列生成算法在生产调度中的流水车间排序问题求解示例
字数 4337 2025-12-10 09:39:41

列生成算法在生产调度中的流水车间排序问题求解示例

我将为你详细讲解如何使用列生成算法解决流水车间排序（Flow Shop Scheduling）问题。这是一个经典的生产调度问题，我们重点讲解其中的置换流水车间排序问题（Permutation Flow Shop Problem）。

1. 问题描述

背景

在一个制造车间中，有 \(n\) 个待加工的工件（Jobs）和 \(m\) 台机器（Machines）。每个工件都必须依次经过这 \(m\) 台机器进行加工（即工艺路线相同：机器1 → 机器2 → ... → 机器m），且每台机器一次只能加工一个工件。我们的目标是找到一个工件的加工顺序（一个排列），使得所有工件都完成加工的时间（即总完工时间，Makespan）最短。

数学模型

设：

  • \(n\)：工件数量
  • \(m\)：机器数量
  • \(p_{ij}\)：工件 \(j\) 在机器 \(i\) 上的加工时间
  • 决策变量：工件在每台机器上的加工顺序（由于是置换流水车间，所有机器上工件的加工顺序相同）

2. 为什么这个问题难以直接求解？

对于 \(n\) 个工件，可能的排列有 \(n!\) 个。即使 \(n=20\)，\(20! \approx 2.43 \times 10^{18}\)，这是一个巨大的搜索空间，属于NP难问题。因此，直接枚举所有排列不现实，我们需要更聪明的方法。

列生成算法（Column Generation）可以用于求解这类问题的线性规划松弛，然后结合分支定界（Branch and Bound）得到最优解（即分支定价算法）。下面我们重点讲解列生成的核心部分。

3. 将问题建模为集合划分/覆盖模型

关键思路

我们不直接对每个工件的顺序建模，而是考虑“工件块”或“加工模式”。但更经典的做法是将问题转化为基于时间的网络流模型，然后对“路径”进行列生成。

这里我们采用一种常见的时间索引模型，但为了应用列生成，我们将其分解：

  1. 主问题（Master Problem）：选择一些完整的加工序列（排列），使得每个工件恰好被一个序列包含，且最小化最大完工时间。
  2. 子问题（Pricing Problem）：生成新的、有潜力的加工序列（即“列”），以改进主问题的目标。

4. 构建主问题（集合划分形式）

定义

  • 令 \(S\) 为所有可能排列（序列）的集合。每个排列 \(s \in S\) 是一个工件的加工顺序。
  • 对于排列 \(s\)，定义：
    • \(c_s\)：排列 \(s\) 对应的完工时间（即该序列下最后一个工件在最后一台机器上完成的时间）。
    • \(a_{js} = 1\) 如果工件 \(j\) 在排列 \(s\) 中，否则为 0（显然每个排列包含所有工件，但顺序不同，所以 \(a_{js} = 1, \forall j\)，这会导致退化，所以我们需要调整模型）。

问题：每个排列都包含所有工件，这会导致集合划分退化为单集合选择。因此，我们需要调整模型。

常用技巧：将问题分解为多阶段或多机器，但更实用的方法是：不直接对整个排列进行列生成，而是对单个机器上的调度进行列生成，并通过耦合约束连接机器。这会较为复杂。

替代思路（更经典）：将问题建模为基于路径的模型，其中每个“列”对应一个工件在时间上的安排，但这样时间维度会很大。在流水车间中，常用列生成求解其时间索引线性规划松弛，而子问题是最短路径问题。

为了避免过于复杂，我们采用一种简化的教学模型，常用于说明列生成在调度中的应用：

重新定义主问题（基于“块”的模型）

假设我们将时间轴离散化为时间槽（time slots），但这样变量太多。实际上，在置换流水车间中，我们可以用旅行商问题（TSP） 的类比：工件类似于城市，加工时间类似于距离，但这里有多个机器。

