基于距离度量学习的马氏距离（Mahalanobis Distance）优化与算法实现
我将为你详细讲解机器学习中距离度量学习的核心——马氏距离的优化与学习算法。这个主题旨在学习一个更适应数据分布的、可通用的距离度量，从而提升KNN、聚类等依赖距离的算法的性能。
题目描述
在机器学习中，很多算法（如K近邻、K均值、SVM等）的性能高度依赖于数据点之间“距离”的计算。最常用的欧氏距离假设所有特征维度是独立且同等重要的，这在很多真实数据中并不成立。例如，一个维度是身高（单位：米，数值范围1.5~2.0），另一个维度是收入（单位：万元，数值范围5~50），欧氏距离会过度放大收入维度的差异，并且忽略特征间的相关性。
马氏距离 可以解决这两个问题。给定一个数据集 \(\{x_i\}_{i=1}^N\)，其中 \(x_i \in \mathbb{R}^d\)，其马氏距离定义为：
\[D_M(x_i, x_j) = \sqrt{(x_i - x_j)^T M (x_i - x_j)} \]
其中 \(M\) 是一个 \(d \times d\) 的半正定矩阵（记为 \(M \succeq 0\)）。当 \(M\) 取数据的逆协方差矩阵 \(\Sigma^{-1}\) 时，就是经典的马氏距离，它能自动校正不同特征尺度的差异性，并考虑特征间的线性相关性。
度量学习的核心目标是从数据中自动学出一个最优的 \(M\)，使得在学得的距离度量下，满足“同类样本距离近，异类样本距离远”的先验。这被称为马氏度量学习。
解题过程详解
第一步：问题形式化与目标设定
假设我们有一个带标签的数据集 \(\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^N\)。我们定义两个样本对之间的关系：
- 相似对（同类样本对）集合 \(S\)：如果 \((x_i, x_j) \in S\)，则 \(y_i = y_j\)。
- 不相似对（异类样本对）集合 \(D\)：如果 \((x_i, x_j) \in D\)，则 \(y_i \neq y_j\)。
我们的目标是学习一个矩阵 \(M\)，使得：
- 同类吸引：对于所有相似对，其马氏距离 \(D_M^2(x_i, x_j)\) 尽可能小。
- 异类排斥：对于所有不相似对，其马氏距离 \(D_M^2(x_i, x_j)\) 尽可能大（至少大于一个边界值）。
这是一个自然的成对约束优化问题。最经典的算法之一是大边界最近邻（Large Margin Nearest Neighbor, LMNN） 提出的目标函数。下面我们以LMNN的思路为例，分步拆解。
第二步：定义具体的优化目标（损失函数）
LMNN的核心思想是：学到的度量应该使得对于每个样本 \(x_i\)（我们称之为“目标样本”）：
- 它的 \(k\) 个最近邻（根据学到的距离）都属于同类（“同类近邻”，用 \(j \rightsquigarrow i\) 表示）。
- 任何不同类的样本（“入侵者”，用 \(l\) 表示）与它的距离，应该比它与任何同类近邻的距离至少大出一个边界（Margin）。
为此，LMNN设计了包含两项的损失函数：
- 拉近项（Pull Term）：拉近目标样本与其同类 \(k\) 近邻的距离。
\[ \epsilon_{pull}(M) = \sum_{i, j \rightsquigarrow i} D_M^2(x_i, x_j) \]
对所有样本 $ i $ 和它的每个同类 $ k $ 近邻 $ j $ 求和。
- 推远项（Push Term）：推开不同类的“入侵者”。对目标样本 \(i\)，它的同类近邻 \(j\)，以及任意一个不同类的入侵者 \(l\)（即 \(y_l \neq y_i\)），我们希望：
\[ D_M^2(x_i, l) \ge D_M^2(x_i, j) + 1 \]
这里的“1”是设定的边界（Margin）。如果这个不等式不满足，我们就需要施加一个惩罚。这可以用**合页损失（Hinge Loss）** 来实现：
\[ \xi_{ijl} = \max(0, 1 + D_M^2(x_i, x_j) - D_M^2(x_i, x_l)) \]
只有当入侵者 $ l $ 的距离比同类近邻 $ j $ 的距离至少小于1个单位时，损失 $ \xi_{ijl} > 0 $。
完整的LMNN损失函数 是这两项的加权和：
\[\mathcal{L}(M) = (1 - \mu) \sum_{i, j \rightsquigarrow i} D_M^2(x_i, x_j) + \mu \sum_{i, j \rightsquigarrow i} \sum_{l: y_l \neq y_i} \xi_{ijl} \]
其中 \(\mu \in [0, 1]\) 是一个超参数，用于平衡“拉近”和“推远”两项的重要性。
第三步：优化求解
我们的优化问题是：
\[\min_{M \succeq 0} \mathcal{L}(M) \]
约束 \(M \succeq 0\) 保证了学到的距离满足非负性和三角不等式，是一个合法的度量。
为了求解，我们可以将距离公式代入：
