并行与分布式系统中的并行随机算法：并行化Sherman-Morrison公式及其在矩阵求逆中的应用
字数 7019 2025-12-10 00:13:37

并行与分布式系统中的并行随机算法：并行化Sherman-Morrison公式及其在矩阵求逆中的应用

1. 算法背景与问题描述

在许多科学计算和工程应用中，经常需要求解线性方程组 \(Ax = b\) 或计算矩阵的逆 \(A^{-1}\)。当矩阵 \(A\) 是一个大规模稠密矩阵时，直接计算其逆矩阵的复杂度很高（通常为 \(O(n^3)\)）。Sherman-Morrison公式提供了一种在已知矩阵 \(A\) 的逆 \(A^{-1}\) 的情况下，当 \(A\) 发生一个低秩更新（例如，\(A\) 加上一个外积 \(uv^T\)，其中 \(u\) 和 \(v\) 是列向量）时，高效计算新矩阵 \((A + uv^T)^{-1}\) 的方法。其公式如下：

\[(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u} \]

这个公式的原始计算复杂度是 \(O(n^2)\)，远低于重新求逆的 \(O(n^3)\)。

然而，在并行与分布式环境中，当矩阵规模极大，或者需要处理一系列连续的低秩更新（即 \(A\) 被多次更新为 \(A + u_1v_1^T + u_2v_2^T + ...\)）时，如何高效、并行地应用Sherman-Morrison公式（或其推广形式Woodbury矩阵恒等式）就成为了一个挑战。我们的目标是设计一个并行算法，能够利用多个处理器（或多台机器）协同工作，加速连续低秩更新下矩阵逆的迭代计算过程。

2. 核心思路与公式推导

首先，我们明确要解决的核心计算问题：
已知 \(A_0^{-1}\)，以及一系列秩为1的更新对 \(\{(u_k, v_k)\}_{k=1}^m\)。我们需要计算：

\[A_k = A_{k-1} + u_k v_k^T, \quad k = 1, ..., m \]

并最终得到 \(A_m^{-1}\)。

串行算法是直接连续应用m次Sherman-Morrison公式：

  1. 初始化 \(M_0 = A_0^{-1}\)。
  2. 对于 \(k=1\) 到 \(m\)：
    a. 计算标量 \(c_k = 1 + v_k^T M_{k-1} u_k\)。
    b. 计算向量 \(w_k = M_{k-1} u_k\)。
    c. 计算向量 \(z_k^T = v_k^T M_{k-1}\) (或者等价地，\(z_k = M_{k-1}^T v_k\)，如果 \(M_{k-1}\) 对称）。
    d. 更新逆矩阵：\(M_k = M_{k-1} - (w_k z_k^T) / c_k\)。

这里的主要计算瓶颈在于步骤b、c、d中的矩阵-向量乘法和秩1矩阵更新，每一步的复杂度为 \(O(n^2)\)。串行总复杂度为 \(O(mn^2)\)。

并行化的关键在于：能否将多个更新对的计算进行某种“组合”或“聚合”，减少顺序依赖，从而让不同的处理器能同时处理不同的更新对，最后再将结果正确合并？

3. 并行化策略：基于分块与聚合的并行Sherman-Morrison算法

一个有效的并行策略是利用Woodbury矩阵恒等式的推广形式，将多个秩1更新“批量”处理。我们将m个更新对组合成两个矩阵：
令 \(U = [u_1, u_2, ..., u_m]\) 是一个 \(n \times m\) 矩阵。
令 \(V = [v_1, v_2, ..., v_m]\) 也是一个 \(n \times m\) 矩阵。
那么，总更新可以写为：

\[A_m = A_0 + UV^T \]

这称为一个秩为 \(m\) 的更新（尽管 \(m\) 可能远小于 \(n\)）。推广的Woodbury公式（或称Sherman-Morrison-Woodbury公式）为：

\[(A_0 + UV^T)^{-1} = A_0^{-1} - A_0^{-1}U(I_m + V^T A_0^{-1}U)^{-1}V^T A_0^{-1} \]