一个更可行的列生成模型是：

主问题（选择工件顺序的片段）：

  • 定义决策变量 \(x_{\sigma}\)，其中 \(\sigma\) 是工件的一个排列（即一个完整的调度序列）。
  • 目标：最小化 \(\sum_{\sigma} c_{\sigma} x_{\sigma}\)
  • 约束：每个工件必须恰好被一个排列包含：

\[ \sum_{\sigma} a_{j\sigma} x_{\sigma} = 1, \quad \forall j=1,\dots,n \]

\[ x_{\sigma} \in \{0,1\} \]

其中 \(a_{j\sigma}=1\) 表示工件 \(j\) 在排列 \(\sigma\) 中（显然每个排列都包含所有工件，所以 \(a_{j\sigma}=1\) 对所有 \(j\) 成立）。这会导致约束矩阵的每一列全为1，退化。因此，我们需要调整。

5. 更合理的模型：基于机器分解的列生成

我们可以将问题分解为每个机器上一个调度子问题，通过耦合约束保证工件顺序的一致性。这类似于资源受限项目调度的列生成方法。

主问题：

  • 定义变量 \(y_{ik}\)：表示机器 \(i\) 上采用第 \(k\) 个调度方案（该方案是工件在机器 \(i\) 上的一个加工顺序）。
  • 约束：
    1. 每台机器选择一个调度方案。
    2. 工件在不同机器上的顺序必须一致（置换流水车间要求所有机器上工件顺序相同）。

这会导致复杂的耦合约束，但我们可以通过列生成在每台机器上生成调度方案，并通过分支定价处理顺序一致性。

由于这个模型较为复杂，我们转向一个更经典的、用于教学目的的简化模型：

6. 教学简化模型：单机器上的调度列生成

考虑一个单台机器，有 \(n\) 个工件，每个工件有加工时间 \(p_j\) 和释放时间 \(r_j\)，目标是最小化总完工时间。这个问题可以建模为：

\[\begin{aligned} \min & \sum_{j} C_j \\ \text{s.t.} & \sum_{j} p_j x_{jt} \le 1, \quad \forall t \quad \text{(机器容量)} \\ & \sum_{t} x_{jt} = 1, \quad \forall j \quad \text{(每个工件被安排)} \\ & x_{jt} \in \{0,1\} \end{aligned} \]

其中 \(x_{jt}=1\) 表示工件 \(j\) 在时间 \(t\) 开始加工。这个模型时间索引太多，可以用列生成。

主问题（集合覆盖形式）：

  • 列：一个“加工块”（block），即一个工件的集合及其在机器上的一个可行调度顺序。
  • 目标：最小化总完工时间。
  • 约束：每个工件必须被至少一个块包含（但实际每个工件只能在一个块中，所以是划分）。

子问题：给定主问题的对偶变量，在机器上找到一个可行的工件加工顺序（块），使得其减少成本（reduced cost）为负。

子问题实际上是一个带序列依赖的调度问题，可以通过动态规划求解。

7. 列生成算法步骤

下面我们以单机调度列生成为例，说明步骤：

步骤1：构造限制主问题（RMP）

初始时，我们只有少数几列（例如，每个工件单独一列，即一个块只包含一个工件）。RMP 是一个线性规划（松弛掉整数约束）。

步骤2：求解RMP

得到最优解和对偶变量值 \(\pi_j\)（对应每个工件必须被覆盖的约束）。

步骤3：求解子问题（定价问题）

子问题：寻找一个新的加工块（即一个工件的排列，及其在机器上的开始时间），使得其减少成本：

\[\bar{c} = c_{\text{block}} - \sum_{j \in \text{block}} \pi_j \]

为负。其中 \(c_{\text{block}}\) 是该块中工件的总完工时间（与块中工件的顺序有关）。

子问题的建模：

  • 给定工件集合的子集，我们需要决定这些工件的加工顺序，以最小化总完工时间，同时满足释放时间等约束。这可以形式化为一个动态规划（DP）问题。
  • 状态：已加工的工件集合、当前时间。
  • 转移：加入一个未加工的工件，更新完成时间。

