基于Krylov子空间的COCR算法解复对称线性方程组

题目描述：
考虑求解一类特殊的复系数线性方程组 \(A \mathbf{x} = \mathbf{b}\)，其中矩阵 \(A \in \mathbb{C}^{n \times n}\) 是复对称矩阵（即 \(A = A^T\)，但 \(A \neq A^H\)），且矩阵可能是大型稀疏的。我们需要设计一种高效、稳定的迭代算法来求解此类方程组。这里，复对称矩阵意味着 \(a_{ij} = a_{ji} \in \mathbb{C}\)，但并非 Hermitian 矩阵（不满足 \(A = A^H\)）。传统的共轭梯度法（CG）要求矩阵是 Hermitian 正定，而双共轭梯度法（BiCG）适用于非对称矩阵但运算量较大。针对复对称矩阵的特殊结构，COCR（Conjugate Orthogonal Conjugate Residual）算法 是一种基于 Krylov 子空间的迭代方法，它通过利用复对称性来减少计算量和存储需求，同时保持类似 CG 的短递归格式，从而高效求解此类方程组。

解题过程：

1. 问题分析与算法思路
对于复对称矩阵 \(A\)，由于不满足 Hermitian 性质，标准 CG 法不能直接应用。但我们可以利用其对称性 \(A = A^T\) 来构造一种类似 CG 的迭代过程。基本思路是：在 Krylov 子空间 \(\mathcal{K}_m(A, \mathbf{r}_0) = \text{span}\{ \mathbf{r}_0, A\mathbf{r}_0, \dots, A^{m-1}\mathbf{r}_0 \}\) 中寻找近似解 \(\mathbf{x}_m\)，使得残差 \(\mathbf{r}_m = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_m\) 与之前所有的搜索方向正交（在某种内积下）。由于 \(A\) 是复对称而非 Hermitian，我们采用标准复内积（即欧几里得内积，不涉及共轭）来定义正交性，从而得到短递归迭代格式。

2. 算法推导的关键步骤
设初始猜测解为 \(\mathbf{x}_0\)，初始残差 \(\mathbf{r}_0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_0\)。我们希望在每一步迭代中更新解和残差，并构造一组搜索方向 \(\mathbf{p}_0, \mathbf{p}_1, \dots\)，使得：

• 残差向量 \(\{\mathbf{r}_k\}\) 相互正交（相对于标准复内积）。
• 搜索方向 \(\{\mathbf{p}_k\}\) 满足 \(A\)-共轭正交性（即 \(\mathbf{p}_i^T A \mathbf{p}_j = 0\) 对 \(i \neq j\)）。
  推导过程与 CG 法类似，但内积采用 \(\mathbf{u}^T \mathbf{v}\)（而非 \(\mathbf{u}^H \mathbf{v}\)），以适应复对称性。

3. COCR 算法的具体迭代格式
经过推导，我们得到以下迭代步骤（\(k = 0, 1, 2, \dots\)）：

1. 如果 \(k = 0\)，初始化：

\[ \mathbf{p}_0 = \mathbf{r}_0 \]

2. 计算步长 \(\alpha_k\)：

\[ \alpha_k = \frac{\mathbf{r}_k^T \mathbf{r}_k}{\mathbf{p}_k^T A \mathbf{p}_k} \]

注意分母是 \(\mathbf{p}_k^T (A \mathbf{p}_k)\)，由于 \(A\) 对称，\(\mathbf{p}_k^T A \mathbf{p}_k\) 是一个标量。
3. 更新解和残差：

\[ \mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{x}_k + \alpha_k \mathbf{p}_k \]

\[ \mathbf{r}_{k+1} = \mathbf{r}_k - \alpha_k A \mathbf{p}_k \]

4. 计算系数 \(\beta_k\)：

\[ \beta_k = \frac{\mathbf{r}_{k+1}^T \mathbf{r}_{k+1}}{\mathbf{r}_k^T \mathbf{r}_k} \]

5. 更新搜索方向：

\[ \mathbf{p}_{k+1} = \mathbf{r}_{k+1} + \beta_k \mathbf{p}_k \]

4. 算法细节与注意事项

• 内积的定义：所有内积均为 \(\mathbf{u}^T \mathbf{v} = \sum_i u_i v_i\)，不取复共轭。这与 Hermitian 情形不同，但保证了在复对称条件下残差的正交性 \(\mathbf{r}_i^T \mathbf{r}_j = 0\)（\(i \neq j\)）。
• 存储需求：只需存储 \(\mathbf{x}_k, \mathbf{r}_k, \mathbf{p}_k, A\mathbf{p}_k\) 等少量向量，内存效率高。
• 收敛性：COCR 理论上在无舍入误差时最多 \(n\) 步收敛。但由于复对称矩阵可能不定，实际收敛速度依赖矩阵谱分布，可能需预处理加速。
• 稳定性：在有限精度运算中，残差正交性可能逐渐丧失，可结合重启策略或使用更稳定的变体（如 COCR 的灵活版本）。

5. 算法伪代码

输入：复对称矩阵 A，右端向量 b，初始解 x0，容差 tol，最大迭代步数 maxit
输出：近似解 x
r0 = b - A * x0
p0 = r0
for k = 0, 1, ..., maxit-1 do
    Apk = A * pk
    αk = (rk^T * rk) / (pk^T * Apk)     # 使用标准转置，无共轭
    x_{k+1} = xk + αk * pk
    r_{k+1} = rk - αk * Apk
    if ||r_{k+1}|| < tol then
        跳出循环
    end if
    βk = (r_{k+1}^T * r_{k+1}) / (rk^T * rk)
    p_{k+1} = r_{k+1} + βk * pk
end for

6. 总结与应用场景
COCR 算法专门针对复对称线性方程组设计，相比通用非对称求解器（如 GMRES、BiCGSTAB），它利用矩阵对称性减少了每步迭代的计算量（一次矩阵-向量乘，两次内积），且无需存储长 Krylov 基。典型应用包括：电磁散射问题（离散后得到复对称矩阵）、量子力学中的某些偏微分方程离散等。对于病态问题，可结合预处理技术（如不完全 LU 分解）提升收敛速度。