内点反射梯度-信赖域混合算法进阶题
字数 3179 2025-12-09 18:56:46

内点反射梯度-信赖域混合算法进阶题

问题描述
考虑一个有等式约束和不等式约束的非线性规划问题：

\[\begin{aligned} \min_{x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_i(x) \ge 0, \quad i \in \mathcal{I}, \end{aligned} \]

其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和 \(c_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 均为二阶连续可微函数，\(\mathcal{E}\) 为等式约束下标集，\(\mathcal{I}\) 为不等式约束下标集。假设问题具有局部最优解 \(x^*\)，且满足适当的约束规格（如LICQ）。要求结合内点法的障碍函数思想、反射梯度法的可行性维持机制以及信赖域框架，设计一种混合算法，并分析其收敛性质。

解题过程

1. 算法核心思想
内点反射梯度-信赖域混合算法融合了三个关键技术：

  • 内点法：通过障碍函数将不等式约束转化为目标函数的一部分，保证迭代点始终在可行域内部。
  • 反射梯度法：当迭代点靠近可行域边界时，利用梯度反射技巧调整搜索方向，避免过早触及边界。
  • 信赖域：在每次迭代中求解一个子问题，该子问题在局部近似模型和信赖域约束下产生试探步，并通过实际下降与预测下降的比值控制信赖域半径的更新。

混合算法的优势在于：内点法处理不等式约束自然，反射梯度增强边界附近的探索能力，信赖域保证全局收敛性。

2. 构建障碍函数与近似子问题
引入对数障碍函数处理不等式约束 \(c_i(x) \ge 0\)，定义障碍问题为：

\[\min_{x} \quad \Phi_\mu(x) = f(x) - \mu \sum_{i \in \mathcal{I}} \ln c_i(x), \]

其中 \(\mu > 0\) 为障碍参数。等式约束仍保留。在迭代点 \(x_k\) 处，构造二阶近似模型：

\[m_k(p) = \nabla \Phi_\mu(x_k)^\top p + \frac{1}{2} p^\top B_k p, \]

其中 \(B_k\) 是拉格朗日函数的Hessian近似或拟牛顿近似。同时，将等式约束线性化：

\[\nabla c_i(x_k)^\top p + c_i(x_k) = 0, \quad i \in \mathcal{E}. \]

3. 反射梯度调整
当 \(c_i(x_k)\) 接近零（即靠近不等式边界）时，直接使用 \(\nabla \Phi_\mu(x_k)\) 可能导致步长过小。反射梯度法修改搜索方向：若梯度方向指向边界外部，将其反射回可行域内部。具体地，对每个接近边界的约束 \(i\)，定义反射算子：

\[r_i = \max(0, -\nabla c_i(x_k)^\top d) \cdot \frac{\nabla c_i(x_k)}{\|\nabla c_i(x_k)\|^2}, \]

并将修正方向设为 \(d_{\text{refl}} = d + \sum_{i \in \mathcal{I}_a} r_i\)，其中 \(\mathcal{I}_a\) 为近似活跃的约束集合。然后将 \(d_{\text{refl}}\) 投影到等式约束的零空间，得到可行方向。

4. 信赖域子问题
在第 \(k\) 步，求解如下信赖域子问题：

\[\begin{aligned} \min_{p} \quad & m_k(p) \\ \text{s.t.} \quad & \nabla c_i(x_k)^\top p + c_i(x_k) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & \|p\| \le \Delta_k, \end{aligned} \]

其中 \(\Delta_k > 0\) 是信赖域半径。由于等式约束存在，可先将其投影到零空间，然后求解带球约束的二次规划。得到试探步 \(p_k\) 后，计算实际下降与预测下降的比值：

\[\rho_k = \frac{\Phi_\mu(x_k) - \Phi_\mu(x_k + p_k)}{m_k(0) - m_k(p_k)}. \]

5. 迭代更新与参数调整

  • 若 \(\rho_k\) 接近1，说明模型近似良好，接受步长 \(x_{k+1} = x_k + p_k\)，并扩大信赖域半径 \(\Delta_{k+1} = \min(2\Delta_k, \Delta_{\max})\)。
  • 若 \(\rho_k\) 很小（如 \(<0.1\)），拒绝步长（\(x_{k+1} = x_k\)），缩小信赖域半径 \(\Delta_{k+1} = 0.5 \Delta_k\)。
  • 障碍参数 \(\mu\) 的更新：当满足一定最优性条件时，减小 \(\mu \gets \tau \mu\)，其中 \(0 < \tau < 1\)，以逐步逼近原问题。

