自适应信赖域序列二次规划(Adaptive Trust Region SQP)算法进阶题
字数 2600 2025-12-10 09:34:02

自适应信赖域序列二次规划(Adaptive Trust Region SQP)算法进阶题

题目描述：
我们考虑一个带不等式约束的非线性规划问题：
最小化 \(f(x)\)，其中 \(x \in \mathbb{R}^n\)
满足约束 \(c_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m\)。
其中，目标函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和约束函数 \(c_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 都是二次连续可微的。
要求使用“自适应信赖域序列二次规划(Adaptive Trust Region SQP)”算法求解该问题，并详细解释其原理、迭代步骤、自适应信赖域半径更新策略，以及如何处理约束违反度与最优性下降之间的平衡。

解题过程循序渐进讲解：

  1. 算法核心思想
    SQP（序列二次规划）将原问题在每次迭代点 \(x_k\) 处，通过一阶泰勒展开近似为二次规划子问题，通过求解子问题得到搜索方向 \(d_k\)。信赖域方法则通过限制步长 \(d_k\) 的范数不超过半径 \(\Delta_k\)，确保近似模型在局部足够精确。自适应信赖域的关键是根据子问题模型与实际函数变化的匹配程度，动态调整 \(\Delta_k\)，提高收敛效率和鲁棒性。

  2. 构造二次规划子问题
    在第 \(k\) 次迭代，给定当前点 \(x_k\)、拉格朗日函数梯度估计和约束的线性近似，子问题为：
    最小化 \(\nabla f(x_k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_k d\)
    满足 \(c_i(x_k) + \nabla c_i(x_k)^T d \leq 0, \quad i=1,\dots,m\)
    且 \(\|d\|_\infty \leq \Delta_k\)。
    其中 \(B_k\) 是拉格朗日函数 \(L(x, \lambda) = f(x) + \sum \lambda_i c_i(x)\) 的Hessian近似（通常用拟牛顿法更新，如BFGS），\(\Delta_k > 0\) 是当前信赖域半径。

  3. 自适应信赖域半径更新策略
    定义实际下降量 \(\text{Ared}_k = f(x_k) - f(x_k + d_k)\) 和预测下降量 \(\text{Pred}_k = -\left( \nabla f(x_k)^T d_k + \frac{1}{2} d_k^T B_k d_k \right)\)。
    计算比值 \(r_k = \frac{\text{Ared}_k}{\text{Pred}_k}\)。
    自适应更新规则如下：

    • 若 \(r_k < 0.1\)，说明模型与实际匹配差，拒绝步长，缩小信赖域： \(\Delta_{k+1} = 0.5 \Delta_k\)。
    • 若 \(0.1 \leq r_k < 0.75\)，接受步长但保持半径： \(\Delta_{k+1} = \Delta_k\)。
    • 若 \(r_k \geq 0.75\)，模型匹配好，可扩大搜索范围： \(\Delta_{k+1} = \min(2\Delta_k, \Delta_{\max})\)，其中 \(\Delta_{\max}\) 是预设最大半径。
      该策略通过 \(r_k\) 动态调整半径，平衡全局探索与局部精度。

  4. 处理约束违反度与最优性下降的平衡
    定义约束违反度度量 \(\theta(x) = \sum_{i=1}^m \max(c_i(x), 0)\)，即违反约束的正部分和。
    在子问题中，通过线性化约束确保可行性，但实际迭代可能仍有违反。因此，在评估实际下降时，使用复合函数 \(\Phi(x) = f(x) + \mu \theta(x)\)，其中 \(\mu > 0\) 是惩罚参数。实际下降量改为 \(\text{Ared}_k = \Phi(x_k) - \Phi(x_k + d_k)\)，预测下降量也相应调整为包含约束违反的线性近似。这迫使算法在减少目标函数和满足约束间取得平衡。

  5. 迭代步骤总结
    a. 初始化：选择初始点 \(x_0\)，初始半径 \(\Delta_0 > 0\)，初始矩阵 \(B_0 = I\)，惩罚参数 \(\mu_0 > 0\)，容差 \(\epsilon > 0\)。
    b. 对于 \(k = 0, 1, 2, \dots\)：

    1. 计算梯度 \(\nabla f(x_k)\)、约束值 \(c_i(x_k)\) 和约束梯度 \(\nabla c_i(x_k)\)。
    2. 求解上述信赖域约束下的二次规划子问题，得方向 \(d_k\) 和乘子估计 \(\lambda_k\)。
    3. 计算实际下降与预测下降比值 \(r_k\)，按前述策略更新 \(\Delta_{k+1}\)。
    4. 如果 \(r_k \geq 0.1\)，接受步长： \(x_{k+1} = x_k + d_k\); 否则 \(x_{k+1} = x_k\)。
    5. 用BFGS公式更新 \(B_{k+1}\)，基于拉格朗日函数梯度变化。
    6. 如果约束违反度 \(\theta(x_{k+1})\) 较大，适当增加 \(\mu\)。
    7. 检查终止条件：例如 \(\|d_k\| < \epsilon\) 且 \(\theta(x_{k+1}) < \epsilon\)，则停止。
      c. 输出 \(x_{k+1}\) 为近似最优解。

  6. 算法优势与注意事项
    自适应信赖域SQP能处理非凸问题，且通过半径自适应避免线性搜索，在约束优化中稳定性好。需注意子问题的可行性（可能需引入松弛变量），以及 \(B_k\) 的正定性维护（可修正为凸近似）。实践中，初始 \(\Delta_0\) 和 \(\mu\) 的选择影响收敛速度。

