鸡蛋掉落问题（进阶版：带楼层限制的鸡蛋掉落）的变种：带成本限制的鸡蛋掉落
题目描述
假设有 F 层楼，E 个鸡蛋。每次操作可以从某一层楼扔下鸡蛋，如果鸡蛋碎了就不能再用，如果没碎则可以继续使用。每次扔鸡蛋都有成本，成本取决于楼层：从第 x 层扔鸡蛋的成本为 cost[x]（cost 是一个非负整数数组，长度为 F+1，cost[0] 表示从第0层（地面）扔的成本，但通常从第0层扔无意义，所以实际从第1层开始扔）。现在给定一个总成本预算 B，目标是找到在最坏情况下，用不超过预算 B 的成本，能确定出鸡蛋的最高安全楼层（即鸡蛋从该楼层及以下扔下不会碎的最低楼层）的最小操作次数（即扔鸡蛋的次数）。如果预算无法确定安全楼层，则返回 -1。
注意：
- 最坏情况：需要保证无论鸡蛋在哪一层碎（或不碎），你的策略都能在给定成本和操作次数限制下找到安全楼层。
- 每次扔鸡蛋的成本取决于楼层，即从第
x层扔的成本是cost[x]。 - 预算
B是总成本上限，即所有扔鸡蛋的成本之和不能超过B。 - 你需要找出在不超过预算
B的情况下，最坏情况下所需的最小扔鸡蛋次数。
解题过程循序渐进讲解
步骤1：理解问题与定义状态
原版鸡蛋掉落问题中，状态 dp[e][m] 表示有 e 个鸡蛋、允许最多扔 m 次时，能确定安全楼层的最大楼层数。但这里加入了成本限制，状态需要扩展。
我们需要在最坏情况下，用不超过预算 B 的成本，确定安全楼层。因此，状态定义必须同时考虑鸡蛋数量、操作次数、可用预算。
定义状态：
- 设
dp[e][k][b]表示：当前有e个鸡蛋，最多允许扔k次，总成本预算为b时，能确定安全楼层的最大楼层数。 - 目标是找到最小的
k，使得存在某个e ≥ 1且b ≤ B时，dp[E][k][B] ≥ F。
但，这个状态空间可能过大：E 个鸡蛋，k 最多可能是 F（最坏情况一层层试），B 是成本预算。复杂度大致为 O(E * F * B * F)，在 F 和 B 较大时可能不可行。我们需要更紧凑的状态定义。
步骤2：状态定义的优化
注意到，我们实际关心的是：在给定鸡蛋数 e 和预算 b 时，用最优策略，在最坏情况下能确定的最大楼层数。而操作次数 k 是隐含在递推中的，我们可以将 k 作为“操作次数”维度，但这样仍然需要枚举 k。
更常见的优化是：定义 dp[e][b] 为有 e 个鸡蛋、总成本预算为 b 时，在最坏情况下用最优策略能确定的最大楼层数，并记录对应的最少操作次数。但这样难以同时递推“最大楼层数”和“最小操作次数”。
另一种思路（更直接）：定义 dp[e][b] 为在鸡蛋数为 e、成本预算为 b 时，要确定 f 层楼的安全楼层所需的最坏情况下的最小操作次数。然后我们通过二分查找或枚举 f 来找到最大的 f 使得 dp[E][B] ≤ K（某个操作次数限制），但这里我们实际上想同时最小化操作次数，所以需要先固定操作次数上限。
重新定义状态（类似原问题，但加入成本维度）：
设 dp[e][k] 表示有 e 个鸡蛋、最多允许扔 k 次、总成本预算不限时，能确定的最大楼层数。但这里成本有限制，所以我们需要在递推时考虑成本约束。
更好的做法是将成本作为状态的一维，但用“最大楼层数”作为值：
定义 dp[e][b] 为有 e 个鸡蛋、总成本预算为 b 时，在最坏情况下用最优策略能确定的最大楼层数。
则递推时，我们需要枚举第一次扔的楼层 x，并考虑碎与不碎两种情况，同时成本要加上 cost[x]。
步骤3：递推关系推导
假设第一次扔在第 x 层（1 ≤ x ≤ 某值）：
- 如果鸡蛋碎了，则剩下
e-1个鸡蛋，剩余预算b - cost[x]，需要在x-1层以下确定安全楼层，能确定的最大楼层数为dp[e-1][b-cost[x]]。 - 如果鸡蛋没碎，则剩下
e个鸡蛋，剩余预算b - cost[x]，需要在x层以上确定安全楼层，能确定的最大楼层数为dp[e][b-cost[x]] + x（因为已经确定前x层是安全的，再加上上面能确定的楼层数）。
最坏情况下，我们要取两种情况的最小值，并最大化这个最小值（即最优策略是选择 x 使得这个最小值最大）：
dp[e][b] = max_{1 ≤ x ≤ dp[e][b-?]} ( min(dp[e-1][b-cost[x]], dp[e][b-cost[x]] + x) )
但这里 x 的上限是当前能确定的楼层数？实际上，我们需要枚举 x 从 1 到当前的某个上限（比如 dp[e][b] 的可能值），但这样会形成循环依赖。
更好的做法是二分查找第一次扔的楼层 x，但需要保证 cost[x] ≤ b。
步骤4：动态规划递推的重新设计
我们换一种状态定义：
设 dp[e][k] 表示有 e 个鸡蛋、最多允许扔 k 次、总成本预算不限时能确定的最大楼层数。然后我们在这个基础上，再考虑成本限制，即在枚举第一次扔的楼层时，选择成本不超过剩余预算的楼层。
但这样仍然复杂。我们回到经典鸡蛋掉落问题的另一种状态：dp[e][m] 表示 e 个鸡蛋、m 次操作能确定的最大楼层数，递推为：
dp[e][m] = dp[e-1][m-1] + 1 + dp[e][m-1]
其中，dp[e-1][m-1] 是碎了后下面的层数，dp[e][m-1] 是没碎后上面的层数。