6. 收敛性分析
混合算法的收敛性基于以下关键点：

  • 障碍函数确保迭代点严格可行，且当 \(\mu \to 0\) 时，障碍问题的解收敛于原问题的解。
  • 反射梯度调整保证了在边界附近的搜索方向可行性，避免Maratos效应。
  • 信赖域机制通过比值 \(\rho_k\) 控制步长，在非凸区域也能保证全局收敛。在标准假设下（如目标和约束函数 Lipschitz 连续，Hessian 近似一致有界），算法产生的序列至少有一个极限点满足一阶必要最优性条件（KKT条件）。

7. 算法步骤总结

  1. 初始化：给定初始点 \(x_0\)（严格可行），初始信赖域半径 \(\Delta_0 > 0\)，障碍参数 \(\mu_0 > 0\)，常数 \(0 < \eta_1 < \eta_2 < 1\)，\(0 < \gamma_1 < 1 < \gamma_2\)。
  2. 对于 \(k = 0, 1, 2, \dots\) 直到收敛：
    a. 计算障碍函数 \(\Phi_\mu(x_k)\) 及其梯度 \(\nabla \Phi_\mu(x_k)\)。
    b. 识别近似活跃不等式约束集 \(\mathcal{I}_a = \{ i \in \mathcal{I} \mid c_i(x_k) \le \epsilon \}\)，其中 \(\epsilon > 0\) 为小阈值。
    c. 计算反射梯度方向 \(d_{\text{refl}}\) 并投影到等式约束零空间，得到修正的搜索方向。
    d. 构造二阶模型 \(m_k(p)\)，求解信赖域子问题得试探步 \(p_k\)。
    e. 计算比值 \(\rho_k\)，按规则更新 \(x_{k+1}\) 和 \(\Delta_{k+1}\)。
    f. 如果当前障碍问题已近似求解（如 \(\|\nabla \Phi_\mu(x_k)\| < \mu\)），则更新 \(\mu \gets \tau \mu\)。
  3. 输出满足容差的近似最优解。

