在实际中，常用预处理技术近似求解此方程。
e. **正交化扩展**：将 $\mathbf{t}_k$ 相对于 $V_k$ 进行正交化（通常相对于 $B$ 内积正交，即 $\mathbf{t}_k \perp_B \text{span}(V_k)$），得到 $\mathbf{v}_{k+1}$，并令 $V_{k+1} = [V_k, \mathbf{v}_{k+1}]$，然后返回步骤a。

   其中 $A_{ij}, B_{ij}$ 是 $A, B$ 的 $(i,j)$ 子块。求和只需对非零块进行。
   求解小规模广义特征值问题 $M_k \mathbf{s} = \theta N_k \mathbf{s}$（使用稠密QR或QZ算法），选择满足 $|\theta_k - \tau|$ 最小的特征对 $(\theta_k, \mathbf{s}_k)$。令 $\mathbf{u}_k = V_k \mathbf{s}_k$。
b. **计算残差**：$\mathbf{r}_k = A \mathbf{u}_k - \theta_k B \mathbf{u}_k$。如果 $\|\mathbf{r}_k\| < \epsilon$，则输出 $(\theta_k, \mathbf{u}_k)$ 并终止。
c. **求解分块预处理校正方程**：
   校正方程可写为：$J_k \mathbf{t} = -\mathbf{r}_k$，其中 $J_k = (I - B \mathbf{u}_k \mathbf{u}_k^T)(A - \theta_k B)(I - \mathbf{u}_k \mathbf{u}_k^T B)$，且约束 $\mathbf{t} \perp B \mathbf{u}_k$。
   由于 $J_k$ 是大规模稀疏矩阵，常用预处理Krylov子空间方法（如预处理GMRES）求解。关键步骤是构建一个有效的**分块预处理子** $P_k \approx J_k$。
   *例如*：忽略低秩修正项，用 $A - \theta_k B$ 的近似作为预处理子。由于 $A, B$ 是分块稀疏的，可以对 $A - \theta_k B$ 进行**分块不完全LU分解**：$P_k = L_k U_k \approx A - \theta_k B$，其中 $L_k, U_k$ 保持与原矩阵相同的块稀疏模式。在迭代求解 $J_k \mathbf{t} = -\mathbf{r}_k$ 时，每一步的预处理步骤（求解 $P_k \mathbf{z} = \mathbf{y}$）可以通过前向和后向替换按块高效完成。
d. **分块正交化与扩展**：
   求解得到近似修正向量 $\tilde{\mathbf{t}}_k$。然后将其相对于 $V_k$ 进行 $B$-正交化：

   这里 $V_k^T B \tilde{\mathbf{t}}_k = \sum_i (V_k^{(i)})^T (B \tilde{\mathbf{t}}_k)^{(i)}$ 可按块计算。若 $\|\mathbf{v}_{\text{new}}\|_B$ 太小，可重启或采用随机向量。否则，归一化 $\mathbf{v}_{k+1} = \mathbf{v}_{\text{new}} / \|\mathbf{v}_{\text{new}}\|_B$，并令 $V_{k+1} = [V_k, \mathbf{v}_{k+1}]$，$k = k+1$，继续迭代。

分块矩阵的Jacobi-Davidson方法在广义特征值问题中的应用 题目描述 我们考虑广义特征值问题 \(A \mathbf{x} = \lambda B \mathbf{x}\)，其中 \(A\) 和 \(B\) 是 \(n \times n\) 的稀疏矩阵。在科学计算中，我们通常只对少数几个极端特征值（如模最大或最小）及其对应的特征向量感兴趣。Jacobi-Davidson方法是一种高效的投影方法，它通过迭代地扩充和修正一个子空间来逼近所需的特征对。本题目探讨如何将Jacobi-Davidson方法应用于 分块矩阵形式 的广义特征值问题，例如当矩阵以分块结构存储或具有特定块状稀疏性时，如何利用分块结构来组织计算、加速子空间构建和校正方程的求解，并高效稳定地计算目标特征对。 解题过程 第一步：理解广义特征值问题的Jacobi-Davidson方法基本框架 核心思想 ：该方法不直接在大矩阵上操作，而是构建一个低维的搜索子空间 \(\mathcal{V}_ k = \text{span}\{ \mathbf{v}_ 1, \dots, \mathbf{v}_ k \}\)，并在该子空间上求解一个投影后的广义特征值问题（小规模问题），以获得特征值和特征向量的当前近似值 \((\theta_ k, \mathbf{u}_ k)\)，其中 \(\mathbf{u}_ k \in \mathcal{V}_ k\)。为了改进近似，它需要求解一个“校正方程”来获得一个修正向量 \(\mathbf{t}_ k\)，该向量经正交化后被加入搜索子空间 \(\mathcal{V}_ k\)，从而扩展子空间以在下一步得到更好的近似。 