AES加密算法的InvMixColumns变换详解
字数 3164 2025-12-10 12:37:23

AES加密算法的InvMixColumns变换详解

题目描述
AES（高级加密标准）是一种广泛使用的对称分组密码算法。其解密过程是加密过程的逆操作。在加密过程中，MixColumns变换对状态的每一列进行线性变换，以提供扩散性。而在解密过程中，需要使用对应的逆变换——InvMixColumns变换，来还原状态。本题将详细讲解InvMixColumns变换的数学原理、计算过程及其在AES解密流程中的作用。

解题过程循序渐进讲解

步骤1：回顾AES的MixColumns变换

  1. AES的状态（State）是一个4×4的字节矩阵，MixColumns变换作用于每一列。
  2. 在加密时，每一列被视为系数在GF(2⁸)上的多项式，乘以一个固定的多项式 \(a(x) = \{03\}x^3 + \{01\}x^2 + \{01\}x + \{02\}\) 模 \(x^4 + 1\)。
  3. 计算等价于对每一列的4个字节进行矩阵乘法（系数在GF(2⁸)中）：

\[ \begin{bmatrix} 02 & 03 & 01 & 01 \\ 01 & 02 & 03 & 01 \\ 01 & 01 & 02 & 03 \\ 03 & 01 & 01 & 02 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_{0,j} \\ s_{1,j} \\ s_{2,j} \\ s_{3,j} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s'_{0,j} \\ s'_{1,j} \\ s'_{2,j} \\ s'_{3,j} \end{bmatrix} \]

其中，{02}、{03}等是GF(2⁸)中的十六进制表示，乘法是GF(2⁸)上的乘法（模不可约多项式 \(x^8 + x^4 + x^3 + x + 1\)）。

步骤2：理解InvMixColumns变换的数学基础

  1. InvMixColumns是MixColumns的逆变换，目标是将MixColumns变换后的状态还原。
  2. 对应的逆多项式为 \(a^{-1}(x) = \{0b\}x^3 + \{0d\}x^2 + \{09\}x + \{0e\}\)，满足 \(a(x) \cdot a^{-1}(x) \equiv 1 \mod (x^4 + 1)\)。
  3. 矩阵形式为：

\[ \begin{bmatrix} 0e & 0b & 0d & 09 \\ 09 & 0e & 0b & 0d \\ 0d & 09 & 0e & 0b \\ 0b & 0d & 09 & 0e \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_{0,j} \\ s_{1,j} \\ s_{2,j} \\ s_{3,j} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s'_{0,j} \\ s'_{1,j} \\ s'_{2,j} \\ s'_{3,j} \end{bmatrix} \]

矩阵中的元素（如{0e}）是GF(2⁸)中的常量，乘法同样在GF(2⁸)上定义。

步骤3：GF(2⁸)上的乘法运算详解

  1. GF(2⁸)是有限域，包含256个元素，每个元素对应一个字节（8位）。不可约多项式为 \(m(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1\)（对应十六进制0x11b）。
  2. 乘法运算规则：
    • 将字节视为多项式（例如{0e} = 0x0e = 00001110₂ 对应 \(x^3 + x^2 + x\)）。
    • 两个多项式相乘，然后模 \(m(x)\) 得到结果。
  3. 实际计算时，可以通过查表（如对数表、指数表）或组合运算实现。例如，{0e}·{s} 可拆分为：

\[ \{0e\} \cdot s = (\{08\} \cdot s) \oplus (\{04\} \cdot s) \oplus (\{02\} \cdot s) \]

其中，{02}·s 是s的左移一位（低位补0），若s的最高位为1，则再与0x1b异或（模m(x)约简）。

步骤4：InvMixColumns计算示例
以解密时某一列的4个字节输入为例：假设列向量为 \([s_0, s_1, s_2, s_3]^T = [\text{0xdb}, \text{0x13}, \text{0x53}, \text{0x45}]^T\)。

  1. 计算第一个输出字节 \(s'_0\)：

\[ s'_0 = (\{0e\} \cdot \text{0xdb}) \oplus (\{0b\} \cdot \text{0x13}) \oplus (\{0d\} \cdot \text{0x53}) \oplus (\{09\} \cdot \text{0x45}) \]