现在加入成本限制：每次扔鸡蛋有成本，总成本不能超过 B。那么，当我们第一次扔在某一层时，我们需要知道这次扔的成本，然后剩余预算分配给碎和不碎的两种情况，并且两种情况下的操作次数都减少 1。
因此，我们可以定义状态 dp[e][k][b] 为：用 e 个鸡蛋、最多 k 次操作、总成本预算 b 时，能确定的最大楼层数。递推时枚举第一次扔的楼层 x（1 ≤ x ≤ 当前能确定的某值），但 x 的枚举需要优化。
步骤5：优化递推与实现
由于 F 可能很大（如 10^4），E 较小（如 ≤ 100），B 也可能较大（如 10^4），三维状态可能过大。我们需要压缩。
观察发现，操作次数 k 不会超过 E + logF 之类，但最坏情况可能到 F。但我们可以用“操作次数”作为最外层循环，逐渐增加 k，看能否在预算 B 内确定 F 层。
最终采用的状态定义：
dp[e][b] 表示有 e 个鸡蛋、总成本预算为 b 时，用最优策略在最坏情况下能确定的最大楼层数，且我们记录对应的最少操作次数？不，操作次数隐含在递推中。
我们可以用“操作次数”作为另一维度，但将“最大楼层数”作为值。即定义 dp[e][k] 为 e 个鸡蛋、最多 k 次扔鸡蛋、总成本不超过 B 时能确定的最大楼层数。但 B 是总预算，不是每次的局部预算，所以我们需要在递推中累计成本。
步骤6：另一种思路——二分答案
我们要求的是最小操作次数 K，使得存在一种策略，在总成本 ≤ B 的情况下，能确定 F 层楼的安全楼层。
我们可以二分这个 K（操作次数范围 1 到 F），对于每个 K，检查是否可行。
如何检查给定操作次数上限 K 是否可行？
我们需要判断：用 E 个鸡蛋，最多扔 K 次，总成本预算 B，是否能确定 F 层楼的安全楼层。
这可以通过动态规划判断：设 dp[e][k] 为 e 个鸡蛋、最多 k 次操作、总成本不超过 B 时能确定的最大楼层数。递推时，我们需要枚举第一次扔的楼层 x，并满足成本约束。
递推式：
dp[e][k] = max_{x: cost[x] ≤ B} (1 + dp[e-1][k-1] 在预算 B - cost[x] 下能确定的楼层 + dp[e][k-1] 在预算 B - cost[x] 下能确定的楼层)
但这里成本是全局的，不是每层独立的。实际上，我们需要在状态中加入剩余预算维度。
因此，我们最终用三维状态：
dp[e][k][b] = 用 e 个鸡蛋、最多 k 次操作、总成本预算 b 时，能确定的最大楼层数。
递推：
dp[e][k][b] = max_{1 ≤ x ≤ 当前可确定的某个上限} (
if cost[x] ≤ b:
1 + dp[e-1][k-1][b - cost[x]] + dp[e][k-1][b - cost[x]]
else 不能从 x 层扔
)
但 x 的上限应该是 dp[e][k-1][b] 之类的，这又循环了。
步骤7：简化与近似解法
由于问题复杂，实际竞赛中可能限制 E 很小（如 ≤ 20），F 和 B 适中（≤ 2000）。我们可以采用记忆化搜索 + 二分查找第一次扔的楼层。
定义函数 solve(e, k, b) 返回最大可确定楼层数。
- 如果 e == 1，只能一层层试，最多试 min(b / min_cost, k) 层，其中 min_cost 是 1..F 的最小成本。
- 如果 k == 0，返回 0。
- 否则，二分查找第一个扔的楼层 x，使得在剩余预算下，能确定的楼层数最大。
具体地，对于每个可能的中层 x（1 ≤ x ≤ F），如果 cost[x] > b，则不能扔；否则：
below = solve(e-1, k-1, b - cost[x]) // 碎了，下面最多可确定 below 层
above = solve(e, k-1, b - cost[x]) // 没碎，上面最多可确定 above 层
total = 1 + below + above
取所有 x 中 total 的最大值。
用记忆化存储 (e, k, b) 的结果。复杂度 O(E * K * B * logF)，在适当范围内可接受。
步骤8：最终算法步骤
- 输入 E, F, B, cost[1..F]。
- 二分搜索操作次数 K，范围 [1, F]。
- 对每个 K，检查
search(E, K, B) ≥ F是否成立，其中 search 是上述记忆化搜索函数。 - 找到最小的 K 使得成立，若无则返回 -1。
步骤9：边界与优化
- 如果 cost 最小值 * K > B，则即使一层层试也超出预算，直接返回 false。
- 记忆化可用哈希表或数组，注意 b 可能较大，但 B 有限，所以状态数 = E * K * B。
- 在二分 K 时，如果 E ≥ logF，可以用二分策略，操作次数约为 logF，但需考虑成本。
步骤10：总结
本题是带成本限制的鸡蛋掉落问题，需要在经典鸡蛋掉落 DP 基础上加入成本维度，通过二分操作次数、记忆化搜索检查可行性来求解。核心难点是状态设计需同时考虑鸡蛋数、操作次数、预算，通过二分答案将最小化操作次数转化为判定问题，再通过 DP 或记忆化搜索判断。