\[D_M^2(x_i, x_j) = (x_i - x_j)^T M (x_i - x_j) = \text{tr}(M (x_i - x_j)(x_i - x_j)^T) \]
这里利用了矩阵迹的循环性质 \(\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)\)。定义差异向量外积 \(C_{ij} = (x_i - x_j)(x_i - x_j)^T\)，则 \(D_M^2(x_i, x_j) = \text{tr}(M C_{ij})\)。
将此代入损失函数，并将松弛变量 \(\xi_{ijl}\) 显式写出，我们得到一个可求解的半定规划（Semidefinite Programming, SDP）问题：
\[\begin{aligned} \min_{M, \xi} &\quad (1 - \mu) \sum_{i, j \rightsquigarrow i} \text{tr}(M C_{ij}) + \mu \sum_{i, j \rightsquigarrow i} \sum_{l: y_l \neq y_i} \xi_{ijl} \\ \text{s.t.} &\quad \text{tr}(M C_{il}) - \text{tr}(M C_{ij}) \ge 1 - \xi_{ijl} \quad \forall i, j \rightsquigarrow i, l: y_l \neq y_i \\ &\quad \xi_{ijl} \ge 0 \\ &\quad M \succeq 0 \end{aligned} \]
第四步：算法实现与迭代优化
直接求解上述SDP问题对大规模数据比较慢。LMNN论文提出了一种高效的基于子梯度下降的迭代优化方法。
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初始化：通常设置 \(M\) 为单位矩阵 \(I\)（即退化为欧氏距离），或者使用基于全局协方差矩阵的逆 \(\Sigma^{-1}\) 作为初始值。初始化同类 \(k\) 近邻关系（基于初始距离）。
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迭代更新：
- 计算当前度量 \(M^{(t)}\) 下的所有距离。
- 识别活跃的“入侵者”：对每个三元组 \((i, j, l)\)，检查是否有 \(1 + D_{M^{(t)}}^2(x_i, x_j) - D_{M^{(t)}}^2(x_i, x_l) > 0\)。只有满足这个条件的三元组，其对应的约束才是“活跃的”，才会对梯度有贡献。
- 计算损失函数关于 \(M\) 的梯度：
- 拉近项的梯度： \(\nabla_M \epsilon_{pull} = (1-\mu) \sum_{i, j \rightsquigarrow i} C_{ij}\)。
- 推远项的梯度：只对活跃的三元组求和， \(\nabla_M \epsilon_{push} = \mu \sum_{\text{active } (i,j,l)} (C_{ij} - C_{il})\)。
- 总梯度： \(G^{(t)} = \nabla_M \mathcal{L} = \nabla_M \epsilon_{pull} + \nabla_M \epsilon_{push}\)。
- 更新矩阵 \(M\)： \(M^{(t+1)} = M^{(t)} - \alpha G^{(t)}\)，其中 \(\alpha\) 是学习率。
- 投影到半正定锥：为了使更新后的 \(M^{(t+1)}\) 满足 \(M \succeq 0\) 的约束，需要对 \(M^{(t+1)}\) 进行投影。常用的方法是进行特征值分解 \(M = U \Lambda U^T\)，然后将所有负特征值置零： \(M_{\text{psd}} = U \max(\Lambda, 0) U^T\)。
- （可选）更新近邻关系：在迭代一定轮数后，可以根据更新后的 \(M\) 重新计算每个样本的 \(k\) 个同类近邻。
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收敛：当损失函数的变化或矩阵 \(M\) 的变化小于某个阈值，或达到最大迭代次数时停止。
第五步：应用学到的度量
学习完成后，我们得到最优的矩阵 \(M^*\)。对于任何需要计算距离的任务（如KNN分类、K-means聚类），我们都使用学到的马氏距离：
\[\text{dist}(x_i, x_j) = \sqrt{(x_i - x_j)^T M^* (x_i - x_j)} \]
这个距离度量融入了数据的全局结构和类别信息，通常能显著提升下游任务的性能。
总结：马氏距离度量学习通过优化一个半正定矩阵 \(M\)，将原始数据空间线性映射到一个新的特征空间，在该空间中，类内样本更紧凑，类间样本更分离。LMNN算法是其中的一个经典代表，它通过定义明确的目标函数（拉近同类、推远异类）和利用高效的凸优化技术，从成对约束中自动学习到一个有判别力的距离度量。