  • 计算每项（以{0e}·0xdb为例）：
    • 0xdb = 11011011₂，{02}·0xdb = 10110110₂ ⊕ 00011011₂（因最高位为1，需异或0x1b）= 10101101₂ = 0xad。
    • {04}·0xdb = {02}·({02}·0xdb) = {02}·0xad = 01011010₂ ⊕ 00011011₂ = 01000001₂ = 0x41。
    • {08}·0xdb = {02}·({04}·0xdb) = {02}·0x41 = 10000010₂ = 0x82。
    • 因此，{0e}·0xdb = 0x82 ⊕ 0x41 ⊕ 0xad = 0x8e。
  • 类似得：{0b}·0x13=0xfe，{0d}·0x53=0x6e，{09}·0x45=0xa6。
  • 最终：0x8e ⊕ 0xfe ⊕ 0x6e ⊕ 0xa6 = 0x8e ⊕ 0xfe = 0x70，0x70 ⊕ 0x6e = 0x1e，0x1e ⊕ 0xa6 = 0xb8。所以 \(s'_0 = \text{0xb8}\)。
  1. 同理计算 \(s'_1, s'_2, s'_3\)：
    • 公式为：\(s'_1 = \{09\}·s_0 \oplus \{0e\}·s_1 \oplus \{0b\}·s_2 \oplus \{0d\}·s_3\)（矩阵第二行），依此类推。

步骤5：InvMixColumns在AES解密流程中的位置

  1. AES-128解密轮函数（逆轮）顺序：InvSubBytes → InvShiftRows → InvMixColumns → AddRoundKey（但最后一轮省略InvMixColumns）。
  2. InvMixColumns的输入是InvShiftRows后的状态，输出与轮密钥进行AddRoundKey。
  3. 注意：由于AES的等价解密算法优化，实际实现中InvMixColumns可能与AddRoundKey合并，以减少计算开销。

步骤6：验证逆变换的正确性

  1. 可以验证：对任意状态列S，有 InvMixColumns(MixColumns(S)) = S。
  2. 数学上，这是因为对应的矩阵互为逆矩阵（在GF(2⁸)上），即：

\[ M_{Inv} \times M = I_{4\times4} \]

其中 \(M\) 是MixColumns矩阵，\(M_{Inv}\) 是InvMixColumns矩阵。

总结
InvMixColumns变换是AES解密的核心线性变换，通过GF(2⁸)上的矩阵乘法，逆向MixColumns的扩散效果。其计算依赖于有限域乘法，虽复杂但可通过预计算优化。理解此变换有助于掌握AES解密的完整流程，以及对称密码算法中逆变换的设计逻辑。

