基于序列凸近似和信赖域反射的混合整数非线性规划算法进阶题

字数 2797 2025-12-10 12:31:53

基于序列凸近似和信赖域反射的混合整数非线性规划算法进阶题

题目描述

考虑混合整数非线性规划（MINLP）问题：
min f(x, y)
s.t. g_i(x, y) ≤ 0, i = 1, ..., m
h_j(x, y) = 0, j = 1, ..., p
x ∈ X ⊆ ℝ^n (连续变量)
y ∈ Y ⊆ ℤ^q (整数变量)
其中 f, g_i, h_j 是光滑但可能非凸的函数。该问题同时包含非凸性、非线性约束和整数变量，求解困难。

要求：结合序列凸近似（SCA）和信赖域反射（TRR）的思想，设计一个求解该MINLP的算法。SCA用于处理非凸约束和目标，通过凸近似在迭代点构造可解的子问题；TRR用于处理子问题中的等式和不等式约束，尤其适合求解边界附近的问题。算法需处理整数变量，保证收敛到局部最优解。

解题过程循序渐进讲解

1. 问题分解与算法框架构思

MINLP的挑战在于连续和离散变量的耦合以及非凸性。常见思路是外层处理整数变量（如分支定界），内层处理连续变量。我们采用序列凸近似框架，在每次迭代中固定整数变量 y_k，在连续变量子空间求解一个凸近似子问题，然后更新 y_k 和 x_k。

算法框架为：

初始化 (x₀, y₀)，设置信赖域半径 Δ₀ > 0，迭代计数 k=0。
While 未收敛:
a. 固定 y = y_k，在当前点 (x_k, y_k) 对 f 和 g_i 进行凸近似，对 h_j 进行线性近似，构建一个带有信赖域约束的凸子问题（连续变量子问题）。
b. 用信赖域反射法（TRR）求解该凸子问题，得到步长 s_k，更新 x_{k+1} = x_k + s_k。
c. 判断步长接受性，更新信赖域半径 Δ_k。
d. 在整数空间搜索，更新 y_{k+1}（例如，在 y_k 邻域内搜索，评估目标函数改进）。
e. 判断收敛条件（如步长、函数值变化、约束违反度等）。

2. 构建凸近似子问题

在点 (x_k, y_k)，我们将目标函数 f(x, y_k) 在 x 处凸近似。常用一阶泰勒展开，但可能不保持凸性。为此，我们可以对非凸部分添加正则项，使其强凸。例如，对于 f，构造近似函数：
f̂_k(x) = f(x_k, y_k) + ∇ₓ f(x_k, y_k)^T (x - x_k) + (τ/2) ||x - x_k||²
其中 τ > 0 是强凸参数，保证 f̂_k 是强凸的。类似地，对不等式约束 g_i(x, y_k) ≤ 0 进行凸近似：
ĝ_i,k(x) = g_i(x_k, y_k) + ∇ₓ g_i(x_k, y_k)^T (x - x_k) ≤ 0
（如果 g_i 非凸，此近似可能不凸，此时也可对 g_i 添加正则项或采用保守的凸上近似）。
对等式约束 h_j(x, y_k)=0 线性化：
ĥ_j,k(x) = h_j(x_k, y_k) + ∇ₓ h_j(x_k, y_k)^T (x - x_k) = 0

此外，为保证近似只在 x_k 附近有效，加入信赖域约束：||x - x_k|| ≤ Δ_k。

于是得到凸子问题（在固定 y=y_k 下）：
min_x f̂_k(x)
s.t. ĝ_i,k(x) ≤ 0, i=1,...,m
ĥ_j,k(x) = 0, j=1,...,p
||x - x_k|| ≤ Δ_k
x ∈ X

3. 用信赖域反射法（TRR）求解凸子问题

信赖域反射法结合了信赖域和梯度反射思想，特别适合有界或线性约束问题。我们的子问题是凸的，有线性（或凸）约束和球约束，可用TRR有效求解。

步骤：
a. 将线性等式和不等式约束写为 Ax = b, Cx ≤ d 形式，与信赖域球约束合并。
b. 在每步TRR迭代中，计算目标梯度 ∇f̂_k，在信赖域内沿梯度反射方向搜索。反射操作将迭代点投影到可行域（满足线性约束）上。
c. 计算实际下降量 ared = f̂_k(x_k) - f̂_k(x_new) 和预测下降量 pred（基于模型函数下降），根据 ared/pred 比率调整信赖域半径 Δ_sub（子问题内部信赖域）。
d. 当子问题收敛（梯度足够小或信赖域收缩到很小），输出步长 s_k = x* - x_k。