其中 \(I_m\) 是 \(m \times m\) 的单位矩阵。

并行算法设计步骤如下：

步骤1：数据划分与任务分配

  • 假设有 \(p\) 个处理器。
  • 将初始逆矩阵 \(M_0 = A_0^{-1}\) 按行分块（或按二维块循环分块，取决于通信模式），每个处理器存储一部分行块，记为 \(M_0^{(i)}\)。
  • 将更新矩阵 \(U\) 和 \(V\) 也按列分块（因为每一列对应一个更新对）。具体地，将m个更新对分成 \(p\) 组，每组大约 \(m/p\) 个更新对，分别构成 \(U^{(i)}\) 和 \(V^{(i)}\)，并分配给第 \(i\) 个处理器。

步骤2：本地矩阵-矩阵乘法（高度并行）

  • 每个处理器 \(i\) 并行计算两个局部结果：
    1. \(W^{(i)} = M_0^{(i)} U^{(i)}\)。 这里，\(M_0^{(i)}\) 是 \(n_i \times n\) 的行块（\(n_i\) 是该处理器负责的行数），\(U^{(i)}\) 是 \(n \times m_i\)，结果 \(W^{(i)}\) 是 \(n_i \times m_i\)。
    2. \(S^{(i)} = (V^{(i)})^T M_0^{(i)}\)。 由于 \(M_0\) 通常对称（在很多应用场景下A是对称的），我们可以利用这一点，或者直接计算 \(Z^{(i)} = M_0^{(i)} V^{(i)}\)，则 \(S^{(i)} = (Z^{(i)})^T\)。这一步需要计算 \(V^{(i)}\) 与本地 \(M_0^{(i)}\) 的乘积。

注意：为了计算核心公式中的 \(V^T M_0 U\)（它是一个 \(m \times m\) 的矩阵），我们需要全局聚合。观察 \(V^T M_0 U = \sum_{i=1}^p (V^{(i)})^T M_0^{(i)} U\)。但 \(U\) 是完整的。一个更高效、通信量更少的方法是：

  • 每个处理器 \(i\) 先计算 \(X^{(i)} = (V^{(i)})^T W^{(i)}\)。因为 \(W^{(i)} = M_0^{(i)} U^{(i)}\)，而 \(U^{(i)}\) 只是 \(U\) 的一部分，所以 \(X^{(i)}\) 是 \(m_i \times m_i\) 的块对角部分，并不能得到完整的 \(V^T M_0 U\)。
  • 实际上，为了得到完整的 \(m \times m\) 矩阵 \(C = V^T M_0 U\)，我们需要全局归约（All-Reduce）操作。每个处理器 \(i\) 计算它对整个矩阵 \(C\) 的部分贡献。这需要将本地的 \(W^{(i)}\) 和 \(V^{(i)}\) 的信息与其他处理器共享。

步骤3：全局聚合以构建核心矩阵（需要通信）

  • 计算 \(C = V^T M_0 U\)。这可以通过两步完成：
    a. 每个处理器 \(i\) 计算其对 \(C\) 的贡献：\(C^{(i)} = (V^{(i)})^T (M_0 U)\)。但 \(M_0 U\) 是全局的。更可行的方案是执行一个全收集（All-Gather）操作，让每个处理器获得完整的 \(W = M_0 U\)。由于 \(W\) 是 \(n \times m\)，当 \(m\) 不大时，这个通信开销是可接受的。
    b. 所有处理器进行 All-Gather 操作，交换它们计算出的 \(W^{(i)}\) 行块，使每个处理器获得完整的 \(W\)。
    c. 然后，每个处理器 \(i\) 利用本地的 \(V^{(i)}\) 和完整的 \(W\)，计算 \(C^{(i)} = (V^{(i)})^T W\)。注意，\(C^{(i)}\) 是 \(m_i \times m\) 的。
    d. 通过一个归约-广播（Reduce-Scatter 或 All-Reduce）操作，将所有 \(C^{(i)}\) 按行（对应 \(V^{(i)}\) 的列索引）求和，得到完整的 \(m \times m\) 矩阵 \(C\)，并分发给所有处理器（或每个处理器得到一块，但后续求逆需要完整的 \(C\)，所以通常选择 All-Reduce 让每个处理器都有完整的 \(C\)）。

