$c_i(x^*) = 0, i \in \mathcal{E}$,
 $c_i(x^*) \geq 0, \lambda_i^* \geq 0, \lambda_i^* c_i(x^*) = 0, i \in \mathcal{I}$.

内点反射信赖域混合算法的收敛性分析基础题 题目描述 考虑以下非线性规划问题： \[ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} f(x) \] \[ \text{s.t.} \quad c_ i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \] \[ \quad \quad c_ i(x) \geq 0, \quad i \in \mathcal{I}, \] 其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和 \(c_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 是二阶连续可微函数。假设我们采用 内点反射信赖域混合算法 求解该问题，该算法在迭代中结合了 内点法 的障碍函数思想、 反射变换 以保持严格可行性，以及 信赖域 框架控制步长的可靠性。你的任务是：详细阐述该混合算法的一次迭代步骤，并分析其收敛性的关键条件，即说明在什么假设下，算法产生的迭代序列的任意聚点都满足一阶必要最优性条件（KKT条件）。 解题过程 算法框架理解 内点反射信赖域混合算法是一种处理带不等式约束的内点法变体。核心思想是： 通过 障碍函数 （如对数障碍函数）将不等式约束纳入目标，形成一系列无约束子问题。 在每一步求解子问题时，使用 反射变换 （例如，当变量接近边界时将其“反射”回可行域内部）来确保迭代点严格满足不等式约束（即 \(c_ i(x) > 0\)）。 采用 信赖域 方法控制子问题求解的步长，以保证模型的近似精度和全局收敛性。 算法单次迭代步骤分解 设当前迭代点为 \(x_ k\)，满足严格可行性：\(c_ i(x_ k) > 0, i \in \mathcal{I}\)，当前障碍参数为 \(\mu_ k > 0\)，信赖域半径为 \(\Delta_ k > 0\)。 步骤1：构造障碍函数子问题 定义障碍函数： \[ B(x; \mu_ k) = f(x) - \mu_ k \sum_ {i \in \mathcal{I}} \ln c_ i(x). \] 子问题为： \[ \min_ {x} B(x; \mu_ k) \quad \text{s.t.} \quad c_ i(x) = 0, i \in \mathcal{E}. \] 注意：子问题只保留等式约束，不等式约束已通过障碍项处理。 步骤2：构建二次模型并应用反射变换 在 \(x_ k\) 处对障碍函数做二阶近似： \[ m_ k(p) = B(x_ k; \mu_ k) + \nabla B(x_ k; \mu_ k)^\top p + \frac{1}{2} p^\top \nabla^2 B(x_ k; \mu_ k) p. \] 但直接求解 \(m_ k(p)\) 在信赖域 \(\|p\| \leq \Delta_ k\) 下的极小化可能会使试探点 \(x_ k + p\) 违反不等式约束（即 \(c_ i(x_ k + p) \leq 0\)）。为此，引入 反射变换 ：定义反射算子 \(R(x)\)，当某个 \(c_ i(x)\) 接近零时，将 \(x\) 沿边界法向“推回”可行域内部。在算法中，通常将反射作用融入子问题的约束中，即要求试探点满足 \(c_ i(x_ k + p) \geq \delta \mu_ k\) 对某个小常数 \(\delta > 0\)。这等价于在二次模型中添加一个仿射约束线性化： \[ c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^\top p \geq \delta \mu_ k, \quad i \in \mathcal{I}. \] 于是，当前步的 带反射约束的信赖域子问题 为： \[ \min_ {p} m_ k(p) \quad \text{s.t.} \quad \|p\| \leq \Delta_ k, \quad c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^\top p \geq \delta \mu_ k, \quad i \in \mathcal{I}, \] 同时保持等式约束线性化：\(c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^\top p = 0, i \in \mathcal{E}\)。 