4. 步长接受性与整数变量更新

得到连续步长 s_k 后，计算实际目标改进：
实际下降 = f(x_k, y_k) - f(x_k + s_k, y_k)
但需注意约束违反。定义价值函数 Φ(x,y) = f(x,y) + μ (Σ max(0,g_i(x,y)) + Σ |h_j(x,y)|)，其中 μ 是惩罚参数。
如果价值函数下降充分，则接受步长，令 x_{k+1} = x_k + s_k，否则拒绝，缩小 Δ_k 重新求解。

接着处理整数变量 y。可采用局部搜索：

在 y_k 的邻域 N(y_k)（如汉明距离为1的整数点）中，固定 x = x_{k+1}，评估价值函数 Φ(x_{k+1}, y')，选择使 Φ 最小的 y' 作为 y_{k+1}。
如果邻域中无改进，可扩大搜索或执行整数分支（如分支定界），但为避免复杂，可只做简单邻域搜索。

5. 收敛条件与参数更新

收敛条件：||s_k|| 很小，且 |f(x_{k+1},y_{k+1}) - f(x_k,y_k)| 很小，且约束违反度很小。
参数更新：

信赖域半径 Δ_k 根据 ared/pred 比例调整：比例大（如 >0.75）则增大 Δ；比例小（如 <0.25）则减小 Δ。
惩罚参数 μ 随迭代增大，以保证约束满足。

6. 算法总结与讨论

本算法融合了SCA和TRR：SCA将非凸问题序列凸化，TRR有效求解凸子问题，整数变量通过邻域搜索处理。优点是子问题凸且用TRR高效求解，适合中型MINLP。挑战在于凸近似的质量影响收敛，整数搜索可能陷入局部最优。可扩展为分支定界外层，内层用SCA-TRR求解连续松弛。

实例说明

考虑简单问题：min (x-1.8)² + (y-1.8)²
s.t. x² + y² ≤ 4
x ∈ [0,2], y ∈ {0,1,2}
初始化 (x₀,y₀)=(0.5,1), Δ₀=0.5。
第一步固定 y=1，构造 f̂ ≈ f(0.5,1)+2(0.5-1.8)(x-0.5)+τ/2 (x-0.5)²，约束线性化。TRR求解得到 x≈1.2。然后在 y=0,1,2 中搜索，y=2 时目标更小，更新 y=2。迭代直至收敛到近似解 (x,y)=(1.2,2)。