步骤4：求解核心小矩阵的逆（可并行复制计算）

  • 每个处理器（或指定一个主处理器）计算一个小矩阵的逆：\(D = (I_m + C)^{-1}\)。由于 \(m\) 通常远小于 \(n\)，这是一个 \(O(m^3)\) 的计算，可以由每个处理器独立计算（因为上一步通过 All-Reduce 使得所有处理器都拥有 \(C\)），这是一个“冗余计算”，但成本低。或者由一个处理器计算后广播结果。

步骤5：并行计算最终更新项

  • 计算最终更新项 \(M_0 U D V^T M_0\)。这可以分解为几个矩阵乘法，并利用已有的分块进行并行计算。
    a. 计算 \(Y = W D\)，其中 \(W = M_0U\) 是 \(n \times m\)，\(D\) 是 \(m \times m\)。由于每个处理器拥有完整的 \(W\)（来自步骤3b）和完整的 \(D\)，可以独立计算本行块对应的 \(Y^{(i)} = W^{(i)} D\)。这里 \(W^{(i)}\) 是处理器 \(i\) 负责的 \(n_i\) 行，所以 \(Y^{(i)}\) 也是 \(n_i \times m\)。
    b. 计算 \(Y V^T = (W D) V^T\)。注意，我们需要从 \(Y V^T\) 中减去以更新 \(M_0\)。由于 \(V\) 是按列分块存储的，我们需要计算 \(Y (V^T) = \sum_{j=1}^p Y^{(i)} (V^{(j)})^T\)。这又是一个需要通信的操作。
    c. 一个高效的策略是：将 \(Y\) 按行分块（我们已经有了 \(Y^{(i)}\)），将 \(V^T\) 按行分块（对应 \(V\) 的列分块，每个处理器 \(j\) 拥有 \(V^{(j)}\)，其转置是 \(m_j \times n\) 的块）。为了计算全局的 \(Y V^T\)，处理器 \(i\) 需要与所有处理器 \(j\) 通信，获取 \(V^{(j)}\) 来形成本地的部分和。这可以通过 All-Gather 将 \(V\) 收集到所有处理器上来实现（当 \(m\) 不大，且 \(V\) 是 \(n \times m\) 时可行），或者通过更复杂的多对多通信。
    d. 更简洁的方法：注意到最终更新是对 \(M_0\) 的一个修正。每个处理器只需要更新它负责的 \(M_0\) 的行块。处理器 \(i\) 负责的最终逆矩阵块为：

\[ M_m^{(i)} = M_0^{(i)} - Y^{(i)} (V^T M_0^{(i)}) \]

 这里 $Y^{(i)} = W^{(i)} D$ 是已知的。而 $V^T M_0^{(i)}$ 可以这样计算：由于 $M_0^{(i)}$ 是行块，$V^T$ 是 $m \times n$。我们可以再次利用 All-Gather 获取完整的 $V$（或 $V^T$），然后本地计算 $V^T M_0^{(i)}$，得到一个 $m \times n_i$ 的矩阵（注意，这里的 $n_i$ 是列数，对应于 $M_0^{(i)}$ 的列块，但 $M_0^{(i)}$ 是一个瘦高的行块，其列数是完整的 $n$）。实际上，$V^T M_0^{(i)}$ 是 $m \times n$ 矩阵的一个列块。这仍然需要完整的 $V^T$ 信息。

考虑到通信复杂性，一个更实际且常用的并行化方法是在共享内存环境下（如多核CPU），利用OpenMP或Pthreads进行并行化：

4. 共享内存多核并行化方案

在共享内存系统中，所有处理器核心共享同一份内存，可以访问完整的矩阵 \(M_0, U, V\)。这大大简化了通信问题。

步骤1：将m个更新对划分为若干个任务块。

  • 将更新索引 \(1, 2, ..., m\) 划分为 \(t\) 个块（\(t\) 可以是线程数或略多），每个块包含一组连续的更新对。

步骤2：并行计算中间矩阵 \(W = M_0 U\) 和 \(Z = M_0 V\)。

  • 由于 \(M_0\) 是 \(n \times n\)，\(U\) 和 \(V\) 是 \(n \times m\)，计算 \(W = M_0 U\) 和 \(Z = M_0 V\) 是标准的矩阵-矩阵乘法（Level 3 BLAS）。我们可以使用高度优化的并行BLAS库（如Intel MKL, OpenBLAS）来并行计算这两个乘积。这些库内部会使用分块、循环展开等技术，并利用多线程并行计算。

