基于线性规划的图最大流问题的Goldberg-Rao算法求解示例
字数 2504 2025-12-10 05:27:40

基于线性规划的图最大流问题的Goldberg-Rao算法求解示例

题目描述：
考虑一个有向图 \(G = (V, E)\) ，其中 \(V\) 是顶点集，\(E\) 是边集。每条边 \((u,v) \in E\) 有一个非负容量 \(c(u,v) \ge 0\)。指定一个源点 \(s \in V\) 和一个汇点 \(t \in V\)。目标是计算从 \(s\) 到 \(t\) 的最大流，即满足容量约束和流量守恒的可行流中，从 \(s\) 流出的总流量的最大值。Goldberg-Rao算法是一种基于容量缩放和阻塞流思想的高效算法，在最坏情况下时间复杂度为 \(O(\min\{V^{2/3}, E^{1/2}\} \cdot E \log(V^2/E) \log U)\)，其中 \(U\) 是最大边容量。本示例将详细讲解该算法的步骤、原理和实现细节。

解题过程循序渐进讲解：

1. 问题建模与基本概念回顾
最大流问题的线性规划形式为：
最大化 \(\sum_{(s,v)\in E} f(s,v)\)
约束：

\[0 \le f(u,v) \le c(u,v), \quad \forall (u,v) \in E \]

\[\sum_{(u,v)\in E} f(u,v) - \sum_{(v,u)\in E} f(v,u) = 0, \quad \forall v \in V \setminus \{s,t\} \]

但Goldberg-Rao算法是组合优化算法，不直接求解线性规划，而是通过迭代改进流量。

关键概念：

  • 剩余图：给定流 \(f\)，剩余容量 \(r(u,v) = c(u,v) - f(u,v) + f(v,u)\)（若反向边存在则计入反向流量）。
  • 距离标签：每个顶点 \(v\) 的标签 \(d(v)\) 表示在剩余图中到汇点 \(t\) 的估计距离（边数）。
  • 阻塞流：在剩余图中，一条从 \(s\) 到 \(t\) 的路径上最小剩余容量为 0 的流，使得无法再通过该路径发送更多流量。

2. Goldberg-Rao算法的核心思想
算法结合了容量缩放和阻塞流计算：

  • 从高容量阈值开始，逐步降低阈值，只考虑剩余容量较大的边进行推送。
  • 在每一轮缩放中，通过计算阻塞流来增加流量。
  • 使用距离标签来指导推送方向，并定期更新标签以保证正确性。

3. 算法步骤详解

步骤1：初始化

  • 设置初始流 \(f(u,v) = 0\)。
  • 计算最大边容量 \(U = \max_{(u,v)\in E} c(u,v)\)。
  • 设置初始缩放参数 \(\Delta = 2^{\lfloor \log_2 U \rfloor}\)（即不超过 \(U\) 的最大2的幂）。

步骤2：缩放阶段循环
当 \(\Delta \ge 1\) 时重复以下步骤：

步骤2.1：构建 Δ-剩余图
定义 Δ-剩余图 \(G_f(\Delta)\) ：只包含剩余容量 \(r(u,v) \ge \Delta\) 的边。

步骤2.2：计算距离标签
在 Δ-剩余图中，计算从每个顶点到 \(t\) 的距离（以边数为单位）：

  • 通过 BFS 从 \(t\) 反向遍历（沿边的反方向），得到 \(d(v)\)，即 \(v\) 到 \(t\) 的最短路径估计。
  • 对于无法到达 \(t\) 的顶点，设 \(d(v) = |V|\)。

步骤2.3：推送阻塞流
在 Δ-剩余图中，只考虑满足 \(d(u) = d(v) + 1\) 的边（允许的边）进行推送。
通过多次DFS搜索从 \(s\) 到 \(t\) 的路径，并沿路径推送尽可能多的流量，直到无法找到增广路。
推送的流量不超过路径上最小剩余容量，且每次推送后更新剩余图。

