高斯-拉盖尔求积公式在概率论中Gamma分布矩计算的应用
字数 3019 2025-12-10 12:20:54

高斯-拉盖尔求积公式在概率论中Gamma分布矩计算的应用

题目描述

考虑Gamma分布的概率密度函数（PDF）为：

\[f(x; k, \theta) = \frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} x^{k-1} e^{-x/\theta}, \quad x > 0 \]

其中 \(k > 0\) 是形状参数，\(\theta > 0\) 是尺度参数，\(\Gamma(k)\) 是Gamma函数。Gamma分布的 \(r\)-阶原点矩定义为：

\[\mathbb{E}[X^r] = \int_0^{\infty} x^r f(x; k, \theta) \, dx \]

要求用高斯-拉盖尔（Gauss-Laguerre）求积公式高效计算该积分，并分析参数 \(k, \theta, r\) 对数值精度的影响。

解题过程

步骤1：将积分转化为标准高斯-拉盖尔形式

高斯-拉盖尔求积公式适用于积分：

\[\int_0^{\infty} e^{-x} g(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^n w_i g(x_i) \]

其中 \(x_i\) 是 \(n\) 次拉盖尔多项式的零点，\(w_i\) 是对应权重。

将Gamma分布的矩积分重写：

\[\mathbb{E}[X^r] = \int_0^{\infty} x^r \cdot \frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} x^{k-1} e^{-x/\theta} \, dx = \frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} \int_0^{\infty} x^{k+r-1} e^{-x/\theta} \, dx \]

作变量替换：令 \(t = x/\theta\)，则 \(x = \theta t\)，\(dx = \theta \, dt\)，积分变为：

\[\mathbb{E}[X^r] = \frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} \int_0^{\infty} (\theta t)^{k+r-1} e^{-t} \cdot \theta \, dt = \frac{\theta^{k+r-1} \cdot \theta}{\Gamma(k) \theta^k} \int_0^{\infty} t^{k+r-1} e^{-t} \, dt \]

化简系数：

\[= \frac{\theta^{r}}{\Gamma(k)} \int_0^{\infty} t^{k+r-1} e^{-t} \, dt \]

至此，积分已具有标准形式 \(\int_0^{\infty} e^{-t} g(t) \, dt\)，其中被积函数：

\[g(t) = t^{k+r-1} \]

权重函数 \(e^{-t}\) 与高斯-拉盖尔求积的权函数匹配。

步骤2：应用高斯-拉盖尔求积公式

取 \(n\) 个节点 \(t_i\) 和权重 \(w_i\)（来自 \(n\) 次拉盖尔多项式），则积分：

\[\int_0^{\infty} t^{k+r-1} e^{-t} \, dt \approx \sum_{i=1}^n w_i \cdot t_i^{k+r-1} \]

因此，矩的近似值为：

\[\mathbb{E}[X^r] \approx \frac{\theta^{r}}{\Gamma(k)} \sum_{i=1}^n w_i \, t_i^{\,k+r-1} \]

这里 \(t_i\) 和 \(w_i\) 是标准高斯-拉盖尔求积的节点和权重（与 \(k, r, \theta\) 无关），可通过查表或数值计算得到。

步骤3：高斯-拉盖尔求积的误差分析

该公式具有最高代数精度：对任意次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式 \(g(t)\)，求积结果精确。在我们的问题中，\(g(t) = t^{k+r-1}\)。注意：

  1. 如果 \(k+r-1\) 是非负整数且 \(k+r-1 \leq 2n-1\)，则求积精确。
  2. 如果 \(k\) 或 \(r\) 使得 \(k+r-1\) 不是整数，则 \(g(t)\) 不是多项式，求积存在误差。误差公式为：

\[ E_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} g^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (0, \infty) \]

但此处 \(g(t) = t^{\alpha}\)（\(\alpha = k+r-1\) 为实数），高阶导数可能很大，尤其是当 \(\alpha\) 较大时，需要更多节点 \(n\) 以保证精度。