步骤3：并行计算核心矩阵 \(C = V^T W\)。

  • 注意到 \(C = V^T W = (M_0 V)^T (M_0 U) = Z^T W\)。由于 \(Z\) 和 \(W\) 已经计算出，且都是 \(n \times m\)，计算 \(C = Z^T W\) 也是一个矩阵乘法（\(m \times n\) 乘以 \(n \times m\)，得到 \(m \times m\)）。同样，可以使用并行BLAS库的GEMM例程来计算。

步骤4：计算小矩阵 \(D = (I + C)^{-1}\)。

  • 由于 \(m\) 较小，可以在单个线程上串行计算其逆，或者使用LAPACK的GETRF（LU分解）和GETRI（求逆）例程。也可以使用多线程LAPACK，但开销可能不显著。

步骤5：并行计算最终更新。

  • 计算 \(Y = W D\) （\(n \times m\) 乘以 \(m \times m\)），同样使用并行GEMM。
  • 计算最终更新 \(M_m = M_0 - Y Z^T\)。这是两个矩阵的相减，其中 \(Y Z^T\) 是一个秩为 \(m\) 的矩阵。我们可以并行地对 \(M_0\) 的各个元素进行更新。具体地，可以按行或按列分块，每个线程负责更新 \(M_0\) 的一个连续块。公式为 \(M_m = M_0 - Y Z^T\)，这是一个 \(n \times n\) 的矩阵的秩 \(m\) 更新，也可以看作一个矩阵乘法（\(Y Z^T\)）后接一个矩阵减法。并行BLAS的GEMM可以高效计算 \(Y Z^T\)，然后一个并行的矩阵减法（或使用AXPY类的操作）即可完成。

5. 算法复杂度与优化

  • 时间复杂度：串行算法的复杂度为 \(O(mn^2)\)。在并行版本中，步骤2、3、5中的矩阵乘法是主要成本，理想情况下，在 \(p\) 个处理器上，这些矩阵乘法可以近似达到 \(O(n^2 m / p)\) 的效率（如果 \(n\) 远大于 \(m\) 和 \(p\)）。计算 \(D\) 的 \(O(m^3)\) 步骤通常是次要的。
  • 空间复杂度：需要存储 \(M_0, U, V, W, Z, C, D, Y\) 等矩阵。主要开销是 \(M_0\) 的 \(O(n^2)\) 和 \(W, Z, Y\) 的 \(O(nm)\)。在分布式内存中，需要仔细分块以适应当地内存。
  • 优化要点：
    • 当 \(m\) 非常大时（接近 \(n\)），Woodbury公式的优势会减弱，直接重新求逆可能更划算。因此，此算法适用于 \(m \ll n\) 的情况。
    • 在分布式内存实现中，如果 \(m\) 很小，步骤3和5中的 All-Gather 操作通信数据量为 \(O(nm)\)，如果 \(nm\) 远小于 \(n^2\)，则是可接受的。需要权衡计算收益和通信开销。
    • 对于一系列连续的更新，可以采用“延迟更新”或“批量处理”策略，积累一定数量的更新对 \((u_k, v_k)\) 后，再一次性使用上述批量并行算法，而不是逐个更新，这样可以摊薄通信和同步开销。

总结
并行化Sherman-Morrison公式的核心思想是将多个连续的秩1更新聚合成一个秩为 \(m\) 的更新，然后利用Woodbury公式，将计算主体转化为一系列可以并行执行的稠密矩阵乘法运算。在共享内存系统中，可以充分利用多线程BLAS库实现高效并行。在分布式内存系统中，需要对矩阵进行分块，并通过集合通信操作（如All-Gather, All-Reduce）来协调各处理器间的数据，在 \(m\) 较小、更新批量足够大时，能有效加速大规模矩阵在低秩修正后的求逆更新过程。