步骤3：求解子问题并计算实际下降 解上述子问题得到试探步 \(p_ k\)，计算试探点 \(x_ k^+ = x_ k + p_ k\)。 然后计算障碍函数的实际下降量： \[ \text{ared}_ k = B(x_ k; \mu_ k) - B(x_ k^+; \mu_ k), \] 和模型预测下降量： \[ \text{pred}_ k = m_ k(0) - m_ k(p_ k). \] 比值 \(r_ k = \frac{\text{ared}_ k}{\text{pred}_ k}\) 用于判断步长接受性和更新信赖域半径： 若 \(r_ k \geq \eta_ 1\)（例如 \(\eta_ 1 = 0.1\)），接受步长：\(x_ {k+1} = x_ k^+\)。 否则拒绝步长：\(x_ {k+1} = x_ k\)，并缩小信赖域半径 \(\Delta_ k\)。 步骤4：更新障碍参数和信赖域半径 如果步长被接受且当前障碍子问题已充分求解（例如 \(\|\nabla B(x_ {k+1}; \mu_ k)\|\) 足够小），则减小障碍参数：\(\mu_ {k+1} = \sigma \mu_ k\)，其中 \(0 < \sigma < 1\)，并重置 \(\Delta_ {k+1}\) 为较大值。 否则保持 \(\mu_ {k+1} = \mu_ k\)，并根据比值 \(r_ k\) 按标准信赖域规则调整 \(\Delta_ {k+1}\)（例如，若 \(r_ k\) 小则缩小，若接近1则扩大）。 收敛性关键条件分析 要证明算法产生的迭代序列的任意聚点 \(x^* \) 满足 KKT 条件，需要以下假设： 假设1（光滑性与可行性） ： \(f\) 和 \(c_ i\) 二阶连续可微，且可行域内部非空（即存在严格可行点）。 假设2（约束规范性） ： 在极限点 \(x^ \) 处，等式约束梯度 \(\nabla c_ i(x^ ), i \in \mathcal{E}\) 线性无关，且存在 \(p\) 使得 \(\nabla c_ i(x^ )^\top p = 0, i \in \mathcal{E}\) 且 \(\nabla c_ i(x^ )^\top p > 0, i \in \mathcal{I}^ \)，其中 \(\mathcal{I}^ \) 是在 \(x^ \) 处起作用的不等式约束（即 \(c_ i(x^ ) = 0\)）。这保证了 KKT 系统的非奇异性。 假设3（障碍参数趋于零） ： 算法产生的障碍参数序列满足 \(\mu_ k \to 0\)，这通过“充分求解子问题后减小 \(\mu\)”的更新规则保证。 假设4（反射约束的相容性） ： 反射约束 \(c_ i(x_ k) + \nabla c_ i(x_ k)^\top p \geq \delta \mu_ k\) 在每次迭代中都是相容的（即存在可行 \(p\)），这通常由严格可行性和 \(\delta\) 足够小保证。 假设5（子问题求解精度） ： 每次迭代求解的子问题步长 \(p_ k\) 至少满足 Cauchy 点条件（即目标下降量不低于梯度方向在信赖域内的最优下降量的一定比例），这是标准信赖域收敛理论的要求。 收敛性论证概要 ： 在以上假设下： 由于障碍参数趋于零，障碍函数子问题的解逼近原问题的解。 反射约束确保迭代点始终严格可行（内点性质），避免了边界不可行导致的数值困难。 信赖域机制保证全局收敛性，即当 \(k \to \infty\) 时，\(\|\nabla B(x_ k; \mu_ k)\| \to 0\) 或收敛到稳定点。 结合 \(\mu_ k \to 0\) 和约束规范性，可证明任意聚点 \(x^ \) 满足 KKT 条件：存在乘子 \(\lambda_ i^ \) 使得 \[ \nabla f(x^ ) - \sum_ {i \in \mathcal{E} \cup \mathcal{I}} \lambda_ i^ \nabla c_ i(x^ ) = 0, \] \(c_ i(x^ ) = 0, i \in \mathcal{E}\), \(c_ i(x^ ) \geq 0, \lambda_ i^ \geq 0, \lambda_ i^* c_ i(x^* ) = 0, i \in \mathcal{I}\). 关键点总结 内点法处理不等式约束，反射变换维持严格内点可行性。 信赖域控制步长可靠性，结合障碍参数递减策略，使子问题逼近原问题。 收敛性依赖问题的光滑性、约束规范性、障碍参数趋于零以及子问题求解的适当精度。 此分析展示了内点反射信赖域混合算法如何融合三种技术思想，并在一定条件下保证收敛到 KKT 点。