质是：任何一棵最小生成树都是一棵最小瓶颈生成树（反之不一定成立）。这个题目就是要求解一棵最小瓶颈生成树，并理解其与最小生成树的关系。解题思路我们可以利用上述性质，以及“二分答案”+“连通性检查”的方法来解决。核心思路是：最小瓶颈生成树的瓶颈值一定是图中某条边的权重。我们可以猜测一个瓶颈值阈值 B，然后检查：只使用权重 ≤ B 的边，能否使图连通。如果能，说明存在一棵瓶颈值 ≤ B 的生成树。通过二分搜索，找到满足条件的最小 B，这个 B 就是最小瓶颈值。对应这组边构成的任意一棵生成树（比如用 BFS/DFS 或并查集找出的生成树）就是一棵最小瓶颈生成树。另一种更直接的方法：直接求一棵最小生成树（MST），它就是一棵最小瓶颈生成树。这是由上述性质保证的。所以，我们可以用任意 MST 算法（如 Kruskal 或 Prim）来得到答案。这里，为了深入理解，我们先讲解“二分+连通性检查”的算法，再说明与 MST 的关系。步骤详解步骤 1：理解问题与性质输入：无向连通图，n 个顶点，m 条边，边有权重。输出：一棵生成树，使得这棵树上最大权重的边尽可能小。关键性质：最小生成树（MST）的瓶颈值 ≤ 任何其他生成树的瓶颈值？不对。准确性质是：MST 的瓶颈值等于最小瓶颈生成树的瓶颈值。也就是说，MST 也是最小瓶颈生成树（但最小瓶颈生成树不一定是 MST）。证明思路：假设 MST 的最大边是 e，权重 w。如果存在一棵生成树的所有边权重都 < w，那么用这棵树的边可以构造出一棵总权重更小的生成树，与 MST 最小总权重矛盾。步骤 2：二分搜索瓶颈值将图中所有边的权重收集起来，排序去重，得到一个有序数组 weights[ ]。最小瓶颈值一定在这个数组中。设定二分搜索的边界：low = 0（最小权重索引），high = len(weights)-1。在每一步，猜测 mid，对应的瓶颈候选值 B = weights[ mid ]。检查：只使用所有权重 ≤ B 的边，能否使图连通（即包含所有顶点且连通）。实现检查：用 BFS/DFS 或并查集，遍历所有边，只将权重 ≤ B 的边加入，看最终所有顶点是否在同一个连通分量中。如果检查通过，说明可能存在瓶颈值 ≤ B 的生成树，那么尝试更小的 B：high = mid。如果不通过，说明只使用 ≤ B 的边无法连通，必须使用更大的边：low = mid + 1。当 low = high 时，找到最小瓶颈值 B* = weights[ low ]。步骤 3：构建最小瓶颈生成树一旦找到最小瓶颈值 B* ，我们只需要用所有权重 ≤ B* 的边构造出一棵生成树即可。方法：用 Kruskal 算法：将所有权重 ≤ B* 的边按权重排序（或不排序直接按原顺序），用并查集依次加入，直到形成生成树（加入 n-1 条边）。或者用 BFS/DFS：从任意顶点开始，在权重 ≤ B* 的边构成的子图上做搜索，记录遍历过程中经过的边形成一棵生成树（可能需要多次 BFS/DFS 来收集边，但更简单的是用 Kruskal）。步骤 4：算法复杂度边权重排序去重：O(m log m) 二分搜索次数：O(log m) 每次连通性检查：O(n+m)（BFS/DFS 或并查集近似 O(m α(n))）总复杂度：O(m log m + (n+m) log m) = O((n+m) log m) 实际上，这比直接求 MST 的 O(m log m) 或 O(m + n log n) 要慢，但展示了另一种思路。步骤 5：与最小生成树的关系直接求 MST（Prim 或 Kruskal）即可得到一棵最小瓶颈生成树，且总权重最小。证明：MST 的最大边权重是全局最小的可能瓶颈值，否则可替换得到更小的 MST，矛盾。所以，求解最小瓶颈生成树的最优方法就是求一棵最小生成树。举例说明假设无向连通图如下（顶点 0~3，边带权重）： 0—1 (4) 0—2 (1) 1—2 (2) 1—3 (3) 2—3 (5) 边权重集合：{1,2,3,4,5} 二分搜索：猜 B=3（权重 ≤3 的边有 0-2(1),1-2(2),1-3(3)），这些边连通了所有顶点吗？顶点 0,1,2,3 都在：0-2-1-3 连通。通过。猜 B=2（权重 ≤2 的边有 0-2(1),1-2(2)），顶点 3 不连通。不通过。猜 B=3 是最小的能连通的，所以最小瓶颈值=3。用权重 ≤3 的边构造生成树：例如用 Kruskal，按权重顺序加边： (0-2,1), (1-2,2), (1-3,3) → 已连通所有顶点，生成树包含这三条边，最大权重=3。实际上，MST 也是这三条边（总权重 1+2+3=6），最大权重=3。如果只求最小瓶颈，另一棵树 {(0-2,1),(1-2,2),(0-1,4)} 最大权重=4，不是最小瓶颈。关键点总结最小瓶颈生成树（MBST）关注的是生成树中最大边权重的最小化，而不在乎总权重。任何 MST 都是 MBST，因此求 MBST 等价于求 MST。二分+连通性检查是一种直接针对瓶颈值的方法，有助于理解问题本质，但实践中直接用 MST 算法更高效。实际代码中，只需调用 Kruskal 或 Prim 得到 MST，其最大边权重就是答案。