自适应随机梯度下降（Adaptive Stochastic Gradient Descent, AdaSGD）在非光滑随机优化中的应用基础题

字数 3830 2025-12-09 09:18:14

自适应随机梯度下降（Adaptive Stochastic Gradient Descent, AdaSGD）在非光滑随机优化中的应用基础题

题目描述

考虑如下形式的非光滑随机优化问题：

\[\min_{x \in \mathbb{R}^n} F(x) := \mathbb{E}_{\xi}[f(x; \xi)] + g(x) \]

其中：

$f(x; \xi)$ 关于 $x$ 是可微但不一定光滑的（即其梯度可能不满足Lipschitz连续），并且我们只能通过随机抽样得到它的随机梯度 $\nabla f(x; \xi)$。
$g(x)$ 是一个非光滑凸函数（例如 $\ell_1$ 范数 $g(x) = \lambda \|x\|_1$ 或示性函数），但它是简单函数，其邻近算子有解析解。
我们假设只能通过随机样本 $\xi$ 来获取关于 $F(x)$ 的信息，无法直接计算其精确梯度或函数值。

本题的目标是：设计一种自适应随机梯度下降（AdaSGD）算法，通过自适应调整步长，高效地求解这个非光滑随机优化问题，并解释其核心思想和迭代步骤。

解题过程循序渐进讲解

第一步：问题分析——非光滑随机优化的难点

传统的梯度下降法需要目标函数光滑（梯度连续）且能精确计算梯度。但这里有两个主要挑战：

随机性：我们只能得到梯度的无偏估计 $\nabla f(x; \xi)$，而非真实梯度 $\nabla F(x)$，这导致直接使用梯度下降会产生高方差，收敛缓慢或不稳定。
非光滑性：$g(x)$ 不可导，使得标准的梯度下降更新无法直接应用。

思路：

针对随机性，我们使用随机梯度，并引入自适应步长调整（类似AdaGrad、RMSProp的思想），根据历史梯度信息调整步长，以应对不同维度上梯度的变化幅度，加快收敛。
针对非光滑项 $g(x)$，我们采用邻近算子（proximal operator） 处理，将迭代步骤分为梯度下降步和邻近映射步，这就是近端随机梯度下降的框架。

第二步：算法框架——近端随机梯度下降

对于一个可微函数 $h(x)$ 和一个非光滑函数 $g(x)$，近端梯度下降的迭代公式为：

\[x_{k+1} = \text{prox}_{\eta_k g}(x_k - \eta_k \nabla h(x_k)) \]

其中，$\eta_k$ 是步长，$\text{prox}$ 是邻近算子，定义为：

\[\text{prox}_{\eta g}(v) = \arg\min_x \left\{ g(x) + \frac{1}{2\eta} \|x - v\|^2 \right\} \]

在我们的问题中，$h(x) = \mathbb{E}[f(x; \xi)]$，但我们只能得到随机梯度。因此，基本近端随机梯度下降的迭代为：

\[x_{k+1} = \text{prox}_{\eta_k g}(x_k - \eta_k \nabla f(x_k; \xi_k)) \]

其中 $\xi_k$ 是第 $k$ 步抽样的随机样本。

但这里 $\eta_k$ 如何选择？固定步长通常需要谨慎调节，而自适应步长可以根据历史梯度信息自动调整。

第三步：自适应步长设计

自适应步长（如AdaGrad、RMSProp）的基本思想是：对每个变量 $x^{(i)}$（$i=1,\dots,n$）维护一个累积梯度平方和，步长与该累积量的平方根成反比。这样，在历史梯度较大的方向上，步长会减小，从而更稳定。

定义 $g_k = \nabla f(x_k; \xi_k)$ 为第 $k$ 步的随机梯度。
定义向量 $s_k \in \mathbb{R}^n$，其中每个分量 $s_k^{(i)}$ 累积到第 $k$ 步为止，第 $i$ 个维度上梯度平方的指数加权移动平均（或简单累加）：

\[s_k^{(i)} = \beta s_{k-1}^{(i)} + (1-\beta) (g_k^{(i)})^2 \quad \text{或} \quad s_k^{(i)} = s_{k-1}^{(i)} + (g_k^{(i)})^2 \]

其中 $\beta \in (0,1)$ 是衰减因子。

自适应步长为：

\[\eta_{k}^{(i)} = \frac{\eta_0}{\sqrt{s_k^{(i)} + \epsilon}} \]

