非线性规划中的Dijkstra风格梯度投影法基础题
题目描述
考虑如下非线性规划问题：
\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & x \geq 0 \end{aligned} \]
其中 \(f(x)\) 是一个连续可微的函数，定义域为 \(\mathbb{R}^n\)。这是一个带有简单非负约束（即 \(x_i \geq 0, i=1,...,n\)）的优化问题。
本题目要求我们应用梯度投影法的一种特定实现方式，该方式模拟了Dijkstra最短路径算法的“贪心”与“距离更新”思想来求解此问题。Dijkstra算法的核心是从一个点出发，逐步向外探索并更新到达其他点的最短距离。与之类比，在梯度投影法中，我们从初始可行点 \(x^0\) 出发，沿着目标函数下降的方向（负梯度方向）移动一步，得到一个新的点。但这一步可能超出可行域（即某些分量小于0），因此我们需要将这一步的结果“投影”回可行域（即 \(\mathbb{R}^n_{+}\)），而此投影操作本身类似于为每个变量分量选取一个“距离最近”的可行点。
我们的任务是：给定初始可行点 \(x^0 \in \mathbb{R}^n_{+}\)，设计一个迭代算法，模仿Dijkstra算法的“松弛”（Relaxation）更新步骤，在每一步迭代中更新一个或部分变量分量，使得算法能收敛到问题的稳定点（KKT点）。
解题过程
1. 问题分析与算法思想
首先，该问题的KKT（一阶必要）条件为：对于最优解 \(x^*\)，存在拉格朗日乘子向量 \(\lambda^* \in \mathbb{R}^n\) 使得：
\[\nabla f(x^*) - \lambda^* = 0, \quad x^* \geq 0, \quad \lambda^* \geq 0, \quad x_i^* \lambda_i^* = 0 \ (i=1,...,n) \]
这等价于：
\[x^* - P_{\Omega}(x^* - \alpha \nabla f(x^*)) = 0 \]
其中 \(\Omega = \{x \in \mathbb{R}^n | x \geq 0\}\) 为可行域，\(P_{\Omega}(y) = \max(y, 0)\)（按分量取最大值，即投影到非负象限），\(\alpha > 0\) 为任意正数。这给出了一个不动点条件。
梯度投影法的基本迭代为：
\[x^{k+1} = P_{\Omega}(x^k - \alpha_k \nabla f(x^k)) \]
其中 \(\alpha_k > 0\) 为步长。
“Dijkstra风格”的梯度投影法并不是标准术语，而是一种启发式理解：我们可以将每个变量 \(x_i\) 视为一个“节点”，其“距离”可以理解为其当前值 \(x_i^k\)。在每一步，算法检查负梯度方向提供的“候选下降”是否能使某个 \(x_i\) 移动到更优（更小 \(f\) ）且可行的位置，类似于Dijkstra算法中利用当前最短距离去松弛相邻节点。更具体地，一种实现方式是进行“坐标轮换”或“分块更新”，在每一步只更新一个或一部分变量，并将更新规则设为投影梯度步。
2. 算法设计
我们设计如下“Dijkstra风格”的梯度投影算法：
- 步骤0：初始化 给定初始可行点 \(x^0 \geq 0\)，设定步长参数 \(\alpha > 0\)（固定或通过线搜索确定），设定收敛容差 \(\epsilon > 0\)，迭代计数器 \(k := 0\)。
- 步骤1：计算梯度 计算当前点的梯度 \(g^k = \nabla f(x^k)\)。
- 步骤2：选择更新分量（“贪心选择”） 类似于Dijkstra算法选择当前距离最小的未确定节点，这里我们选择梯度分量中绝对值最大（或某种下降潜力最大）的分量作为更新候选。例如，计算：
\[ i_k = \arg\max_{1 \le i \le n} |g_i^k| \]
即选择梯度绝对值最大的分量，因为该方向上的局部下降可能最显著。
- 步骤3：投影更新（“松弛操作”） 对选定的分量 \(i_k\)，执行梯度投影更新：
\[ x_i^{k+1} = \max(0, x_i^k - \alpha g_{i_k}^k) \quad \text{for } i = i_k \]