基本算法迭代步骤 (对于求某个特征值 \(\lambda\) 及其特征向量 \(\mathbf{x}\))： a. 投影 ：构建子空间 \(\mathcal{V}_ k\) 的正交基矩阵 \(V_ k = [ \mathbf{v}_ 1, \dots, \mathbf{v}_ k]\)。计算投影矩阵 \(M_ k = V_ k^T A V_ k\) 和 \(N_ k = V_ k^T B V_ k\)。 b. 求解投影问题 ：求解小规模广义特征值问题 \(M_ k \mathbf{s} = \theta N_ k \mathbf{s}\)，选择所需的特征对 \((\theta_ k, \mathbf{s}_ k)\)（例如 \(\theta_ k\) 最接近目标值 \(\tau\) 的特征值）。当前近似特征向量为 \(\mathbf{u}_ k = V_ k \mathbf{s}_ k\)。 c. 计算残差 ：\(\mathbf{r}_ k = A \mathbf{u}_ k - \theta_ k B \mathbf{u}_ k\)。如果 \(\|\mathbf{r}_ k\|\) 足够小，则收敛，\((\theta_ k, \mathbf{u}_ k)\) 即为所求。 d. 求解校正方程 ：为了找到一个修正向量 \(\mathbf{t}_ k\) 来改进 \(\mathbf{u}_ k\)，需要求解（近似）以下校正方程： \[ (I - B \mathbf{u}_ k \mathbf{u}_ k^T)(A - \theta_ k B)(I - \mathbf{u}_ k \mathbf{u}_ k^T B) \mathbf{t}_ k = -\mathbf{r}_ k, \quad \mathbf{t}_ k \perp B \mathbf{u} k \] 在实际中，常用预处理技术近似求解此方程。 e. 正交化扩展 ：将 \(\mathbf{t} k\) 相对于 \(V_ k\) 进行正交化（通常相对于 \(B\) 内积正交，即 \(\mathbf{t} k \perp_ B \text{span}(V_ k)\)），得到 \(\mathbf{v} {k+1}\)，并令 \(V {k+1} = [ V_ k, \mathbf{v} {k+1} ]\)，然后返回步骤a。 第二步：引入分块矩阵结构及其利用思路 分块矩阵场景 ：假设矩阵 \(A\) 和 \(B\) 具有明显的块状结构，例如来自有限元法或有限差分法对二维/三维区域的离散化，矩阵可被划分为 \(p \times p\) 个子块。这种结构可能是块三对角、块带状，或者更一般的稀疏块模式。矩阵向量乘法 \(A\mathbf{v}\) 和 \(B\mathbf{v}\) 可以高效地按块组织计算。 利用分块结构的策略 ： a. 分块组织子空间基 ：搜索子空间基矩阵 \(V_ k\) 可以按块行进行分块存储，即 \(V_ k = [ V_ k^{(1)}; V_ k^{(2)}; \dots; V_ k^{(p)}]^T\)，其中上标表示块索引。这使得在计算投影矩阵 \(M_ k = V_ k^T A V_ k\) 时，可以利用 \(A\) 的分块稀疏性，将计算分解为子块矩阵与子块向量的乘积累加，减少通信和计算开销（尤其在并行环境中）。 b. 分块预处理校正方程 ：校正方程是Jacobi-Davidson方法中最耗时的部分。当 \(A\) 和 \(B\) 是分块稀疏矩阵时，可以设计 分块预处理子 来加速迭代求解（如使用分块不完全LU分解作为预处理子的Krylov方法）。例如，对于二维区域分解产生的块三对角矩阵，可以构造基于子块的不完全分解预处理子，其构造和应用成本低于整体矩阵的不完全分解。 c. 分块正交化 ：在扩展子空间时，需要将新的修正向量 \(\mathbf{t}_ k\) 相对于当前子空间 \(V_ k\) 进行正交化（关于 \(B\) 内积）。由于 \(B\) 也是分块的，正交化过程（如分块Modified Gram-Schmidt）可以按块组织数据访问和计算，提高缓存利用率和并行效率。 第三步：分块Jacobi-Davidson算法的详细步骤与公式 初始化 ：选择一个初始向量 \(\mathbf{v}_ 1\)（可随机生成，或根据物理背景选取），并进行归一化使其满足 \(\|\mathbf{v}_ 1\|_ B = 1\)（即 \(\mathbf{v}_ 1^T B \mathbf{v}_ 1 = 1\)）。令 \(V_ 1 = [ \mathbf{v}_ 1 ]\)，\(k=1\)。设定目标值 \(\tau\)（如想求接近 \(\tau\) 的特征值）和收敛容差 \(\epsilon\)。 迭代步骤（第k步） ： a. 