通过DP，我们可以找到减少成本最小的块（即列）。

步骤4：判断是否终止

如果找到减少成本为负的列，则加入RMP，返回步骤2。否则，RMP 的当前解是最优的（线性规划意义下）。

步骤5：获得整数解

由于RMP的解可能是分数（一个工件被分配到多个块中），我们需要结合分支定界（分支定价）来得到整数解。这超出了本示例的范围，但核心思想是在列生成过程中进行分支，继续生成列。

8. 在置换流水车间中的应用扩展

对于 \(m\) 台机器的置换流水车间，我们可以：

  1. 将每台机器视为一个“资源”，每台机器上工件的加工顺序必须相同。
  2. 主问题：选择工件的一个排列（即全局顺序）。
  3. 由于排列数量巨大，我们用列生成隐式枚举排列。
  4. 子问题：给定对偶变量，判断是否存在一个排列，其减少成本为负。这可以通过旅行商问题（TSP） 的动态规划求解，其中“城市”是工件，“距离”是加工时间的某种函数（与对偶变量有关）。

9. 实例说明（简化）

假设有3个工件，2台机器，加工时间：

工件 机器1 机器2
1 3 2
2 1 4
3 2 1

目标：最小化总完工时间。

列生成方法：

  • 初始列：使用任意排列，例如 (1,2,3)。
  • 计算该排列的完工时间（通过模拟流水车间调度），得到目标值。
  • 求解RMP（此时只有一列），得到对偶变量。
  • 子问题：寻找新排列。我们可以枚举所有排列（因为n小），计算减少成本。
  • 发现排列 (2,1,3) 减少成本为负，加入RMP。
  • 重复直到无负减少成本列。

最终，RMP给出一个分数解，我们通过分支得到整数解：最优排列为 (2,1,3) 或 (2,3,1)，完工时间为8。

10. 总结

  • 列生成将大规模线性规划问题分解为主问题和子问题。
  • 主问题管理当前列的集合，子问题生成新的有利列。
  • 在流水车间排序中，列生成可以用于求解线性规划松弛，然后结合分支定界得到最优解。
  • 关键挑战在于子问题的建模与高效求解，通常需要动态规划或其他优化方法。