其中 $\eta_0$ 是初始步长（全局学习率），$\epsilon$ 是一个很小的常数（如 $10^{-8}$）防止除以零。

这样，第 $i$ 个变量的步长 $\eta_k^{(i)}$ 是自适应的：如果历史上这个方向上的梯度很大，$s_k^{(i)}$ 就大，步长就小，从而在陡峭方向更新更谨慎；反之，在平缓方向步长相对较大，加快更新。

第四步：自适应近端随机梯度下降（AdaSGD）算法步骤

给定：初始点 $x_0$，初始步长 $\eta_0$，小常数 $\epsilon > 0$，衰减因子 $\beta$（可选），总迭代次数 $T$。

初始化：$s_0 = 0$（或一个很小的向量，如 $\epsilon$）。
For $k = 0, 1, 2, \dots, T-1$：
a. 随机采样 $\xi_k$，计算当前点的随机梯度 $g_k = \nabla f(x_k; \xi_k)$。
b. 更新累积梯度平方 $s_k$（两种常用方式，这里以指数加权平均为例）：
对于每个维度 $i=1,\dots,n$：

\[ s_{k+1}^{(i)} = \beta s_k^{(i)} + (1-\beta) (g_k^{(i)})^2 \]

c. 计算自适应步长向量 $\eta_k$，其中每个分量 $\eta_k^{(i)} = \frac{\eta_0}{\sqrt{s_{k+1}^{(i)} + \epsilon}}$。
d. 构造自适应步长**对角矩阵** $D_k = \text{diag}(\eta_k^{(1)}, \dots, \eta_k^{(n)})$，则自适应更新方向为 $D_k g_k$。
e. 计算**梯度下降中间点**：$y_k = x_k - D_k g_k$。
f. 计算**近端映射**：$x_{k+1} = \text{prox}_{g, D_k^{-1}}(y_k)$。注意，这里由于 $D_k$ 是对角矩阵且正定，邻近算子定义为：

\[ \text{prox}_{g, D_k^{-1}}(y) = \arg\min_x \left\{ g(x) + \frac{1}{2} (x-y)^T D_k^{-1} (x-y) \right\} \]

    通常，如果 $g(x)$ 是**可分离**的（如 $\ell_1$ 范数），这个邻近算子可以按分量独立求解，且形式与标准邻近算子相同，只是步长参数变为 $\eta_k^{(i)}$ 的缩放。

输出：最终迭代点 $x_T$ 或历次迭代的平均。

第五步：邻近算子的计算示例（以 $\ell_1$ 范数为例）

如果 $g(x) = \lambda \|x\|_1$，则标准邻近算子（步长为 $\eta$）是软阈值函数：

\[[\text{prox}_{\eta g}(v)]^{(i)} = \text{sign}(v^{(i)}) \cdot \max\{ |v^{(i)}| - \lambda \eta, 0 \} \]

在自适应步长下，每个维度有自己的步长 $\eta_k^{(i)}$，则更新公式变为：

\[x_{k+1}^{(i)} = \text{sign}(y_k^{(i)}) \cdot \max\{ |y_k^{(i)}| - \lambda \eta_k^{(i)}, 0 \} \]

其中 $y_k^{(i)} = x_k^{(i)} - \eta_k^{(i)} g_k^{(i)}$。

直观理解：在梯度变化剧烈的维度，步长自动变小，使得软阈值的“收缩”幅度也变小，更新更稳定。

第六步：算法特性与总结

自适应优势：AdaSGD 能够自动调整每个维度上的步长，特别适用于稀疏数据或非平稳目标，其中不同方向的梯度量级差异很大。
处理非光滑：通过邻近算子处理 $g(x)$，使得算法适用于带 $\ell_1$ 正则、约束等非光滑问题。
随机性：通过随机抽样，适用于大规模问题，每次迭代只用一个或一小批样本，计算高效。
收敛性：在一定的假设下（如 $f$ 的梯度有界，$g$ 凸，步长满足一定衰减条件），AdaSGD 可以收敛到稳定点（对于非凸 $f$）或最优解（对于凸 $F$）。

核心思想总结：
将自适应步长（根据历史梯度平方自适应调整）与近端随机梯度下降结合，形成 AdaSGD 算法。它既能处理随机优化中的噪声，又能应对非光滑项，且通过自适应机制提升了收敛速度和稳定性，特别适合于高维、稀疏、非光滑的随机优化问题。