步骤2.4：更新缩放参数
当 Δ-剩余图中不存在从 \(s\) 到 \(t\) 的路径时，将 Δ 减半：\(\Delta \leftarrow \Delta / 2\)。
若 Δ < 1，则终止缩放阶段。

步骤3：输出最大流
返回当前流 \(f\) 作为最大流。

4. 正确性与复杂度说明

  • 正确性：每次推送保证不违反容量约束和守恒条件；算法结束时，Δ-剩余图中无 \(s-t\) 路径，且由于容量缩放性质，当前流是最大流（依据最大流最小割定理）。
  • 复杂度：每一轮缩放中，阻塞流计算复杂度为 \(O(E \cdot \min\{V^{2/3}, E^{1/2}\})\)，缩放次数为 \(O(\log U)\)，总复杂度如上所述。

5. 举例说明
考虑简单图：\(V = \{s,a,b,t\}\)，边容量：
\((s,a):4, (s,b):2, (a,b):3, (a,t):1, (b,t):5\)。

执行过程：

  • 初始化：\(f=0, U=5, \Delta=4\)。
  • Δ=4：Δ-剩余图仅有边 (s,a)（容量4），推送流量4，但路径 s-a-t 不完整（a-t容量1<Δ），无法推送。Δ减半为2。
  • Δ=2：Δ-剩余图包含 (s,a):4, (a,b):3, (b,t):5。距离标签：d(t)=0, d(b)=1, d(a)=2, d(s)=3。沿允许边推送：路径 s-a-b-t 推送流量2（最小剩余容量 min(4,3,5)=2）。更新后，Δ-剩余图仍存在 s-a-t 路径（a-t容量1<Δ，不在图中），但 s-a-b-t 路径已满。Δ减半为1。
  • Δ=1：在完整剩余图中推送阻塞流，得到最大流值6。
    最终最大流为6，对应于割 {s,a,b} 到 {t} 的容量。

总结：Goldberg-Rao算法通过容量缩放减少增广路径搜索次数，利用距离标签指导推送，是高效的最大流算法之一。本示例展示了其逐步推导和实现思路，有助于深入理解线性规划在图论问题中的应用背景。