步骤4：数值实现细节

  1. 获取节点与权重：
    可通过递归关系生成拉盖尔多项式的零点，或调用数值库（如SciPy的scipy.special.roots_laguerre）。

  2. 计算 \(\Gamma(k)\)：
    可使用math.gamma（若 \(k\) 较大可用对数Gamma函数避免溢出）。

  3. 选择节点数 \(n\)：
    根据 \(\alpha = k+r-1\) 的大小选择。经验上，取 \(n > \alpha + 5\) 可获较好精度。若 \(k\) 或 \(r\) 很大，需增加 \(n\)。

  4. 示例计算：
    设 \(k=2.5, \theta=1.2, r=3\)，则 \(\alpha = 2.5+3-1 = 4.5\)。取 \(n=10\)：

\[ \mathbb{E}[X^3] \approx \frac{1.2^3}{\Gamma(2.5)} \sum_{i=1}^{10} w_i \, t_i^{\,4.5} \]

将节点 \(t_i\) 和权重 \(w_i\) 代入求和，再乘以系数即得近似值。

步骤5：与解析解对比验证

Gamma分布的 \(r\)-阶矩解析解为：

\[\mathbb{E}[X^r] = \theta^{\,r} \frac{\Gamma(k+r)}{\Gamma(k)} \]

可用此验证数值结果的准确性。定义相对误差：

\[\text{相对误差} = \left| \frac{\text{数值解} - \text{解析解}}{\text{解析解}} \right| \]