AES加密算法的InvMixColumns变换详解 题目描述 AES（高级加密标准）是一种广泛使用的对称分组密码算法。其解密过程是加密过程的逆操作。在加密过程中，MixColumns变换对状态的每一列进行线性变换，以提供扩散性。而在解密过程中，需要使用对应的逆变换——InvMixColumns变换，来还原状态。本题将详细讲解InvMixColumns变换的数学原理、计算过程及其在AES解密流程中的作用。 解题过程循序渐进讲解 步骤1：回顾AES的MixColumns变换 AES的状态（State）是一个4×4的字节矩阵，MixColumns变换作用于每一列。 在加密时，每一列被视为系数在GF(2⁸)上的多项式，乘以一个固定的多项式 \( a(x) = \{03\}x^3 + \{01\}x^2 + \{01\}x + \{02\} \) 模 \( x^4 + 1 \)。 计算等价于对每一列的4个字节进行矩阵乘法（系数在GF(2⁸)中）： \[ \begin{bmatrix} 02 & 03 & 01 & 01 \\ 01 & 02 & 03 & 01 \\ 01 & 01 & 02 & 03 \\ 03 & 01 & 01 & 02 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_ {0,j} \\ s_ {1,j} \\ s_ {2,j} \\ s_ {3,j} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s' {0,j} \\ s' {1,j} \\ s' {2,j} \\ s' {3,j} \end{bmatrix} \] 其中，{02}、{03}等是GF(2⁸)中的十六进制表示，乘法是GF(2⁸)上的乘法（模不可约多项式 \( x^8 + x^4 + x^3 + x + 1 \)）。 步骤2：理解InvMixColumns变换的数学基础 InvMixColumns是MixColumns的逆变换，目标是将MixColumns变换后的状态还原。 对应的逆多项式为 \( a^{-1}(x) = \{0b\}x^3 + \{0d\}x^2 + \{09\}x + \{0e\} \)，满足 \( a(x) \cdot a^{-1}(x) \equiv 1 \mod (x^4 + 1) \)。 矩阵形式为： \[ \begin{bmatrix} 0e & 0b & 0d & 09 \\ 09 & 0e & 0b & 0d \\ 0d & 09 & 0e & 0b \\ 0b & 0d & 09 & 0e \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_ {0,j} \\ s_ {1,j} \\ s_ {2,j} \\ s_ {3,j} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s' {0,j} \\ s' {1,j} \\ s' {2,j} \\ s' {3,j} \end{bmatrix} \] 矩阵中的元素（如{0e}）是GF(2⁸)中的常量，乘法同样在GF(2⁸)上定义。 步骤3：GF(2⁸)上的乘法运算详解 GF(2⁸)是有限域，包含256个元素，每个元素对应一个字节（8位）。不可约多项式为 \( m(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1 \)（对应十六进制0x11b）。 乘法运算规则： 将字节视为多项式（例如{0e} = 0x0e = 00001110₂ 对应 \( x^3 + x^2 + x \)）。 两个多项式相乘，然后模 \( m(x) \) 得到结果。 实际计算时，可以通过查表（如对数表、指数表）或组合运算实现。例如，{0e}·{s} 可拆分为： \[ \{0e\} \cdot s = (\{08\} \cdot s) \oplus (\{04\} \cdot s) \oplus (\{02\} \cdot s) \] 其中，{02}·s 是s的左移一位（低位补0），若s的最高位为1，则再与0x1b异或（模m(x)约简）。 步骤4：InvMixColumns计算示例 以解密时某一列的4个字节输入为例：假设列向量为 \( [ s_ 0, s_ 1, s_ 2, s_ 3]^T = [ \text{0xdb}, \text{0x13}, \text{0x53}, \text{0x45} ]^T \)。 计算第一个输出字节 \( s'_ 0 \)： \[ s'_ 0 = (\{0e\} \cdot \text{0xdb}) \oplus (\{0b\} \cdot \text{0x13}) \oplus (\{0d\} \cdot \text{0x53}) \oplus (\{09\} \cdot \text{0x45}) \] 计算每项（以{0e}·0xdb为例）： 0xdb = 11011011₂，{02}·0xdb = 10110110₂ ⊕ 00011011₂（因最高位为1，需异或0x1b）= 10101101₂ = 0xad。 {04}·0xdb = {02}·({02}·0xdb) = {02}·0xad = 01011010₂ ⊕ 00011011₂ = 01000001₂ = 0x41。 {08}·0xdb = {02}·({04}·0xdb) = {02}·0x41 = 10000010₂ = 0x82。 因此，{0e}·0xdb = 0x82 ⊕ 0x41 ⊕ 0xad = 0x8e。 类似得：{0b}·0x13=0xfe，{0d}·0x53=0x6e，{09}·0x45=0xa6。 最终：0x8e ⊕ 0xfe ⊕ 0x6e ⊕ 0xa6 = 0x8e ⊕ 0xfe = 0x70，0x70 ⊕ 0x6e = 0x1e，0x1e ⊕ 0xa6 = 0xb8。所以 \( s'_ 0 = \text{0xb8} \)。 同理计算 \( s'_ 1, s'_ 2, s'_ 3 \)： 公式为：\( s'_ 1 = \{09\}·s_ 0 \oplus \{0e\}·s_ 1 \oplus \{0b\}·s_ 2 \oplus \{0d\}·s_ 3 \)（矩阵第二行），依此类推。 步骤5：InvMixColumns在AES解密流程中的位置 AES-128解密轮函数（逆轮）顺序：InvSubBytes → InvShiftRows → InvMixColumns → AddRoundKey（但最后一轮省略InvMixColumns）。 InvMixColumns的输入是InvShiftRows后的状态，输出与轮密钥进行AddRoundKey。 注意：由于AES的等价解密算法优化，实际实现中InvMixColumns可能与AddRoundKey合并，以减少计算开销。 步骤6：验证逆变换的正确性 可以验证：对任意状态列S，有 InvMixColumns(MixColumns(S)) = S。 数学上，这是因为对应的矩阵互为逆矩阵（在GF(2⁸)上），即： \[ M_ {Inv} \times M = I_ {4\times4} \] 其中 \( M \) 是MixColumns矩阵，\( M_ {Inv} \) 是InvMixColumns矩阵。 总结 InvMixColumns变换是AES解密的核心线性变换，通过GF(2⁸)上的矩阵乘法，逆向MixColumns的扩散效果。其计算依赖于有限域乘法，虽复杂但可通过预计算优化。理解此变换有助于掌握AES解密的完整流程，以及对称密码算法中逆变换的设计逻辑。