对其他分量 $ i \neq i_k $，保持不变： $ x_i^{k+1} = x_i^k $。
这相当于只在一个坐标方向上进行投影梯度步，更新规则为：
\[ x^{k+1} = P_{\Omega}(x^k - \alpha e_{i_k} g_{i_k}^k) \]
其中 $ e_{i_k} $ 是第 $ i_k $ 个标准基向量。
- 步骤4：检查收敛 计算迭代差 \(\|x^{k+1} - x^k\|\)。如果小于 \(\epsilon\)，则停止；否则，令 \(k := k+1\)，返回步骤1。
3. 算法解释与Dijkstra类比
- 贪心选择：Dijkstra算法每次选择当前距离最小的节点来松弛其邻居。在这里，我们选择梯度绝对值最大的分量，因为该方向上的负梯度（如果为负）或正梯度（如果为正）指示了该变量对目标函数变化最敏感的方向，对其进行更新有望带来较大的目标函数改进。
- 松弛操作：Dijkstra算法中，更新选定节点的邻居的距离估计。在这里，我们对选定的变量分量执行梯度步并投影，相当于“松弛”该分量的值，使其朝着减少目标函数且保持可行的方向移动。
- 收敛性：虽然这个算法每次只更新一个变量，但它属于坐标下降法（Coordinate Descent） 在约束问题上的一个变体，即坐标梯度投影法。在适当的条件下（如目标函数是凸的或满足某些正则性条件），该算法可以收敛到一个稳定点。步长 \(\alpha\) 的选择很重要，可以固定为足够小的常数，或采用线搜索确保下降。
4. 算法步骤详解（一个简单实例）
假设 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)，这是一个凸二次函数，其无约束最优解为 \((2, 1)\)，但受限于 \(x \geq 0\)，最优解显然为 \((2, 1)\)（已在可行域内）。我们以此为例演示算法流程。
- 初始化：设 \(x^0 = (0, 0)\)，\(\alpha = 0.5\)，\(\epsilon = 0.01\)，\(k=0\)。
- 第一次迭代（k=0）：
- 梯度： \(g^0 = \nabla f(0,0) = (-4, -2)\)。
- 选择分量： \(|g_1^0|=4, |g_2^0|=2\)，所以 \(i_0 = 1\)。
- 更新： \(x_1^{1} = \max(0, 0 - 0.5 \times (-4)) = \max(0, 2) = 2\)； \(x_2^{1} = x_2^0 = 0\)。
- 检查收敛： \(\|x^1 - x^0\| = \|(2,0)-(0,0)\| = 2 > \epsilon\)。
- 第二次迭代（k=1）：
- 新点 \(x^1 = (2, 0)\)，梯度 \(g^1 = \nabla f(2,0) = (0, -2)\)。
- 选择分量： \(|g_1^1|=0, |g_2^1|=2\)，所以 \(i_1 = 2\)。
- 更新： \(x_1^{2} = x_1^{1} = 2\)； \(x_2^{2} = \max(0, 0 - 0.5 \times (-2)) = \max(0, 1) = 1\)。
- 检查收敛： \(\|x^2 - x^1\| = \|(2,1)-(2,0)\| = 1 > \epsilon\)（还需继续，因未稳定）。
- 第三次迭代（k=2）：
- 新点 \(x^2 = (2, 1)\)，梯度 \(g^2 = (0, 0)\)。
- 选择分量：两个梯度分量均为0，任选，比如 \(i_2=1\)。
- 更新： \(x_1^{3} = \max(0, 2 - 0.5 \times 0) = 2\)； \(x_2^{3} = 1\)。
- 检查收敛： \(\|x^3 - x^2\| = 0 < \epsilon\)。算法停止，输出 \(x^* \approx (2, 1)\)，即为正确解。
这个简单例子展示了算法如何逐步将变量“松弛”到最优值。
总结
你学到了一个称为“Dijkstra风格梯度投影法”的基础算法，它实质上是坐标梯度投影法的一种实现，通过模仿Dijkstra算法的贪心选择策略（选择梯度绝对值最大的分量）来逐分量更新，每一步都包含一个向可行域的投影操作。该算法适用于具有简单边界约束（如非负约束）的非线性规划问题，其收敛性依赖于目标函数的性质和步长的选取。