基于线性规划的图最大流问题的Goldberg-Rao算法求解示例 题目描述 ： 考虑一个有向图 \( G = (V, E) \) ，其中 \( V \) 是顶点集，\( E \) 是边集。每条边 \( (u,v) \in E \) 有一个非负容量 \( c(u,v) \ge 0 \)。指定一个源点 \( s \in V \) 和一个汇点 \( t \in V \)。目标是计算从 \( s \) 到 \( t \) 的最大流，即满足容量约束和流量守恒的可行流中，从 \( s \) 流出的总流量的最大值。Goldberg-Rao算法是一种基于容量缩放和阻塞流思想的高效算法，在最坏情况下时间复杂度为 \( O(\min\{V^{2/3}, E^{1/2}\} \cdot E \log(V^2/E) \log U) \)，其中 \( U \) 是最大边容量。本示例将详细讲解该算法的步骤、原理和实现细节。 解题过程循序渐进讲解 ： 1. 问题建模与基本概念回顾 最大流问题的线性规划形式为： 最大化 \( \sum_ {(s,v)\in E} f(s,v) \) 约束： \[ 0 \le f(u,v) \le c(u,v), \quad \forall (u,v) \in E \] \[ \sum_ {(u,v)\in E} f(u,v) - \sum_ {(v,u)\in E} f(v,u) = 0, \quad \forall v \in V \setminus \{s,t\} \] 但Goldberg-Rao算法是组合优化算法，不直接求解线性规划，而是通过迭代改进流量。 关键概念： 剩余图 ：给定流 \( f \)，剩余容量 \( r(u,v) = c(u,v) - f(u,v) + f(v,u) \)（若反向边存在则计入反向流量）。 距离标签 ：每个顶点 \( v \) 的标签 \( d(v) \) 表示在剩余图中到汇点 \( t \) 的估计距离（边数）。 阻塞流 ：在剩余图中，一条从 \( s \) 到 \( t \) 的路径上最小剩余容量为 0 的流，使得无法再通过该路径发送更多流量。 2. Goldberg-Rao算法的核心思想 算法结合了容量缩放和阻塞流计算： 从高容量阈值开始，逐步降低阈值，只考虑剩余容量较大的边进行推送。 在每一轮缩放中，通过计算阻塞流来增加流量。 使用距离标签来指导推送方向，并定期更新标签以保证正确性。 3. 算法步骤详解 步骤1：初始化 设置初始流 \( f(u,v) = 0 \)。 计算最大边容量 \( U = \max_ {(u,v)\in E} c(u,v) \)。 设置初始缩放参数 \( \Delta = 2^{\lfloor \log_ 2 U \rfloor} \)（即不超过 \( U \) 的最大2的幂）。 步骤2：缩放阶段循环 当 \( \Delta \ge 1 \) 时重复以下步骤： 步骤2.1：构建 Δ-剩余图 定义 Δ-剩余图 \( G_ f(\Delta) \) ：只包含剩余容量 \( r(u,v) \ge \Delta \) 的边。 步骤2.2：计算距离标签 在 Δ-剩余图中，计算从每个顶点到 \( t \) 的距离（以边数为单位）： 通过 BFS 从 \( t \) 反向遍历（沿边的反方向），得到 \( d(v) \)，即 \( v \) 到 \( t \) 的最短路径估计。 对于无法到达 \( t \) 的顶点，设 \( d(v) = |V| \)。 步骤2.3：推送阻塞流 在 Δ-剩余图中，只考虑满足 \( d(u) = d(v) + 1 \) 的边（允许的边）进行推送。 通过多次DFS搜索从 \( s \) 到 \( t \) 的路径，并沿路径推送尽可能多的流量，直到无法找到增广路。 推送的流量不超过路径上最小剩余容量，且每次推送后更新剩余图。 步骤2.4：更新缩放参数 当 Δ-剩余图中不存在从 \( s \) 到 \( t \) 的路径时，将 Δ 减半：\( \Delta \leftarrow \Delta / 2 \)。 若 Δ < 1，则终止缩放阶段。 步骤3：输出最大流 返回当前流 \( f \) 作为最大流。 4. 正确性与复杂度说明 正确性：每次推送保证不违反容量约束和守恒条件；算法结束时，Δ-剩余图中无 \( s-t \) 路径，且由于容量缩放性质，当前流是最大流（依据最大流最小割定理）。 复杂度：每一轮缩放中，阻塞流计算复杂度为 \( O(E \cdot \min\{V^{2/3}, E^{1/2}\}) \)，缩放次数为 \( O(\log U) \)，总复杂度如上所述。 5. 举例说明 考虑简单图：\( V = \{s,a,b,t\} \)，边容量： \( (s,a):4, (s,b):2, (a,b):3, (a,t):1, (b,t):5 \)。 执行过程： 初始化：\( f=0, U=5, \Delta=4 \)。 Δ=4：Δ-剩余图仅有边 (s,a)（容量4），推送流量4，但路径 s-a-t 不完整（a-t容量1 <Δ），无法推送。Δ减半为2。 Δ=2：Δ-剩余图包含 (s,a):4, (a,b):3, (b,t):5。距离标签：d(t)=0, d(b)=1, d(a)=2, d(s)=3。沿允许边推送：路径 s-a-b-t 推送流量2（最小剩余容量 min(4,3,5)=2）。更新后，Δ-剩余图仍存在 s-a-t 路径（a-t容量1 <Δ，不在图中），但 s-a-b-t 路径已满。Δ减半为1。 Δ=1：在完整剩余图中推送阻塞流，得到最大流值6。 最终最大流为6，对应于割 {s,a,b} 到 {t} 的容量。 总结 ：Goldberg-Rao算法通过容量缩放减少增广路径搜索次数，利用距离标签指导推送，是高效的最大流算法之一。本示例展示了其逐步推导和实现思路，有助于深入理解线性规划在图论问题中的应用背景。