通过列生成，我们能够处理较大规模的问题实例，而无需显式枚举所有可能的排列。

列生成算法在生产调度中的流水车间排序问题求解示例 我将为你详细讲解如何使用列生成算法解决流水车间排序（Flow Shop Scheduling）问题。这是一个经典的生产调度问题，我们重点讲解其中的 置换流水车间排序问题 （Permutation Flow Shop Problem）。 1. 问题描述 背景 在一个制造车间中，有 \(n\) 个待加工的工件（Jobs）和 \(m\) 台机器（Machines）。每个工件都必须依次经过这 \(m\) 台机器进行加工（即工艺路线相同：机器1 → 机器2 → ... → 机器m），且每台机器一次只能加工一个工件。我们的目标是找到一个工件的加工顺序（一个排列），使得所有工件都完成加工的时间（即 总完工时间 ，Makespan）最短。 数学模型 设： \(n\)：工件数量 \(m\)：机器数量 \(p_ {ij}\)：工件 \(j\) 在机器 \(i\) 上的加工时间 决策变量：工件在每台机器上的加工顺序（由于是置换流水车间，所有机器上工件的加工顺序相同） 2. 为什么这个问题难以直接求解？ 对于 \(n\) 个工件，可能的排列有 \(n!\) 个。即使 \(n=20\)，\(20! \approx 2.43 \times 10^{18}\)，这是一个巨大的搜索空间，属于 NP难问题 。因此，直接枚举所有排列不现实，我们需要更聪明的方法。 列生成算法（Column Generation）可以用于求解这类问题的 线性规划松弛 ，然后结合分支定界（Branch and Bound）得到最优解（即分支定价算法）。下面我们重点讲解列生成的核心部分。 3. 将问题建模为集合划分/覆盖模型 关键思路 我们不直接对每个工件的顺序建模，而是考虑“工件块”或“加工模式”。但更经典的做法是将问题转化为 基于时间的网络流模型 ，然后对“路径”进行列生成。 这里我们采用一种常见的 时间索引模型 ，但为了应用列生成，我们将其 分解 ： 主问题（Master Problem） ：选择一些完整的加工序列（排列），使得每个工件恰好被一个序列包含，且最小化最大完工时间。 子问题（Pricing Problem） ：生成新的、有潜力的加工序列（即“列”），以改进主问题的目标。 4. 构建主问题（集合划分形式） 定义 令 \(S\) 为所有可能排列（序列）的集合。每个排列 \(s \in S\) 是一个工件的加工顺序。 对于排列 \(s\)，定义： \(c_ s\)：排列 \(s\) 对应的完工时间（即该序列下最后一个工件在最后一台机器上完成的时间）。 \(a_ {js} = 1\) 如果工件 \(j\) 在排列 \(s\) 中，否则为 0（显然每个排列包含所有工件，但顺序不同，所以 \(a_ {js} = 1, \forall j\)，这会导致退化，所以我们需要调整模型）。 问题 ：每个排列都包含所有工件，这会导致集合划分退化为单集合选择。因此，我们需要调整模型。 常用技巧 ：将问题分解为 多阶段 或 多机器 ，但更实用的方法是：不直接对整个排列进行列生成，而是对 单个机器上的调度 进行列生成，并通过耦合约束连接机器。这会较为复杂。 替代思路（更经典） ：将问题建模为 基于路径的模型 ，其中每个“列”对应一个工件在 时间上的安排 ，但这样时间维度会很大。在流水车间中，常用列生成求解其 时间索引线性规划松弛 ，而子问题是 最短路径问题 。 为了避免过于复杂，我们采用一种 简化的教学模型 ，常用于说明列生成在调度中的应用： 重新定义主问题（基于“块”的模型） 假设我们将时间轴离散化为时间槽（time slots），但这样变量太多。实际上，在置换流水车间中，我们可以用 旅行商问题（TSP） 的类比：工件类似于城市，加工时间类似于距离，但这里有多个机器。 一个更可行的列生成模型是： 主问题（选择工件顺序的片段） ： 定义决策变量 \(x_ {\sigma}\)，其中 \(\sigma\) 是工件的一个排列（即一个完整的调度序列）。 目标：最小化 \(\sum_ {\sigma} c_ {\sigma} x_ {\sigma}\) 约束：每个工件必须恰好被一个排列包含： \[ \sum_ {\sigma} a_ {j\sigma} x_ {\sigma} = 1, \quad \forall j=1,\dots,n \] \[ x_ {\sigma} \in \{0,1\} \] 其中 \(a_ {j\sigma}=1\) 表示工件 \(j\) 在排列 \(\sigma\) 中（显然每个排列都包含所有工件，所以 \(a_ {j\sigma}=1\) 对所有 \(j\) 成立）。这会导致约束矩阵的每一列全为1，退化。因此，我们需要调整。 5. 更合理的模型：基于机器分解的列生成 我们可以将问题分解为 每个机器上一个调度子问题 ，通过耦合约束保证工件顺序的一致性。这类似于 资源受限项目调度 的列生成方法。 主问题 ： 定义变量 \(y_ {ik}\)：表示机器 \(i\) 上采用第 \(k\) 个调度方案（该方案是工件在机器 \(i\) 上的一个加工顺序）。 