高斯-切比雪夫求积公式的权重与节点对称性分析
我将详细讲解高斯-切比雪夫求积公式的权重与节点对称性。这是一个基础但重要的数值积分主题，理解其对称性能简化计算并加深对正交多项式求积的理解。
题目描述
分析第一类高斯-切比雪夫求积公式中节点（求积点）\(x_k\) 和权重（求积系数）\(w_k\) 的对称性，并利用对称性简化公式的表达与计算。该公式用于计算形如
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]
的带权积分，其中权函数为 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\)。
解题过程讲解
步骤1：回顾高斯-切比雪夫求积公式的基本形式
对于积分 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)，其 \(n\) 点高斯-切比雪夫求积公式为：
\[\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_{k=1}^{n} w_k \, f(x_k) \]
其中：
- 节点 \(x_k\) 是 \(n\) 次切比雪夫多项式 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\) 的零点。
- 权重 \(w_k\) 对所有节点均相等，即 \(w_k = \frac{\pi}{n}\)。
节点显式表达式：
\[x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k = 1, 2, \dots, n \]
权重：
\[w_k = \frac{\pi}{n}, \quad k = 1, 2, \dots, n \]
这是高斯型求积中少有的所有权重相等的特例。
步骤2：直观观察对称性
我们观察节点公式 \(x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right)\)。由于余弦函数 \(\cos \theta\) 具有对称性：\(\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta\)。我们可以尝试寻找关于原点 \(x=0\) 对称的节点对。
令 \(k\) 和 \(k'\) 满足：
\[\frac{2k-1}{2n} \pi = \pi - \frac{2k'-1}{2n} \pi \]
化简得：
\[2k-1 = 2n - (2k'-1) \quad \Rightarrow \quad k + k' = n+1 \]
即，如果定义 \(k' = n+1 - k\)，则对应节点：
\[x_{n+1-k} = \cos\left( \frac{2(n+1-k)-1}{2n} \pi \right) = \cos\left( \pi - \frac{2k-1}{2n} \pi \right) = -\cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) = -x_k \]
结论1（节点对称性）：
\[x_{n+1-k} = -x_k, \quad k = 1, 2, \dots, n \]
节点关于原点对称分布。特别地：
- 若 \(n\) 为奇数，则必有一个节点 \(x_{(n+1)/2} = 0\)。
- 若 \(n\) 为偶数，则没有节点落在 0 处，但节点成对出现且关于原点对称。
结论2（权重对称性）：
由于所有权重相等（\(w_k = \pi/n\)），自然有：
\[w_{n+1-k} = w_k \]
即权重也关于节点序号对称。
步骤3：利用对称性简化求和公式
因为节点和权重均对称，我们可以将求和按对称对分组，以降低计算量并提高数值稳定性。
情况1：\(n\) 为偶数（设 \(n=2m\)）
节点可分成 \(m\) 对：\((x_k, x_{n+1-k})\)，其中 \(x_{n+1-k} = -x_k\)。
原求和公式：
\[\sum_{k=1}^{n} w_k f(x_k) = \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \]
利用对称性，将第 \(k\) 对与第 \(n+1-k\) 项合并（注意 \(k\) 从 1 到 \(m\)）：
\[\sum_{k=1}^{n} f(x_k) = \sum_{k=1}^{m} \left[ f(x_k) + f(x_{n+1-k}) \right] = \sum_{k=1}^{m} \left[ f(x_k) + f(-x_k) \right] \]
因此近似公式可写为：
\[I \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{m} \left[ f(x_k) + f(-x_k) \right] \]
只需计算 \(m = n/2\) 个节点的函数值（即 \(x_1, x_2, \dots, x_m\)），再利用对称性得到另一半。特别地，如果被积函数 \(f(x)\) 是偶函数或奇函数，还可进一步简化。
情况2：\(n\) 为奇数（设 \(n=2m+1\)）
节点包括一个中心节点 \(x_{m+1} = 0\)，以及 \(m\) 对对称节点 \((x_k, x_{n+1-k})\)，其中 \(k=1,\dots,m\)。
求和可拆分为：
\[\sum_{k=1}^{n} f(x_k) = f(0) + \sum_{k=1}^{m} \left[ f(x_k) + f(-x_k) \right] \]
因此：
\[I \approx \frac{\pi}{n} \left[ f(0) + \sum_{k=1}^{m} \left( f(x_k) + f(-x_k) \right) \right] \]
同样只需计算 \(m+1\) 个点的函数值（0 和 \(x_1, \dots, x_m\)）。
步骤4：对称性的数学证明（简要）
上述对称性源于切比雪夫多项式 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\) 的零点对称性。更一般地，对于权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\)，其在区间 \([-1,1]\) 上是偶函数（即 \(w(-x)=w(x)\)）。对于任意偶权函数的高斯求积公式，其节点总是关于原点对称，且对称节点的权重相等。
简要推导：
高斯求积的节点是正交多项式（此处为切比雪夫多项式）的零点。切比雪夫多项式满足 \(T_n(-x) = (-1)^n T_n(x)\)，即当 \(n\) 为奇数时是奇函数，偶数时是偶函数。由此可推知其零点分布对称。权重对称性则由高斯求积公式的构造（通过拉格朗日插值）与权函数的偶性共同保证。
步骤5：对称性的应用价值
- 计算量减半：实际编程时只需计算一半（或略超一半）的节点和函数值，提高效率。
- 数值稳定性：避免重复计算对称点，减少舍入误差。
- 公式简化：当被积函数具有奇偶性时，可进一步简化：
- 若 \(f(x)\) 是偶函数（\(f(-x)=f(x)\)），则 \(f(x_k)+f(-x_k)=2f(x_k)\)，近似公式简化为：
\[ I \approx \frac{2\pi}{n} \sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} f(x_k) \quad (\text{若 } n \text{ 为偶数}) \]
或包含中点项（若 $n$ 为奇数）。
- 若 \(f(x)\) 是奇函数（\(f(-x)=-f(x)\)），则理论上积分真值为 0，求积和也为 0（在数值误差范围内验证对称性）。
- 理论分析：对称性可用于证明高斯-切比雪夫求积公式对奇函数的精确性（即若 \(f\) 是奇函数，则 \(n\) 点公式给出精确值 0）。
总结
高斯-切比雪夫求积公式的节点关于原点对称分布，权重全部相等。这种对称性可显著简化求和计算，并在被积函数具有奇偶性时提供进一步简化。理解这一对称性不仅有助于高效实现该求积公式，也深化了对正交多项式零点分布及高斯求积代数精度的认识。