并行与分布式系统中的并行随机算法：并行化Sherman-Morrison公式及其在矩阵求逆中的应用 1. 算法背景与问题描述 在许多科学计算和工程应用中，经常需要求解线性方程组 \(Ax = b\) 或计算矩阵的逆 \(A^{-1}\)。当矩阵 \(A\) 是一个大规模稠密矩阵时，直接计算其逆矩阵的复杂度很高（通常为 \(O(n^3)\)）。Sherman-Morrison公式提供了一种在已知矩阵 \(A\) 的逆 \(A^{-1}\) 的情况下，当 \(A\) 发生一个低秩更新（例如，\(A\) 加上一个外积 \(uv^T\)，其中 \(u\) 和 \(v\) 是列向量）时，高效计算新矩阵 \((A + uv^T)^{-1}\) 的方法。其公式如下： \[ (A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u} \] 这个公式的原始计算复杂度是 \(O(n^2)\)，远低于重新求逆的 \(O(n^3)\)。 然而，在并行与分布式环境中，当矩阵规模极大，或者需要处理一系列连续的低秩更新（即 \(A\) 被多次更新为 \(A + u_ 1v_ 1^T + u_ 2v_ 2^T + ...\)）时，如何高效、并行地应用Sherman-Morrison公式（或其推广形式Woodbury矩阵恒等式）就成为了一个挑战。我们的目标是设计一个并行算法，能够利用多个处理器（或多台机器）协同工作，加速连续低秩更新下矩阵逆的迭代计算过程。 2. 核心思路与公式推导 首先，我们明确要解决的核心计算问题： 已知 \(A_ 0^{-1}\)，以及一系列秩为1的更新对 \(\{(u_ k, v_ k)\} {k=1}^m\)。我们需要计算： \[ A_ k = A {k-1} + u_ k v_ k^T, \quad k = 1, ..., m \] 并最终得到 \(A_ m^{-1}\)。 串行算法是直接连续应用m次Sherman-Morrison公式： 初始化 \(M_ 0 = A_ 0^{-1}\)。 对于 \(k=1\) 到 \(m\)： a. 计算标量 \(c_ k = 1 + v_ k^T M_ {k-1} u_ k\)。 b. 计算向量 \(w_ k = M_ {k-1} u_ k\)。 c. 计算向量 \(z_ k^T = v_ k^T M_ {k-1}\) (或者等价地，\(z_ k = M_ {k-1}^T v_ k\)，如果 \(M_ {k-1}\) 对称）。 d. 更新逆矩阵：\(M_ k = M_ {k-1} - (w_ k z_ k^T) / c_ k\)。 这里的主要计算瓶颈在于步骤b、c、d中的矩阵-向量乘法和秩1矩阵更新，每一步的复杂度为 \(O(n^2)\)。串行总复杂度为 \(O(mn^2)\)。 并行化的关键在于： 能否将多个更新对的计算进行某种“组合”或“聚合”，减少顺序依赖，从而让不同的处理器能同时处理不同的更新对，最后再将结果正确合并？ 3. 并行化策略：基于分块与聚合的并行Sherman-Morrison算法 一个有效的并行策略是利用Woodbury矩阵恒等式的推广形式，将多个秩1更新“批量”处理。我们将m个更新对组合成两个矩阵： 令 \(U = [ u_ 1, u_ 2, ..., u_ m ]\) 是一个 \(n \times m\) 矩阵。 令 \(V = [ v_ 1, v_ 2, ..., v_ m ]\) 也是一个 \(n \times m\) 矩阵。 那么，总更新可以写为： \[ A_ m = A_ 0 + UV^T \] 这称为一个秩为 \(m\) 的更新（尽管 \(m\) 可能远小于 \(n\)）。推广的Woodbury公式（或称Sherman-Morrison-Woodbury公式）为： \[ (A_ 0 + UV^T)^{-1} = A_ 0^{-1} - A_ 0^{-1}U(I_ m + V^T A_ 0^{-1}U)^{-1}V^T A_ 0^{-1} \] 其中 \(I_ m\) 是 \(m \times m\) 的单位矩阵。 