约束： 每台机器选择一个调度方案。 工件在不同机器上的顺序必须一致（置换流水车间要求所有机器上工件顺序相同）。 这会导致复杂的耦合约束，但我们可以通过 列生成 在每台机器上生成调度方案，并通过 分支定价 处理顺序一致性。 由于这个模型较为复杂，我们转向一个更经典的、用于教学目的的简化模型： 6. 教学简化模型：单机器上的调度列生成 考虑一个 单台机器 ，有 \(n\) 个工件，每个工件有加工时间 \(p_ j\) 和释放时间 \(r_ j\)，目标是最小化总完工时间。这个问题可以建模为： \[ \begin{aligned} \min & \sum_ {j} C_ j \\ \text{s.t.} & \sum_ {j} p_ j x_ {jt} \le 1, \quad \forall t \quad \text{(机器容量)} \\ & \sum_ {t} x_ {jt} = 1, \quad \forall j \quad \text{(每个工件被安排)} \\ & x_ {jt} \in \{0,1\} \end{aligned} \] 其中 \(x_ {jt}=1\) 表示工件 \(j\) 在时间 \(t\) 开始加工。这个模型时间索引太多，可以用 列生成 。 主问题（集合覆盖形式） ： 列：一个“加工块”（block），即一个工件的集合及其在机器上的一个可行调度顺序。 目标：最小化总完工时间。 约束：每个工件必须被至少一个块包含（但实际每个工件只能在一个块中，所以是划分）。 子问题 ：给定主问题的对偶变量，在机器上找到一个可行的工件加工顺序（块），使得其 减少成本 （reduced cost）为负。 子问题实际上是一个 带序列依赖的调度问题 ，可以通过动态规划求解。 7. 列生成算法步骤 下面我们以 单机调度列生成 为例，说明步骤： 步骤1：构造限制主问题（RMP） 初始时，我们只有少数几列（例如，每个工件单独一列，即一个块只包含一个工件）。RMP 是一个线性规划（松弛掉整数约束）。 步骤2：求解RMP 得到最优解和对偶变量值 \(\pi_ j\)（对应每个工件必须被覆盖的约束）。 步骤3：求解子问题（定价问题） 子问题：寻找一个新的加工块（即一个工件的排列，及其在机器上的开始时间），使得其 减少成本 ： \[ \bar{c} = c_ {\text{block}} - \sum_ {j \in \text{block}} \pi_ j \] 为负。其中 \(c_ {\text{block}}\) 是该块中工件的总完工时间（与块中工件的顺序有关）。 子问题的建模 ： 给定工件集合的子集，我们需要决定这些工件的加工顺序，以最小化总完工时间，同时满足释放时间等约束。这可以形式化为一个 动态规划 （DP）问题。 状态：已加工的工件集合、当前时间。 转移：加入一个未加工的工件，更新完成时间。 通过DP，我们可以找到减少成本最小的块（即列）。 步骤4：判断是否终止 如果找到减少成本为负的列，则加入RMP，返回步骤2。否则，RMP 的当前解是最优的（线性规划意义下）。 步骤5：获得整数解 由于RMP的解可能是分数（一个工件被分配到多个块中），我们需要结合 分支定界 （分支定价）来得到整数解。这超出了本示例的范围，但核心思想是在列生成过程中进行分支，继续生成列。 8. 在置换流水车间中的应用扩展 对于 \(m\) 台机器的置换流水车间，我们可以： 将每台机器视为一个“资源”，每台机器上工件的加工顺序必须相同。 主问题：选择工件的一个排列（即全局顺序）。 由于排列数量巨大，我们用列生成隐式枚举排列。 子问题：给定对偶变量，判断是否存在一个排列，其减少成本为负。这可以通过 旅行商问题（TSP） 的动态规划求解，其中“城市”是工件，“距离”是加工时间的某种函数（与对偶变量有关）。 9. 实例说明（简化） 假设有3个工件，2台机器，加工时间： | 工件 | 机器1 | 机器2 | |------|-------|-------| | 1 | 3 | 2 | | 2 | 1 | 4 | | 3 | 2 | 1 | 目标 ：最小化总完工时间。 列生成方法 ： 初始列：使用任意排列，例如 (1,2,3)。 计算该排列的完工时间（通过模拟流水车间调度），得到目标值。 求解RMP（此时只有一列），得到对偶变量。 子问题：寻找新排列。我们可以枚举所有排列（因为n小），计算减少成本。 发现排列 (2,1,3) 减少成本为负，加入RMP。 重复直到无负减少成本列。 最终，RMP给出一个分数解，我们通过分支得到整数解：最优排列为 (2,1,3) 或 (2,3,1)，完工时间为8。 10. 总结 列生成将大规模线性规划问题分解为 主问题 和 子问题 。 主问题管理当前列的集合，子问题生成新的有利列。 在流水车间排序中，列生成可以用于求解线性规划松弛，然后结合分支定界得到最优解。 关键挑战在于 子问题的建模与高效求解 ，通常需要动态规划或其他优化方法。 通过列生成，我们能够处理较大规模的问题实例，而无需显式枚举所有可能的排列。