关键点

  • 反射梯度处理边界附近的方向修正，避免无效小步长。
  • 信赖域控制步长大小，保证全局收敛性。
  • 障碍参数逐渐减小，使得序列趋近原问题的最优解。
  • 该混合算法适用于中等规模、带有非凸约束的非线性规划问题。
内点反射梯度-信赖域混合算法进阶题 问题描述 考虑一个有等式约束和不等式约束的非线性规划问题： \[\begin{aligned} \min_ {x \in \mathbb{R}^n} \quad & f(x) \\ \text{s.t.} \quad & c_ i(x) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & c_ i(x) \ge 0, \quad i \in \mathcal{I}, \end{aligned}\] 其中 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 和 \(c_ i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 均为二阶连续可微函数，\(\mathcal{E}\) 为等式约束下标集，\(\mathcal{I}\) 为不等式约束下标集。假设问题具有局部最优解 \(x^* \)，且满足适当的约束规格（如LICQ）。要求结合内点法的障碍函数思想、反射梯度法的可行性维持机制以及信赖域框架，设计一种混合算法，并分析其收敛性质。 解题过程 1. 算法核心思想 内点反射梯度-信赖域混合算法融合了三个关键技术： 内点法 ：通过障碍函数将不等式约束转化为目标函数的一部分，保证迭代点始终在可行域内部。 反射梯度法 ：当迭代点靠近可行域边界时，利用梯度反射技巧调整搜索方向，避免过早触及边界。 信赖域 ：在每次迭代中求解一个子问题，该子问题在局部近似模型和信赖域约束下产生试探步，并通过实际下降与预测下降的比值控制信赖域半径的更新。 混合算法的优势在于：内点法处理不等式约束自然，反射梯度增强边界附近的探索能力，信赖域保证全局收敛性。 2. 构建障碍函数与近似子问题 引入对数障碍函数处理不等式约束 \(c_ i(x) \ge 0\)，定义障碍问题为： \[ \min_ {x} \quad \Phi_ \mu(x) = f(x) - \mu \sum_ {i \in \mathcal{I}} \ln c_ i(x), \] 其中 \(\mu > 0\) 为障碍参数。等式约束仍保留。在迭代点 \(x_ k\) 处，构造二阶近似模型： \[ m_ k(p) = \nabla \Phi_ \mu(x_ k)^\top p + \frac{1}{2} p^\top B_ k p, \] 其中 \(B_ k\) 是拉格朗日函数的Hessian近似或拟牛顿近似。同时，将等式约束线性化： \[ \nabla c_ i(x_ k)^\top p + c_ i(x_ k) = 0, \quad i \in \mathcal{E}. \] 3. 反射梯度调整 当 \(c_ i(x_ k)\) 接近零（即靠近不等式边界）时，直接使用 \(\nabla \Phi_ \mu(x_ k)\) 可能导致步长过小。反射梯度法修改搜索方向：若梯度方向指向边界外部，将其反射回可行域内部。具体地，对每个接近边界的约束 \(i\)，定义反射算子： \[ r_ i = \max(0, -\nabla c_ i(x_ k)^\top d) \cdot \frac{\nabla c_ i(x_ k)}{\|\nabla c_ i(x_ k)\|^2}, \] 并将修正方向设为 \(d_ {\text{refl}} = d + \sum_ {i \in \mathcal{I}_ a} r_ i\)，其中 \(\mathcal{I} a\) 为近似活跃的约束集合。然后将 \(d {\text{refl}}\) 投影到等式约束的零空间，得到可行方向。 4. 信赖域子问题 在第 \(k\) 步，求解如下信赖域子问题： \[ \begin{aligned} \min_ {p} \quad & m_ k(p) \\ \text{s.t.} \quad & \nabla c_ i(x_ k)^\top p + c_ i(x_ k) = 0, \quad i \in \mathcal{E}, \\ & \|p\| \le \Delta_ k, \end{aligned}\] 其中 \(\Delta_ k > 0\) 是信赖域半径。由于等式约束存在，可先将其投影到零空间，然后求解带球约束的二次规划。得到试探步 \(p_ k\) 后，计算实际下降与预测下降的比值： \[ \rho_ k = \frac{\Phi_ \mu(x_ k) - \Phi_ \mu(x_ k + p_ k)}{m_ k(0) - m_ k(p_ k)}. \] 5. 迭代更新与参数调整 若 \(\rho_ k\) 接近1，说明模型近似良好，接受步长 \(x_ {k+1} = x_ k + p_ k\)，并扩大信赖域半径 \(\Delta_ {k+1} = \min(2\Delta_ k, \Delta_ {\max})\)。 若 \(\rho_ k\) 很小（如 \(<0.1\)），拒绝步长（\(x_ {k+1} = x_ k\)），缩小信赖域半径 \(\Delta_ {k+1} = 0.5 \Delta_ k\)。 障碍参数 \(\mu\) 的更新：当满足一定最优性条件时，减小 \(\mu \gets \tau \mu\)，其中 \(0 < \tau < 1\)，以逐步逼近原问题。 6. 收敛性分析 混合算法的收敛性基于以下关键点： 障碍函数确保迭代点严格可行，且当 \(\mu \to 0\) 时，障碍问题的解收敛于原问题的解。 反射梯度调整保证了在边界附近的搜索方向可行性，避免Maratos效应。 信赖域机制通过比值 \(\rho_ k\) 控制步长，在非凸区域也能保证全局收敛。在标准假设下（如目标和约束函数 Lipschitz 连续，Hessian 近似一致有界），算法产生的序列至少有一个极限点满足一阶必要最优性条件（KKT条件）。 7. 算法步骤总结 初始化：给定初始点 \(x_ 0\)（严格可行），初始信赖域半径 \(\Delta_ 0 > 0\)，障碍参数 \(\mu_ 0 > 0\)，常数 \(0 < \eta_ 1 < \eta_ 2 < 1\)，\(0 < \gamma_ 1 < 1 < \gamma_ 2\)。 对于 \(k = 0, 1, 2, \dots\) 直到收敛： a. 计算障碍函数 \(\Phi_ \mu(x_ k)\) 及其梯度 \(\nabla \Phi_ \mu(x_ k)\)。 b. 识别近似活跃不等式约束集 \(\mathcal{I} a = \{ i \in \mathcal{I} \mid c_ i(x_ k) \le \epsilon \}\)，其中 \(\epsilon > 0\) 为小阈值。 c. 计算反射梯度方向 \(d {\text{refl}}\) 并投影到等式约束零空间，得到修正的搜索方向。 d. 构造二阶模型 \(m_ k(p)\)，求解信赖域子问题得试探步 \(p_ k\)。 e. 计算比值 \(\rho_ k\)，按规则更新 \(x_ {k+1}\) 和 \(\Delta_ {k+1}\)。 f. 如果当前障碍问题已近似求解（如 \(\|\nabla \Phi_ \mu(x_ k)\| < \mu\)），则更新 \(\mu \gets \tau \mu\)。 输出满足容差的近似最优解。 关键点 反射梯度处理边界附近的方向修正，避免无效小步长。 信赖域控制步长大小，保证全局收敛性。 障碍参数逐渐减小，使得序列趋近原问题的最优解。 该混合算法适用于中等规模、带有非凸约束的非线性规划问题。