并行算法设计步骤如下： 步骤1：数据划分与任务分配 假设有 \(p\) 个处理器。 将初始逆矩阵 \(M_ 0 = A_ 0^{-1}\) 按 行分块 （或按二维块循环分块，取决于通信模式），每个处理器存储一部分行块，记为 \(M_ 0^{(i)}\)。 将更新矩阵 \(U\) 和 \(V\) 也按 列分块 （因为每一列对应一个更新对）。具体地，将m个更新对分成 \(p\) 组，每组大约 \(m/p\) 个更新对，分别构成 \(U^{(i)}\) 和 \(V^{(i)}\)，并分配给第 \(i\) 个处理器。 步骤2：本地矩阵-矩阵乘法（高度并行） 每个处理器 \(i\) 并行计算两个局部结果： \(W^{(i)} = M_ 0^{(i)} U^{(i)}\)。 这里，\(M_ 0^{(i)}\) 是 \(n_ i \times n\) 的行块（\(n_ i\) 是该处理器负责的行数），\(U^{(i)}\) 是 \(n \times m_ i\)，结果 \(W^{(i)}\) 是 \(n_ i \times m_ i\)。 \(S^{(i)} = (V^{(i)})^T M_ 0^{(i)}\)。 由于 \(M_ 0\) 通常对称（在很多应用场景下A是对称的），我们可以利用这一点，或者直接计算 \(Z^{(i)} = M_ 0^{(i)} V^{(i)}\)，则 \(S^{(i)} = (Z^{(i)})^T\)。这一步需要计算 \(V^{(i)}\) 与本地 \(M_ 0^{(i)}\) 的乘积。 注意 ：为了计算核心公式中的 \(V^T M_ 0 U\)（它是一个 \(m \times m\) 的矩阵），我们需要全局聚合。观察 \(V^T M_ 0 U = \sum_ {i=1}^p (V^{(i)})^T M_ 0^{(i)} U\)。但 \(U\) 是完整的。一个更高效、通信量更少的方法是： 每个处理器 \(i\) 先计算 \(X^{(i)} = (V^{(i)})^T W^{(i)}\)。因为 \(W^{(i)} = M_ 0^{(i)} U^{(i)}\)，而 \(U^{(i)}\) 只是 \(U\) 的一部分，所以 \(X^{(i)}\) 是 \(m_ i \times m_ i\) 的 块对角部分 ，并不能得到完整的 \(V^T M_ 0 U\)。 实际上，为了得到完整的 \(m \times m\) 矩阵 \(C = V^T M_ 0 U\)，我们需要 全局归约 （All-Reduce）操作。每个处理器 \(i\) 计算它对整个矩阵 \(C\) 的部分贡献。这需要将本地的 \(W^{(i)}\) 和 \(V^{(i)}\) 的信息与其他处理器共享。 步骤3：全局聚合以构建核心矩阵（需要通信） 计算 \(C = V^T M_ 0 U\)。这可以通过两步完成： a. 每个处理器 \(i\) 计算其对 \(C\) 的贡献：\(C^{(i)} = (V^{(i)})^T (M_ 0 U)\)。但 \(M_ 0 U\) 是全局的。更可行的方案是执行一个 全收集 （All-Gather）操作，让每个处理器获得完整的 \(W = M_ 0 U\)。由于 \(W\) 是 \(n \times m\)，当 \(m\) 不大时，这个通信开销是可接受的。 b. 所有处理器进行 All-Gather 操作，交换它们计算出的 \(W^{(i)}\) 行块，使每个处理器获得完整的 \(W\)。 c. 然后，每个处理器 \(i\) 利用本地的 \(V^{(i)}\) 和完整的 \(W\)，计算 \(C^{(i)} = (V^{(i)})^T W\)。注意，\(C^{(i)}\) 是 \(m_ i \times m\) 的。 d. 通过一个 归约-广播 （Reduce-Scatter 或 All-Reduce）操作，将所有 \(C^{(i)}\) 按行（对应 \(V^{(i)}\) 的列索引）求和，得到完整的 \(m \times m\) 矩阵 \(C\)，并分发给所有处理器（或每个处理器得到一块，但后续求逆需要完整的 \(C\)，所以通常选择 All-Reduce 让每个处理器都有完整的 \(C\)）。 