投影与求解小问题 ： 计算 \(A\) 和 \(B\) 在子空间上的投影： \[ M_ k = V_ k^T A V_ k = \sum_ {i,j} (V_ k^{(i)})^T A_ {ij} V_ k^{(j)}, \quad N_ k = V_ k^T B V_ k = \sum_ {i,j} (V_ k^{(i)})^T B_ {ij} V_ k^{(j)} \] 其中 \(A_ {ij}, B_ {ij}\) 是 \(A, B\) 的 \((i,j)\) 子块。求和只需对非零块进行。 求解小规模广义特征值问题 \(M_ k \mathbf{s} = \theta N_ k \mathbf{s}\)（使用稠密QR或QZ算法），选择满足 \(|\theta_ k - \tau|\) 最小的特征对 \((\theta_ k, \mathbf{s}_ k)\)。令 \(\mathbf{u}_ k = V_ k \mathbf{s}_ k\)。 b. 计算残差 ：\(\mathbf{r}_ k = A \mathbf{u}_ k - \theta_ k B \mathbf{u}_ k\)。如果 \(\|\mathbf{r}_ k\| < \epsilon\)，则输出 \((\theta_ k, \mathbf{u}_ k)\) 并终止。 c. 求解分块预处理校正方程 ： 校正方程可写为：\(J_ k \mathbf{t} = -\mathbf{r}_ k\)，其中 \(J_ k = (I - B \mathbf{u}_ k \mathbf{u}_ k^T)(A - \theta_ k B)(I - \mathbf{u}_ k \mathbf{u}_ k^T B)\)，且约束 \(\mathbf{t} \perp B \mathbf{u}_ k\)。 由于 \(J_ k\) 是大规模稀疏矩阵，常用预处理Krylov子空间方法（如预处理GMRES）求解。关键步骤是构建一个有效的 分块预处理子 \(P_ k \approx J_ k\)。 例如 ：忽略低秩修正项，用 \(A - \theta_ k B\) 的近似作为预处理子。由于 \(A, B\) 是分块稀疏的，可以对 \(A - \theta_ k B\) 进行 分块不完全LU分解 ：\(P_ k = L_ k U_ k \approx A - \theta_ k B\)，其中 \(L_ k, U_ k\) 保持与原矩阵相同的块稀疏模式。在迭代求解 \(J_ k \mathbf{t} = -\mathbf{r}_ k\) 时，每一步的预处理步骤（求解 \(P_ k \mathbf{z} = \mathbf{y}\)）可以通过前向和后向替换按块高效完成。 d. 分块正交化与扩展 ： 求解得到近似修正向量 \(\tilde{\mathbf{t}} k\)。然后将其相对于 \(V_ k\) 进行 \(B\)-正交化： \[ \mathbf{v} {\text{new}} = \tilde{\mathbf{t}} k - V_ k (V_ k^T B \tilde{\mathbf{t}} k) \] 这里 \(V_ k^T B \tilde{\mathbf{t}} k = \sum_ i (V_ k^{(i)})^T (B \tilde{\mathbf{t}} k)^{(i)}\) 可按块计算。若 \(\|\mathbf{v} {\text{new}}\| B\) 太小，可重启或采用随机向量。否则，归一化 \(\mathbf{v} {k+1} = \mathbf{v} {\text{new}} / \|\mathbf{v} {\text{new}}\| B\)，并令 \(V {k+1} = [ V_ k, \mathbf{v} {k+1} ]\)，\(k = k+1\)，继续迭代。 第四步：算法特性与注意事项 收敛性 ：Jacobi-Davidson方法通常具有超线性收敛性，特别是当搜索子空间包含越来越好的近似特征向量信息时。分块结构的利用不改变算法的数学收敛性，但通过高效实现加速了每一步迭代。 预处理的重要性 ：校正方程的求解效率是关键。分块预处理子（如分块ILU、分块对角预处理、区域分解预处理）能够有效捕捉矩阵的局部结构，显著减少内迭代次数。 内存与重启 ：搜索子空间 \(V_ k\) 的维数 \(k\) 会逐渐增长，增加内存和计算开销。当 \(k\) 达到预设的最大值 \(m_ {\text{max}}\) 时，需要进行“重启”：保留当前最佳近似特征向量 \(\mathbf{u}_ k\) 作为新的初始向量 \(\mathbf{v}_ 1\)，并重置子空间。这能控制内存使用，但可能减缓收敛。 扩展到多个特征对 ：若需求多个特征对，可使用紧缩（deflation）技术：每当一个特征对收敛后，在后续迭代中将其从搜索空间“紧缩”掉，迫使方法收敛到下一个特征对。在分块框架下，紧缩向量的正交化和投影计算也需按块组织。 总结 ：分块矩阵的Jacobi-Davidson方法通过将矩阵的块状结构与算法的关键步骤（投影、校正方程求解、正交化）相结合，利用分块稀疏性优化数据访问和计算，并设计分块预处理子加速校正方程的迭代求解。它在处理大型稀疏广义特征值问题时，能够在保持算法鲁棒性和快速收敛的同时，显著提升计算效率，尤其适合并行和高性能计算环境。