自适应随机梯度下降（Adaptive Stochastic Gradient Descent, AdaSGD）在非光滑随机优化中的应用基础题题目描述考虑如下形式的非光滑随机优化问题： $$ \min_ {x \in \mathbb{R}^n} F(x) := \mathbb{E}_ {\xi}[ f(x; \xi) ] + g(x) $$ 其中： $f(x; \xi)$ 关于 $x$ 是可微但不一定光滑的（即其梯度可能不满足Lipschitz连续），并且我们只能通过随机抽样得到它的随机梯度 $\nabla f(x; \xi)$。 $g(x)$ 是一个非光滑凸函数（例如 $\ell_ 1$ 范数 $g(x) = \lambda \|x\|_ 1$ 或示性函数），但它是简单函数，其邻近算子有解析解。我们假设只能通过随机样本 $\xi$ 来获取关于 $F(x)$ 的信息，无法直接计算其精确梯度或函数值。本题的目标是：设计一种自适应随机梯度下降（AdaSGD）算法，通过自适应调整步长，高效地求解这个非光滑随机优化问题，并解释其核心思想和迭代步骤。解题过程循序渐进讲解第一步：问题分析——非光滑随机优化的难点传统的梯度下降法需要目标函数光滑（梯度连续）且能精确计算梯度。但这里有两个主要挑战：随机性：我们只能得到梯度的无偏估计 $\nabla f(x; \xi)$，而非真实梯度 $\nabla F(x)$，这导致直接使用梯度下降会产生高方差，收敛缓慢或不稳定。非光滑性：$g(x)$ 不可导，使得标准的梯度下降更新无法直接应用。思路：针对随机性，我们使用随机梯度，并引入自适应步长调整（类似AdaGrad、RMSProp的思想），根据历史梯度信息调整步长，以应对不同维度上梯度的变化幅度，加快收敛。针对非光滑项 $g(x)$，我们采用邻近算子（proximal operator）处理，将迭代步骤分为梯度下降步和邻近映射步，这就是近端随机梯度下降的框架。第二步：算法框架——近端随机梯度下降对于一个可微函数 $h(x)$ 和一个非光滑函数 $g(x)$，近端梯度下降的迭代公式为： $$ x_ {k+1} = \text{prox} {\eta_ k g}(x_ k - \eta_ k \nabla h(x_ k)) $$ 其中，$\eta_ k$ 是步长，$\text{prox}$ 是邻近算子，定义为： $$ \text{prox} {\eta g}(v) = \arg\min_ x \left\{ g(x) + \frac{1}{2\eta} \|x - v\|^2 \right\} $$ 在我们的问题中，$h(x) = \mathbb{E}[ f(x; \xi)]$，但我们只能得到随机梯度。因此，基本近端随机梯度下降的迭代为： $$ x_ {k+1} = \text{prox}_ {\eta_ k g}(x_ k - \eta_ k \nabla f(x_ k; \xi_ k)) $$ 其中 $\xi_ k$ 是第 $k$ 步抽样的随机样本。但这里 $\eta_ k$ 如何选择？固定步长通常需要谨慎调节，而自适应步长可以根据历史梯度信息自动调整。第三步：自适应步长设计自适应步长（如AdaGrad、RMSProp）的基本思想是：对每个变量 $x^{(i)}$（$i=1,\dots,n$）维护一个累积梯度平方和，步长与该累积量的平方根成反比。这样，在历史梯度较大的方向上，步长会减小，从而更稳定。定义 $g_ k = \nabla f(x_ k; \xi_ k)$ 为第 $k$ 步的随机梯度。定义向量 $s_ k \in \mathbb{R}^n$，其中每个分量 $s_ k^{(i)}$ 累积到第 $k$ 步为止，第 $i$ 个维度上梯度平方的指数加权移动平均（或简单累加）： $$ s_ k^{(i)} = \beta s_ {k-1}^{(i)} + (1-\beta) (g_ k^{(i)})^2 \quad \text{或} \quad s_ k^{(i)} = s_ {k-1}^{(i)} + (g_ k^{(i)})^2 $$ 其中 $\beta \in (0,1)$ 是衰减因子。自适应步长为： $$ \eta_ {k}^{(i)} = \frac{\eta_ 0}{\sqrt{s_ k^{(i)} + \epsilon}} $$ 其中 $\eta_ 0$ 是初始步长（全局学习率），$\epsilon$ 是一个很小的常数（如 $10^{-8}$）防止除以零。