步骤4：求解核心小矩阵的逆（可并行复制计算） 每个处理器（或指定一个主处理器）计算一个小矩阵的逆：\(D = (I_ m + C)^{-1}\)。由于 \(m\) 通常远小于 \(n\)，这是一个 \(O(m^3)\) 的计算，可以 由每个处理器独立计算 （因为上一步通过 All-Reduce 使得所有处理器都拥有 \(C\)），这是一个“冗余计算”，但成本低。或者由一个处理器计算后广播结果。 步骤5：并行计算最终更新项 计算最终更新项 \(M_ 0 U D V^T M_ 0\)。这可以分解为几个矩阵乘法，并利用已有的分块进行并行计算。 a. 计算 \(Y = W D\)，其中 \(W = M_ 0U\) 是 \(n \times m\)，\(D\) 是 \(m \times m\)。由于每个处理器拥有完整的 \(W\)（来自步骤3b）和完整的 \(D\)，可以独立计算本行块对应的 \(Y^{(i)} = W^{(i)} D\)。这里 \(W^{(i)}\) 是处理器 \(i\) 负责的 \(n_ i\) 行，所以 \(Y^{(i)}\) 也是 \(n_ i \times m\)。 b. 计算 \(Y V^T = (W D) V^T\)。注意，我们需要从 \(Y V^T\) 中减去以更新 \(M_ 0\)。由于 \(V\) 是按列分块存储的，我们需要计算 \(Y (V^T) = \sum_ {j=1}^p Y^{(i)} (V^{(j)})^T\)。这又是一个需要通信的操作。 c. 一个高效的策略是：将 \(Y\) 按 行分块 （我们已经有了 \(Y^{(i)}\)），将 \(V^T\) 按 行分块 （对应 \(V\) 的列分块，每个处理器 \(j\) 拥有 \(V^{(j)}\)，其转置是 \(m_ j \times n\) 的块）。为了计算全局的 \(Y V^T\)，处理器 \(i\) 需要与所有处理器 \(j\) 通信，获取 \(V^{(j)}\) 来形成本地的部分和。这可以通过 All-Gather 将 \(V\) 收集到所有处理器上来实现（当 \(m\) 不大，且 \(V\) 是 \(n \times m\) 时可行），或者通过更复杂的多对多通信。 d. 更简洁的方法：注意到最终更新是对 \(M_ 0\) 的一个修正。每个处理器只需要更新它负责的 \(M_ 0\) 的行块。处理器 \(i\) 负责的最终逆矩阵块为： \[ M_ m^{(i)} = M_ 0^{(i)} - Y^{(i)} (V^T M_ 0^{(i)}) \] 这里 \(Y^{(i)} = W^{(i)} D\) 是已知的。而 \(V^T M_ 0^{(i)}\) 可以这样计算：由于 \(M_ 0^{(i)}\) 是行块，\(V^T\) 是 \(m \times n\)。我们可以再次利用 All-Gather 获取完整的 \(V\)（或 \(V^T\)），然后本地计算 \(V^T M_ 0^{(i)}\)，得到一个 \(m \times n_ i\) 的矩阵（注意，这里的 \(n_ i\) 是列数，对应于 \(M_ 0^{(i)}\) 的列块，但 \(M_ 0^{(i)}\) 是一个瘦高的行块，其列数是完整的 \(n\)）。实际上，\(V^T M_ 0^{(i)}\) 是 \(m \times n\) 矩阵的一个列块。这仍然需要完整的 \(V^T\) 信息。 考虑到通信复杂性，一个更实际且常用的并行化方法是在共享内存环境下（如多核CPU），利用OpenMP或Pthreads进行并行化： 4. 共享内存多核并行化方案 在共享内存系统中，所有处理器核心共享同一份内存，可以访问完整的矩阵 \(M_ 0, U, V\)。这大大简化了通信问题。 步骤1：将m个更新对划分为若干个任务块。 将更新索引 \(1, 2, ..., m\) 划分为 \(t\) 个块（\(t\) 可以是线程数或略多），每个块包含一组连续的更新对。 步骤2：并行计算中间矩阵 \(W = M_ 0 U\) 和 \(Z = M_ 0 V\)。 