自适应信赖域序列二次规划(Adaptive Trust Region SQP)算法进阶题 题目描述 ： 我们考虑一个带不等式约束的非线性规划问题： 最小化 \( f(x) \)，其中 \( x \in \mathbb{R}^n \) 满足约束 \( c_ i(x) \leq 0, \quad i = 1, \dots, m \)。 其中，目标函数 \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 和约束函数 \( c_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) 都是二次连续可微的。 要求使用“自适应信赖域序列二次规划(Adaptive Trust Region SQP)”算法求解该问题，并详细解释其原理、迭代步骤、自适应信赖域半径更新策略，以及如何处理约束违反度与最优性下降之间的平衡。 解题过程循序渐进讲解 ： 算法核心思想 SQP（序列二次规划）将原问题在每次迭代点 \( x_ k \) 处，通过一阶泰勒展开近似为二次规划子问题，通过求解子问题得到搜索方向 \( d_ k \)。信赖域方法则通过限制步长 \( d_ k \) 的范数不超过半径 \( \Delta_ k \)，确保近似模型在局部足够精确。自适应信赖域的关键是根据子问题模型与实际函数变化的匹配程度，动态调整 \( \Delta_ k \)，提高收敛效率和鲁棒性。 构造二次规划子问题 在第 \( k \) 次迭代，给定当前点 \( x_ k \)、拉格朗日函数梯度估计和约束的线性近似，子问题为： 最小化 \( \nabla f(x_ k)^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d \) 满足 \( c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^T d \leq 0, \quad i=1,\dots,m \) 且 \( \|d\|_ \infty \leq \Delta_ k \)。 其中 \( B_ k \) 是拉格朗日函数 \( L(x, \lambda) = f(x) + \sum \lambda_ i c_ i(x) \) 的Hessian近似（通常用拟牛顿法更新，如BFGS），\( \Delta_ k > 0 \) 是当前信赖域半径。 自适应信赖域半径更新策略 定义实际下降量 \( \text{Ared}_ k = f(x_ k) - f(x_ k + d_ k) \) 和预测下降量 \( \text{Pred}_ k = -\left( \nabla f(x_ k)^T d_ k + \frac{1}{2} d_ k^T B_ k d_ k \right) \)。 计算比值 \( r_ k = \frac{\text{Ared}_ k}{\text{Pred}_ k} \)。 自适应更新规则如下： 若 \( r_ k < 0.1 \)，说明模型与实际匹配差，拒绝步长，缩小信赖域： \( \Delta_ {k+1} = 0.5 \Delta_ k \)。 若 \( 0.1 \leq r_ k < 0.75 \)，接受步长但保持半径： \( \Delta_ {k+1} = \Delta_ k \)。 若 \( r_ k \geq 0.75 \)，模型匹配好，可扩大搜索范围： \( \Delta_ {k+1} = \min(2\Delta_ k, \Delta_ {\max}) \)，其中 \( \Delta_ {\max} \) 是预设最大半径。 该策略通过 \( r_ k \) 动态调整半径，平衡全局探索与局部精度。 处理约束违反度与最优性下降的平衡 定义约束违反度度量 \( \theta(x) = \sum_ {i=1}^m \max(c_ i(x), 0) \)，即违反约束的正部分和。 在子问题中，通过线性化约束确保可行性，但实际迭代可能仍有违反。因此，在评估实际下降时，使用复合函数 \( \Phi(x) = f(x) + \mu \theta(x) \)，其中 \( \mu > 0 \) 是惩罚参数。实际下降量改为 \( \text{Ared}_ k = \Phi(x_ k) - \Phi(x_ k + d_ k) \)，预测下降量也相应调整为包含约束违反的线性近似。这迫使算法在减少目标函数和满足约束间取得平衡。 迭代步骤总结 a. 初始化：选择初始点 \( x_ 0 \)，初始半径 \( \Delta_ 0 > 0 \)，初始矩阵 \( B_ 0 = I \)，惩罚参数 \( \mu_ 0 > 0 \)，容差 \( \epsilon > 0 \)。 b. 对于 \( k = 0, 1, 2, \dots \)： 计算梯度 \( \nabla f(x_ k) \)、约束值 \( c_ i(x_ k) \) 和约束梯度 \( \nabla c_ i(x_ k) \)。 求解上述信赖域约束下的二次规划子问题，得方向 \( d_ k \) 和乘子估计 \( \lambda_ k \)。 计算实际下降与预测下降比值 \( r_ k \)，按前述策略更新 \( \Delta_ {k+1} \)。 如果 \( r_ k \geq 0.1 \)，接受步长： \( x_ {k+1} = x_ k + d_ k \); 否则 \( x_ {k+1} = x_ k \)。 用BFGS公式更新 \( B_ {k+1} \)，基于拉格朗日函数梯度变化。 如果约束违反度 \( \theta(x_ {k+1}) \) 较大，适当增加 \( \mu \)。 检查终止条件：例如 \( \|d_ k\| < \epsilon \) 且 \( \theta(x_ {k+1}) < \epsilon \)，则停止。 c. 输出 \( x_ {k+1} \) 为近似最优解。 算法优势与注意事项 自适应信赖域SQP能处理非凸问题，且通过半径自适应避免线性搜索，在约束优化中稳定性好。需注意子问题的可行性（可能需引入松弛变量），以及 \( B_ k \) 的正定性维护（可修正为凸近似）。实践中，初始 \( \Delta_ 0 \) 和 \( \mu \) 的选择影响收敛速度。