增加 \(n\) 可观察误差下降情况。

关键点总结

  1. 变量替换是关键，将积分核化为 \(e^{-t}\)，匹配高斯-拉盖尔权函数。
  2. 节点权重与分布参数 \(k, \theta, r\) 无关，只需计算一次即可用于不同参数。
  3. 当 \(k+r-1\) 为非整数时，需更多节点以保证精度；若 \(k+r-1\) 很大，被积函数 \(t^{\alpha}\) 在 \(t>1\) 增长快，但权函数 \(e^{-t}\) 衰减更快，积分仍收敛。
  4. 该方法避免了直接数值积分的缓慢，特别适合需要多次计算不同参数矩的场景（如参数估计）。
高斯-拉盖尔求积公式在概率论中Gamma分布矩计算的应用 题目描述 考虑Gamma分布的概率密度函数（PDF）为： \[ f(x; k, \theta) = \frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} x^{k-1} e^{-x/\theta}, \quad x > 0 \] 其中 \( k > 0 \) 是形状参数，\( \theta > 0 \) 是尺度参数，\( \Gamma(k) \) 是Gamma函数。Gamma分布的 \( r \)-阶原点矩定义为： \[ \mathbb{E}[ X^r] = \int_ 0^{\infty} x^r f(x; k, \theta) \, dx \] 要求用 高斯-拉盖尔（Gauss-Laguerre）求积公式 高效计算该积分，并分析参数 \( k, \theta, r \) 对数值精度的影响。 解题过程 步骤1：将积分转化为标准高斯-拉盖尔形式 高斯-拉盖尔求积公式适用于积分： \[ \int_ 0^{\infty} e^{-x} g(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^n w_ i g(x_ i) \] 其中 \( x_ i \) 是 \( n \) 次拉盖尔多项式的零点，\( w_ i \) 是对应权重。 将Gamma分布的矩积分重写： \[ \mathbb{E}[ X^r] = \int_ 0^{\infty} x^r \cdot \frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} x^{k-1} e^{-x/\theta} \, dx = \frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} \int_ 0^{\infty} x^{k+r-1} e^{-x/\theta} \, dx \] 作变量替换：令 \( t = x/\theta \)，则 \( x = \theta t \)，\( dx = \theta \, dt \)，积分变为： \[ \mathbb{E}[ X^r] = \frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} \int_ 0^{\infty} (\theta t)^{k+r-1} e^{-t} \cdot \theta \, dt = \frac{\theta^{k+r-1} \cdot \theta}{\Gamma(k) \theta^k} \int_ 0^{\infty} t^{k+r-1} e^{-t} \, dt \] 化简系数： \[ = \frac{\theta^{r}}{\Gamma(k)} \int_ 0^{\infty} t^{k+r-1} e^{-t} \, dt \] 至此，积分已具有标准形式 \( \int_ 0^{\infty} e^{-t} g(t) \, dt \)，其中被积函数： \[ g(t) = t^{k+r-1} \] 权重函数 \( e^{-t} \) 与高斯-拉盖尔求积的权函数匹配。 步骤2：应用高斯-拉盖尔求积公式 取 \( n \) 个节点 \( t_ i \) 和权重 \( w_ i \)（来自 \( n \) 次拉盖尔多项式），则积分： \[ \int_ 0^{\infty} t^{k+r-1} e^{-t} \, dt \approx \sum_ {i=1}^n w_ i \cdot t_ i^{k+r-1} \] 因此，矩的近似值为： \[ \mathbb{E}[ X^r] \approx \frac{\theta^{r}}{\Gamma(k)} \sum_ {i=1}^n w_ i \, t_ i^{\,k+r-1} \] 这里 \( t_ i \) 和 \( w_ i \) 是标准高斯-拉盖尔求积的节点和权重（与 \( k, r, \theta \) 无关），可通过查表或数值计算得到。 步骤3：高斯-拉盖尔求积的误差分析 该公式具有 最高代数精度 ：对任意次数 \( \leq 2n-1 \) 的多项式 \( g(t) \)，求积结果精确。在我们的问题中，\( g(t) = t^{k+r-1} \)。注意： 如果 \( k+r-1 \) 是 非负整数 且 \( k+r-1 \leq 2n-1 \)，则求积精确。 如果 \( k \) 或 \( r \) 使得 \( k+r-1 \) 不是整数，则 \( g(t) \) 不是多项式，求积存在误差。误差公式为： \[ E_ n = \frac{(n!)^2}{(2n) !} g^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (0, \infty) \] 但此处 \( g(t) = t^{\alpha} \)（\( \alpha = k+r-1 \) 为实数），高阶导数可能很大，尤其是当 \( \alpha \) 较大时，需要更多节点 \( n \) 以保证精度。 步骤4：数值实现细节 获取节点与权重 ： 可通过递归关系生成拉盖尔多项式的零点，或调用数值库（如SciPy的 scipy.special.roots_laguerre ）。 计算 \( \Gamma(k) \) ： 可使用 math.gamma （若 \( k \) 较大可用对数Gamma函数避免溢出）。 选择节点数 \( n \) ： 根据 \( \alpha = k+r-1 \) 的大小选择。经验上，取 \( n > \alpha + 5 \) 可获较好精度。若 \( k \) 或 \( r \) 很大，需增加 \( n \)。 示例计算 ： 设 \( k=2.5, \theta=1.2, r=3 \)，则 \( \alpha = 2.5+3-1 = 4.5 \)。取 \( n=10 \)： \[ \mathbb{E}[ X^3] \approx \frac{1.2^3}{\Gamma(2.5)} \sum_ {i=1}^{10} w_ i \, t_ i^{\,4.5} \] 将节点 \( t_ i \) 和权重 \( w_ i \) 代入求和，再乘以系数即得近似值。 步骤5：与解析解对比验证 Gamma分布的 \( r \)-阶矩解析解为： \[ \mathbb{E}[ X^r ] = \theta^{\,r} \frac{\Gamma(k+r)}{\Gamma(k)} \] 可用此验证数值结果的准确性。定义相对误差： \[ \text{相对误差} = \left| \frac{\text{数值解} - \text{解析解}}{\text{解析解}} \right| \] 增加 \( n \) 可观察误差下降情况。 关键点总结 变量替换 是关键，将积分核化为 \( e^{-t} \)，匹配高斯-拉盖尔权函数。 节点权重与分布参数 \( k, \theta, r \) 无关，只需计算一次即可用于不同参数。 当 \( k+r-1 \) 为非整数时，需更多节点以保证精度；若 \( k+r-1 \) 很大，被积函数 \( t^{\alpha} \) 在 \( t>1 \) 增长快，但权函数 \( e^{-t} \) 衰减更快，积分仍收敛。 该方法避免了直接数值积分的缓慢，特别适合需要多次计算不同参数矩的场景（如参数估计）。