这样，第 $i$ 个变量的步长 $\eta_ k^{(i)}$ 是自适应的：如果历史上这个方向上的梯度很大，$s_ k^{(i)}$ 就大，步长就小，从而在陡峭方向更新更谨慎；反之，在平缓方向步长相对较大，加快更新。第四步：自适应近端随机梯度下降（AdaSGD）算法步骤给定：初始点 $x_ 0$，初始步长 $\eta_ 0$，小常数 $\epsilon > 0$，衰减因子 $\beta$（可选），总迭代次数 $T$。初始化：$s_ 0 = 0$（或一个很小的向量，如 $\epsilon$）。 For $k = 0, 1, 2, \dots, T-1$： a. 随机采样 $\xi_ k$，计算当前点的随机梯度 $g_ k = \nabla f(x_ k; \xi_ k)$。 b. 更新累积梯度平方 $s_ k$（两种常用方式，这里以指数加权平均为例）：对于每个维度 $i=1,\dots,n$： $$ s_ {k+1}^{(i)} = \beta s_ k^{(i)} + (1-\beta) (g_ k^{(i)})^2 $$ c. 计算自适应步长向量 $\eta_ k$，其中每个分量 $\eta_ k^{(i)} = \frac{\eta_ 0}{\sqrt{s_ {k+1}^{(i)} + \epsilon}}$。 d. 构造自适应步长对角矩阵 $D_ k = \text{diag}(\eta_ k^{(1)}, \dots, \eta_ k^{(n)})$，则自适应更新方向为 $D_ k g_ k$。 e. 计算梯度下降中间点：$y_ k = x_ k - D_ k g_ k$。 f. 计算近端映射：$x_ {k+1} = \text{prox} {g, D_ k^{-1}}(y_ k)$。注意，这里由于 $D_ k$ 是对角矩阵且正定，邻近算子定义为： $$ \text{prox} {g, D_ k^{-1}}(y) = \arg\min_ x \left\{ g(x) + \frac{1}{2} (x-y)^T D_ k^{-1} (x-y) \right\} $$ 通常，如果 $g(x)$ 是可分离的（如 $\ell_ 1$ 范数），这个邻近算子可以按分量独立求解，且形式与标准邻近算子相同，只是步长参数变为 $\eta_ k^{(i)}$ 的缩放。输出：最终迭代点 $x_ T$ 或历次迭代的平均。第五步：邻近算子的计算示例（以 $\ell_ 1$ 范数为例）如果 $g(x) = \lambda \|x\| 1$，则标准邻近算子（步长为 $\eta$）是软阈值函数： $$ [ \text{prox} {\eta g}(v) ]^{(i)} = \text{sign}(v^{(i)}) \cdot \max\{ |v^{(i)}| - \lambda \eta, 0 \} $$ 在自适应步长下，每个维度有自己的步长 $\eta_ k^{(i)}$，则更新公式变为： $$ x_ {k+1}^{(i)} = \text{sign}(y_ k^{(i)}) \cdot \max\{ |y_ k^{(i)}| - \lambda \eta_ k^{(i)}, 0 \} $$ 其中 $y_ k^{(i)} = x_ k^{(i)} - \eta_ k^{(i)} g_ k^{(i)}$。直观理解：在梯度变化剧烈的维度，步长自动变小，使得软阈值的“收缩”幅度也变小，更新更稳定。第六步：算法特性与总结自适应优势：AdaSGD 能够自动调整每个维度上的步长，特别适用于稀疏数据或非平稳目标，其中不同方向的梯度量级差异很大。处理非光滑：通过邻近算子处理 $g(x)$，使得算法适用于带 $\ell_ 1$ 正则、约束等非光滑问题。随机性：通过随机抽样，适用于大规模问题，每次迭代只用一个或一小批样本，计算高效。收敛性：在一定的假设下（如 $f$ 的梯度有界，$g$ 凸，步长满足一定衰减条件），AdaSGD 可以收敛到稳定点（对于非凸 $f$）或最优解（对于凸 $F$）。核心思想总结：将自适应步长（根据历史梯度平方自适应调整）与近端随机梯度下降结合，形成 AdaSGD 算法。它既能处理随机优化中的噪声，又能应对非光滑项，且通过自适应机制提升了收敛速度和稳定性，特别适合于高维、稀疏、非光滑的随机优化问题。