由于 \(M_ 0\) 是 \(n \times n\)，\(U\) 和 \(V\) 是 \(n \times m\)，计算 \(W = M_ 0 U\) 和 \(Z = M_ 0 V\) 是标准的矩阵-矩阵乘法（Level 3 BLAS）。我们可以使用高度优化的并行BLAS库（如Intel MKL, OpenBLAS）来并行计算这两个乘积。这些库内部会使用分块、循环展开等技术，并利用多线程并行计算。 步骤3：并行计算核心矩阵 \(C = V^T W\)。 注意到 \(C = V^T W = (M_ 0 V)^T (M_ 0 U) = Z^T W\)。由于 \(Z\) 和 \(W\) 已经计算出，且都是 \(n \times m\)，计算 \(C = Z^T W\) 也是一个矩阵乘法（\(m \times n\) 乘以 \(n \times m\)，得到 \(m \times m\)）。同样，可以使用并行BLAS库的 GEMM 例程来计算。 步骤4：计算小矩阵 \(D = (I + C)^{-1}\)。 由于 \(m\) 较小，可以 在单个线程上串行计算 其逆，或者使用LAPACK的 GETRF （LU分解）和 GETRI （求逆）例程。也可以使用多线程LAPACK，但开销可能不显著。 步骤5：并行计算最终更新。 计算 \(Y = W D\) （\(n \times m\) 乘以 \(m \times m\)），同样使用并行 GEMM 。 计算最终更新 \(M_ m = M_ 0 - Y Z^T\)。这是两个矩阵的相减，其中 \(Y Z^T\) 是一个秩为 \(m\) 的矩阵。我们可以并行地对 \(M_ 0\) 的各个元素进行更新。具体地，可以按行或按列分块，每个线程负责更新 \(M_ 0\) 的一个连续块。公式为 \(M_ m = M_ 0 - Y Z^T\)，这是一个 \(n \times n\) 的矩阵的秩 \(m\) 更新，也可以看作一个矩阵乘法（\(Y Z^T\)）后接一个矩阵减法。并行BLAS的 GEMM 可以高效计算 \(Y Z^T\)，然后一个并行的矩阵减法（或使用 AXPY 类的操作）即可完成。 5. 算法复杂度与优化 时间复杂度 ：串行算法的复杂度为 \(O(mn^2)\)。在并行版本中，步骤2、3、5中的矩阵乘法是主要成本，理想情况下，在 \(p\) 个处理器上，这些矩阵乘法可以近似达到 \(O(n^2 m / p)\) 的效率（如果 \(n\) 远大于 \(m\) 和 \(p\)）。计算 \(D\) 的 \(O(m^3)\) 步骤通常是次要的。 空间复杂度 ：需要存储 \(M_ 0, U, V, W, Z, C, D, Y\) 等矩阵。主要开销是 \(M_ 0\) 的 \(O(n^2)\) 和 \(W, Z, Y\) 的 \(O(nm)\)。在分布式内存中，需要仔细分块以适应当地内存。 优化要点 ： 当 \(m\) 非常大时（接近 \(n\)），Woodbury公式的优势会减弱，直接重新求逆可能更划算。因此，此算法适用于 \(m \ll n\) 的情况。 在分布式内存实现中，如果 \(m\) 很小，步骤3和5中的 All-Gather 操作通信数据量为 \(O(nm)\)，如果 \(nm\) 远小于 \(n^2\)，则是可接受的。需要权衡计算收益和通信开销。 对于一系列连续的更新，可以采用“延迟更新”或“批量处理”策略，积累一定数量的更新对 \((u_ k, v_ k)\) 后，再一次性使用上述批量并行算法，而不是逐个更新，这样可以摊薄通信和同步开销。 总结 并行化Sherman-Morrison公式的核心思想是将多个连续的秩1更新聚合成一个秩为 \(m\) 的更新，然后利用Woodbury公式，将计算主体转化为一系列可以并行执行的稠密矩阵乘法运算。在共享内存系统中，可以充分利用多线程BLAS库实现高效并行。在分布式内存系统中，需要对矩阵进行分块，并通过集合通信操作（如All-Gather, All-Reduce）来协调各处理器间的数据，在 \(m\) 较小、更新批量足够大时，能有效加速大规模矩阵在低秩修正后的求逆更新过程。