基于序列凸近似和信赖域反射的混合整数非线性规划算法进阶题题目描述考虑混合整数非线性规划（MINLP）问题： min f(x, y) s.t. g_ i(x, y) ≤ 0, i = 1, ..., m h_ j(x, y) = 0, j = 1, ..., p x ∈ X ⊆ ℝ^n (连续变量) y ∈ Y ⊆ ℤ^q (整数变量) 其中 f, g_ i, h_ j 是光滑但可能非凸的函数。该问题同时包含非凸性、非线性约束和整数变量，求解困难。要求：结合序列凸近似（SCA）和信赖域反射（TRR）的思想，设计一个求解该MINLP的算法。SCA用于处理非凸约束和目标，通过凸近似在迭代点构造可解的子问题；TRR用于处理子问题中的等式和不等式约束，尤其适合求解边界附近的问题。算法需处理整数变量，保证收敛到局部最优解。解题过程循序渐进讲解 1. 问题分解与算法框架构思 MINLP的挑战在于连续和离散变量的耦合以及非凸性。常见思路是外层处理整数变量（如分支定界），内层处理连续变量。我们采用序列凸近似框架，在每次迭代中固定整数变量 y_ k，在连续变量子空间求解一个凸近似子问题，然后更新 y_ k 和 x_ k。算法框架为：初始化 (x₀, y₀)，设置信赖域半径 Δ₀ > 0，迭代计数 k=0。 While 未收敛: a. 固定 y = y_ k，在当前点 (x_ k, y_ k) 对 f 和 g_ i 进行凸近似，对 h_ j 进行线性近似，构建一个带有信赖域约束的凸子问题（连续变量子问题）。 b. 用信赖域反射法（TRR）求解该凸子问题，得到步长 s_ k，更新 x_ {k+1} = x_ k + s_ k。 c. 判断步长接受性，更新信赖域半径 Δ_ k。 d. 在整数空间搜索，更新 y_ {k+1}（例如，在 y_ k 邻域内搜索，评估目标函数改进）。 e. 判断收敛条件（如步长、函数值变化、约束违反度等）。 2. 构建凸近似子问题在点 (x_ k, y_ k)，我们将目标函数 f(x, y_ k) 在 x 处凸近似。常用一阶泰勒展开，但可能不保持凸性。为此，我们可以对非凸部分添加正则项，使其强凸。例如，对于 f，构造近似函数： f̂_ k(x) = f(x_ k, y_ k) + ∇ₓ f(x_ k, y_ k)^T (x - x_ k) + (τ/2) ||x - x_ k||² 其中 τ > 0 是强凸参数，保证 f̂_ k 是强凸的。类似地，对不等式约束 g_ i(x, y_ k) ≤ 0 进行凸近似： ĝ_ i,k(x) = g_ i(x_ k, y_ k) + ∇ₓ g_ i(x_ k, y_ k)^T (x - x_ k) ≤ 0 （如果 g_ i 非凸，此近似可能不凸，此时也可对 g_ i 添加正则项或采用保守的凸上近似）。对等式约束 h_ j(x, y_ k)=0 线性化： ĥ_ j,k(x) = h_ j(x_ k, y_ k) + ∇ₓ h_ j(x_ k, y_ k)^T (x - x_ k) = 0 此外，为保证近似只在 x_ k 附近有效，加入信赖域约束：||x - x_ k|| ≤ Δ_ k。于是得到凸子问题（在固定 y=y_ k 下）： min_ x f̂_ k(x) s.t. ĝ_ i,k(x) ≤ 0, i=1,...,m ĥ_ j,k(x) = 0, j=1,...,p ||x - x_ k|| ≤ Δ_ k x ∈ X 3. 用信赖域反射法（TRR）求解凸子问题信赖域反射法结合了信赖域和梯度反射思想，特别适合有界或线性约束问题。我们的子问题是凸的，有线性（或凸）约束和球约束，可用TRR有效求解。步骤： a. 将线性等式和不等式约束写为 Ax = b, Cx ≤ d 形式，与信赖域球约束合并。 b. 在每步TRR迭代中，计算目标梯度 ∇f̂_ k，在信赖域内沿梯度反射方向搜索。反射操作将迭代点投影到可行域（满足线性约束）上。 c. 计算实际下降量 ared = f̂_ k(x_ k) - f̂_ k(x_ new) 和预测下降量 pred（基于模型函数下降），根据 ared/pred 比率调整信赖域半径 Δ_ sub（子问题内部信赖域）。 d. 当子问题收敛（梯度足够小或信赖域收缩到很小），输出步长 s_ k = x* - x_ k。 4. 步长接受性与整数变量更新得到连续步长 s_ k 后，计算实际目标改进：实际下降 = f(x_ k, y_ k) - f(x_ k + s_ k, y_ k) 但需注意约束违反。定义价值函数 Φ(x,y) = f(x,y) + μ (Σ max(0,g_ i(x,y)) + Σ |h_ j(x,y)|)，其中 μ 是惩罚参数。如果价值函数下降充分，则接受步长，令 x_ {k+1} = x_ k + s_ k，否则拒绝，缩小 Δ_ k 重新求解。接着处理整数变量 y。可采用局部搜索：在 y_ k 的邻域 N(y_ k)（如汉明距离为1的整数点）中，固定 x = x_ {k+1}，评估价值函数 Φ(x_ {k+1}, y')，选择使 Φ 最小的 y' 作为 y_ {k+1}。如果邻域中无改进，可扩大搜索或执行整数分支（如分支定界），但为避免复杂，可只做简单邻域搜索。 5. 收敛条件与参数更新收敛条件：||s_ k|| 很小，且 |f(x_ {k+1},y_ {k+1}) - f(x_ k,y_ k)| 很小，且约束违反度很小。参数更新：信赖域半径 Δ_ k 根据 ared/pred 比例调整：比例大（如 >0.75）则增大 Δ；比例小（如 <0.25）则减小 Δ。惩罚参数 μ 随迭代增大，以保证约束满足。 6. 算法总结与讨论本算法融合了SCA和TRR：SCA将非凸问题序列凸化，TRR有效求解凸子问题，整数变量通过邻域搜索处理。优点是子问题凸且用TRR高效求解，适合中型MINLP。挑战在于凸近似的质量影响收敛，整数搜索可能陷入局部最优。可扩展为分支定界外层，内层用SCA-TRR求解连续松弛。实例说明考虑简单问题：min (x-1.8)² + (y-1.8)² s.t. x² + y² ≤ 4 x ∈ [ 0,2 ], y ∈ {0,1,2} 初始化 (x₀,y₀)=(0.5,1), Δ₀=0.5。第一步固定 y=1，构造 f̂ ≈ f(0.5,1)+2(0.5-1.8)(x-0.5)+τ/2 (x-0.5)²，约束线性化。TRR求解得到 x≈1.2。然后在 y=0,1,2 中搜索，y=2 时目标更小，更新 y=2。迭代直至收敛到近似解 (x,y)=(1.2,2)。